浙江職高高二數(shù)學空間幾何知識點及典型習題

1、常考知識點及相應(yīng)習題匯總一、棱錐1、正三棱錐定義：正三棱錐是錐體中底面是正三角形，三個側(cè)面是全等的等腰三角形的三棱錐。性質(zhì)： 1 底面是等邊三角形。2 側(cè)面是三個全等的等腰三角形。3 頂點在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、內(nèi)心）。4. 常構(gòu)造以下四個直角三角形（見圖）：說明：上述直角三角形集中了正三棱錐幾乎所有元素。在正三棱錐計算題中，常常取上述直角三角形。其實質(zhì)是，不僅使空間問題平面化，而且使平面問題三角化，還使已知元素與未知元素集中于一個直角三角形中，利于解出。練習 1：1、三棱錐a bcd的棱長全相等, e 是 ad 中點 , 則直線 ce與直線 bd 所成角的余弦值

2、為()33331(a)(b)(c)(d)62622、正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為()a 2 2b 2c 2d 4 23333、側(cè)棱長為2a 的正三棱錐其底面周長為9a，則棱錐的高為（）a、 ab、 2a3 a3c、 2d、 27a4、如圖為正三棱柱的平面展開圖，該正三棱柱的各側(cè)面都是正方形，對這個正三棱柱有如下判斷： ab1/ bc1 ； ac1 與 bc是異面直線； ab 與 bc 所成的角的余弦為2 ； bc與 a c 垂直 .1411其中正確的判斷是_.5、在正三棱錐pabc 中， ab6, pa5 。（ 1）求此三棱錐的體積v ；（ 2）求二面角p a

3、b c 的正弦值。6、正三棱錐v-abc的底面邊長是a, 側(cè)面與底面成60的二面角。求（ 1）棱錐的側(cè)棱長（ 2）側(cè)棱與底面所成的角的正切值。2、正四面體定義：正四面體是由四個全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等。它有 4 個面， 6 條棱， 4 個頂點。正四面體是最簡單的正多面體。正四面體與正三棱錐的關(guān)系：正四面體屬于正三棱錐，但是正三棱錐只需要底面為正三角形，其他三個面是全等的等腰三角形且頂點在底面的投影是底面三角形的中心，不需要四個面全等且都是等邊三角形。因此，正四面體又是特殊的正三棱錐。性質(zhì)：練習 2：1、在正四面體 pabc 中，如果 e、 f 分別為 pc 、 ab 的中

4、點， 那么異面直線ef 與 pa所成的角為()(a) 900(b)600(c) 450(d)3003、正四棱錐定義：底面是正方形， 側(cè)面為4 個全等的等腰三角形且有公共頂點，頂點在底面的投影是底面的中心。三角形的底邊就是正方形的邊。性質(zhì)： （1 ）正四棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）；（2 ）正四棱錐的高、 斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、 側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形；（ 3 ）正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角都相等；正棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等；（ 4 ）正四棱錐的側(cè)面積： 如果正棱錐的

5、底面周長為 c，斜高為 h，那么它的側(cè)面積是 s=1/2ch 練習 3：1、正四棱錐的一個對角面與一個側(cè)面的面積之比為6 : 2 ，則側(cè)面與底面的夾角為（）。（a）（ b）（ c）4（d）31262、 四棱錐成為正棱錐的一個充分但不必要條件是( )(a)各側(cè)面是正三角形(c)各側(cè)面三角形的頂角為 45度(b)底面是正方形(d)頂點到底面的射影在底面對角線的交點上3、如果正四棱錐的側(cè)面積等于底面積的2 倍，則側(cè)面與底面所成的角等于（）a 30 b 45c 60d 754、在正四棱錐 pabcd中，若側(cè)面與底面所成二面角的大小為60，則異面直線 pa與 bc所成 角的正切值為；5、若正四棱錐所有棱

6、長與底面邊長均相等，求斜高與棱錐高之比相鄰兩個側(cè)面所成二面角的大小。4、棱錐定義： 一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。概念：棱錐的底面、棱錐的側(cè)面、棱錐的側(cè)棱、棱錐的頂點、棱錐的高、棱錐的對角面 ; （棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對角面）性質(zhì)： 1 棱錐截面性質(zhì)定理及推論定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比。推論 1：如果棱錐被平行于底面的平面所截，則棱錐的側(cè)棱和高被截面分成的線段比相等。推論 2：如果棱錐被平行于底面的平面所截，則截得的小棱錐與

