立體圖形的表面展開圖例題與講解

1、4.3立體圖形的表面展開圖基礎(chǔ)知識星琳技詹1.圓柱、圓錐、棱柱的表面展開圖將一個幾何體的外表面展開， 就像打開一件禮物的包裝紙.禮物外形不同，包裝紙的形狀也各不相同.那么我們熟悉的一些幾何體，如圓柱、圓錐、棱柱的表面展開圖是什么形狀呢？（1）圓柱的表面展開圖是兩個圓（作底面）和一個長方形（作側(cè)面）.6（2）圓錐的表面展開圖是一個圓（作底面）和一個扇形（作側(cè)面）.（3）棱柱的表面展開圖是兩個完全相同的多邊形（作底面）和幾個長方形（作側(cè)面）.AB DC重合,【例1】 如圖，將圖中的陰影部分剪下來，圍成一個幾何體的側(cè)面，使 則所圍成的幾何體圖形是（）.AABCD解析：此題可用排除法.因為陰影部分是個

2、扇環(huán)，而圓柱的側(cè)面展開圖是長方形，所以排除A;圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，所以排除B;長方體的側(cè)面展開圖是長方形，所以C也要排除；故選D.答案：D2.正方體的表面展開圖（1）正方體的表面展開圖按展開圖中正方形所在的行數(shù)及正方形的個數(shù)，歸納起來有四 種情形，各種類型的共同特點是行與行之間有且只有一個“日”型結(jié)構(gòu)，由此可知正方體的展開圖不會出現(xiàn)如下面圖形所示的“凹”字型和“田”字型結(jié)構(gòu)，因為這里的行與行之間出現(xiàn)了兩組“日”型結(jié)構(gòu).（2）正方體展開圖中相對面的尋找技巧：相間的兩個小正方形（中間隔著一個小正方形）是正方體的兩個對面， 如圖1中的A面和B面；Z字兩端處的小正方形是正方體的對面， 如圖2、圖3

3、的A面和B面.該正方形中，與“愛”相對的字是D.感,考查正方體的表面展開圖解題時可親自動手剪一剪、 是“鄉(xiāng)”；另外也可對展開圖加以分析，根據(jù)展開圖“愛”的對面不可能是“我”或“家”，折疊起來后所以“愛”的對面不可能是“孝”、“感”，所以與“愛”“相間、Z端是解技巧 正方體的表面展開圖的判斷思路（1）是否滿足四種陣型中的一種；（2）行與行之間有且只有一個“日”型結(jié)構(gòu).【例2】一個正方形的每一個面上都寫有一個漢字，其平面展開圖如圖所示，那么在（ ）.A.家B.鄉(xiāng)解析：本題以熱愛家鄉(xiāng)為素材， 折一折，即可得到與“愛”相對的字： 對面之間不能有公共邊或公共的頂點，“孝”、“感”與“愛”相鄰，相對的字是

4、“鄉(xiāng)”；但如果本題應(yīng)用正方體展開圖的對面尋找技巧對面”來解決，會非常簡單，由相間的兩個小正方形（中間隔著一個小正方形）是正方體的兩 個對面易知“愛”與“鄉(xiāng)”相對.答案：B開圖，則原正方體相對兩個面上的數(shù)字和最小是（）.【例3】如圖是正方體的展C. 7D. 82和6相對，3和4相對，1和5相對，則原正方體相A. 4B. 6解析：將展開圖還原成 正方體，對兩個面上的數(shù)字和最小為6.答案：B談重點解決正方體展開圖問題的關(guān)鍵熟練掌握正方體展開圖的對面尋找技巧可以有效降低解題的難度，起到事半功倍的效果.基本方法駄nr “弄超ufagj/y j n i： i f 4 :y ； i _r f 肘 p； x（

5、； r； jj3正方體表面展開圖的應(yīng)用如果不考慮由于旋轉(zhuǎn)等造成的相對位置的不同，正方體表面展開圖一共有11個正方體表面展開圖的特點是每一個頂點周圍的棱不超過三條.（1） “1- 4 - 1”型有6個，其中通過“ 1”的移動可以由一個得到另外的5個，如圖.“1- 3 -2”型有3個，其中通過“ 1”的移動可以由 1個得到另外的2個，如圖.“3-3”型有一個，“ 2 - 2 -2”型有一個，如圖.解析：這是“1- 3 -2”型的正方體表面展開圖根據(jù)展開圖可知對面之間不能有公共 邊或公共頂點，所以“超”字的對面不能是“沉”、“著”、“越”，根據(jù)上下相對和左右相對，由于“信”和“著”相對，“著”和“超

6、”相鄰，所以“信”和“超”相鄰.這樣和“超”相對的字只能是“自”.答案：自【例3-2】六一兒童節(jié)時，阿蘭準(zhǔn)備用硬紙片通過裁剪、折疊制作一個封閉的正方體禮盒.她先在硬紙片上設(shè)計了一個如圖1所示的裁剪方案（實線部分），經(jīng)裁剪、折疊后成為一個封閉的正方體禮盒請你參照如圖，幫她設(shè)計另外兩種不同的裁剪方案，使之經(jīng)裁剪、折疊后也能成為一個封閉的正方體禮盒.分析：阿蘭設(shè)計的是正方體的 11種展開圖中的一種， 可以從剩下的10種展開圖中任選 兩種在如圖的小方格中畫出.解：如圖2所示.4.其他立體圖形展開圖的應(yīng)用由平面圖形圍成的立體圖形叫多面體，其表面展開圖可以有不同的形狀.應(yīng)多實踐，觀察，并大膽想象立體圖形與

7、表面展開圖的關(guān)系.立體圖形的表面展開圖包括側(cè)面展開圖和底面展開圖，畫立體圖形的展開圖時， 一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀.圓柱的側(cè)面展開圖是長方形，底面是圓；圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，底面是圓；n棱柱的側(cè)面展開圖是n個高相等的長方形，底面是 n邊形；n棱錐的側(cè)面展開圖是 n個三角形， 底面是n邊形.【例4】 小新的茶杯是圓柱形，如圖所示左邊下方有一只蜘蛛，從A處爬行到對面的中點B處，如果蜘蛛爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖.分析：先畫出圓柱的側(cè)面 展開圖，再連接得到最短路線. 解：如圖所示.B思維拓展創(chuàng)新應(yīng)用7 - 11, .| | ,5.立體圖形展開圖的應(yīng)用立體圖形展開圖的考查一般以選擇

8、題為主要方式，答案的獲得需要學(xué)生經(jīng)歷一定的實驗操作過程，當(dāng)然學(xué)生也可以將操作活動轉(zhuǎn)化為思維活動，在頭腦中模擬（想象）折紙、翻轉(zhuǎn)活動，較好地考查了學(xué)生的空間觀念.解決此類問題，要充分考慮帶有各種符號和各種圖案的面的特點及位置，解題時，先正確畫出立體圖形的表面展開圖，再仔細(xì)觀察圖案以及符號的不同特點，從而選出正確的答案.有時，根據(jù)圖案的位置和方向可以先把一些很明顯的不符合題目要求的選擇項先排除 掉，再一步步的尋找正確的選項.要想靈活解決此類問題，一要熟練掌握立體圖形展開圖的基本知識和解題技巧； 分發(fā)揮自己的空間想象力；三要不斷積累生活經(jīng)驗和解題經(jīng)驗.【例5- 1】如圖所示的正方體的展開圖是 （二要充)解析：三角形，C項折疊后與原正方體不符.B折疊后與原正方體相同.故選答案：B【例