7、原棱錐的側(cè)面積之比也等于它們對應(yīng)高的平方比，或它們的底面積之比。2一些特殊棱錐的性質(zhì)側(cè)棱長都相等的棱錐，它的頂點在底面內(nèi)的射影是底面多邊形的外接圓的圓心（外心），同時側(cè)棱與底面所成的角都相等。側(cè)面與底面的交角都相等的棱錐，它的二面角都是銳二面角，所以頂點在底面內(nèi)的射影在底多邊形的內(nèi)部，并且它到各邊的距離相等即為底多邊形的內(nèi)切圓的圓心（內(nèi)心），且各側(cè)面上的斜高相等。如果側(cè)面與底面所成角為，則有 s 底=s側(cè) cos。練習 41、三棱錐abc 中，pa底面abc ，是直角三角形，則三棱錐的三個側(cè)面中直角三角形有（）(a)個(b)個(c)至多個(d)個或個2、正n 棱錐的側(cè)面積是底面積的2 倍，則側(cè)

8、面與底面所成二面角的度數(shù)為（）(a)(b)(c)(d)與 n 的取值有關(guān)3263、如果一個棱錐被平行于底面的兩個平面所截后得到的三部分體積則這時棱錐的高被分成上、中、下三段之比為（）（自上而下） 為1:8:27，（ a）1:(321) :( 3332 )(b) 1:32 :33(c)1:1:1(d)1:1:1234、已知棱錐被平行于底面的截面分成上、下體積相等的兩部分，則截面把棱錐的側(cè)棱分成上、下兩線段的比為()a.2 1b.2 1c.1 (2 -1)d.1(3 2 -1)5、三棱錐 v-abc的三條側(cè)棱兩兩為300 角，在 va 上取兩點 m 、n，vm6，vn 8，用線繩由自 m 向 n

9、環(huán)繞一周，線繩的最短距離是.6在四棱錐p-abcd中，底面 abcd 是正方形，側(cè)棱 pd底面 abcd， pd=dc，e 為 pc 中點（1）求證： pa平面 edb（2）求 eb 和底面 abcd成角正切值pecbda7如圖，在四棱錐p- abcd中，底面abcd是平行四邊形，pa底面abcd，且pa=ad=2a，ab=a， abc=60（ 1）求證平面pdc平面pac（2）求異面直線pc與bd 所成的角的余弦值padbco8、ab為圓 o的直徑，圓o在平面內(nèi)， sa， abs=30,p 在圓周上移動（異于a、 b），m為 a 在 sp 上的射影，( ) 求證：三棱錐s abp的各面均是直

10、角三角形；（）求證： am平面 spb；9、三棱錐v abc的底面是腰長為5 底邊長為 6 的等腰三角形，各個側(cè)面都和底面成450的二面角，求三棱錐的高習題答案：練習 1c3.a 4.5.339,13： 1.a 2.46、解：（ 1）過 v 點作 v0面 abc于點 0， ve ab 于點 e三棱錐 v abc是正三棱錐 o 為 abc 的中心則 oa=23 a3 a ， oe=13 a3 a 又側(cè)面與底面成60角 veo=60323326則在 rt veo中； v0=oe tan60 =3a3a62在 rt vao中， va=vo 2ao2a 2a 27a221a即側(cè)棱長為21a431266

11、練習 2：1.c練習 3： 1.d2.a3.c4. 25、3 2；（ 2）-arccos1（ 1）；3練習 4：1、 d2、a 3、 d 4、 d 510 6（ 2）arctan57（ 2） arccos38、略、579、解：過點 v 作底面 abc的垂線，垂足為ov各個側(cè)面和底面成450 的二面角點 o為三角形 abc的內(nèi)心設(shè) od x ，則有1 (556) x164ac22do x 3b2三棱錐的高vo為32二、棱柱定義：有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個平行四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。兩個互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的側(cè)面

12、。兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱。側(cè)面與底的公共頂點叫做棱柱的頂點，不在同一個面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線，兩個底面的距離叫做棱柱的高。棱柱中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做棱柱的對角面。分類：斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，畫斜棱柱時，一般將側(cè)棱畫成不與底面垂直。直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。畫直棱柱時，應(yīng)將側(cè)棱畫成與底面垂直。正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。平行六面體 :底面是平行四邊形的棱柱。直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體叫直平行六面體。長方體：底面是矩形的直棱柱叫做長方體。對角線的求法： 由棱柱的三條棱長的平方的和的開方。性質(zhì)：1）棱柱的各個

13、側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都平行且相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形。2）棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形。3）過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形。4）直棱柱的側(cè)棱長與高相等；直棱柱的側(cè)面及經(jīng)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是矩形。練習題：1如圖：在正三棱柱abca1 b1c1 中，ebb1 ，截面a1ec側(cè)面 ac1 . 求證：beeb1 ；若 aa1a1 b1 ，求平面a1 ec與平面a1 b1c1 所成銳二面角的度數(shù) .2已知三棱柱abca1b1c1 的底面是邊長為1 的正三角形，aa1 b1aa1c145，頂點a到底面a1

14、b1c1 和側(cè)面b1c的距離相等，求此三棱柱的側(cè)棱長及側(cè)面積3、在正三棱柱 a1b1c1 abc中， aa1 =ab=a， d 是 cc1 的中點， f 是 a1b 的中點 .( ) 求證： df平面 abc；（）求證： af bd；4 已知：如圖，直棱柱（1）求證： ce平面abc a b的c各棱長都相等， d 為 bc 中點， ce cd于 adc (2)求二面角 d ac c 的平面角的大小eacbaecdb5、如圖，直三棱柱abc-a b c 的底面 abc為等腰直角三角形，acb 90， ac=1， c 點111到 ab1 的距離為 ce=3 ， d 為 ab 的中點 . （ 1）求

15、證： ab1平面 ced；2（2）求異面直線ab1 與 cd 之間的距離；（ 3）求二面角 b1 ac b 的平面角 .c1a 1b1ceadb6、在直三棱柱abca1b1c1 中， bc=a1c1， ac1 a1b，m， n 分別是 a1b1， ab 的中點。（1）求證：面abb1a1面 ac1m；（2）求證： a1b am；（ 3）求證：面amc1面 nb1ca1c1mb1acnb答案：1解： 在截面 a1 ec 內(nèi)，過 e作 ega1c ， g 是垂足面 a1 ec側(cè)面 ac1 ， eg側(cè)面 a1c取 ac 的中點 f，連結(jié) bf， fg，由 ab=bc，得 面abc側(cè)面a1 c， bf

16、側(cè)面 ac，得bf ac1bf egbf、 eg確定一個平面，交側(cè)面ac1 于 fg be / 側(cè)面 a1c ， be fg， 四 邊 形 begf 是 平 行四 邊 形 ， be = fg be / aa1 ， fg / aa1 ，aa1c fgc ； affc ， fg1 aa11 bb1 ，即 be1 bb1，故 be bb1222 分別延長 ce、 c1b1 交于點 d，連結(jié) a1 d eb1 / cc 1 ， eb11 bb11 cc1 db11 dc1 b1 c1 ，又 a1 b1b1c1 ，222 da1c190 ，即 da1a1 c1 cc1面 a1c1b1 ，即 a1 c1

17、是 a1 c 在平面a1c1d 上的射影，根據(jù)三垂線定理，得da1a1c ca1c1 是二面角的平面角 cc1aa1a1b1a1c1a1 c1c 90 ca1c1 45 ， 即所求二面角為452解：作ao平面 a1b1c1， o 為垂足（ 12） aa1b1= aa1 c1=450 o 在 c1a1b1 的平分線上連結(jié) a1o 并延長交 b1c1 于 d1 點 a1c1=a1b1 a1d1 b1c1 a1a b1c1 bb1 b1c1四邊形 bb1c1c 為矩形取 bc 中點 d，連結(jié) ad dd1 dd1 /bb 1 b1c1 dd1 又 b1c1 a1d1 b1c1平面 a1d1da 平面

18、 a1add1 平面 b1 c1cb過 a 作 an dd1，則 an平面 bb1c1c an=ao四邊形 aa1d1d 為 a1d1=dd1 dd 1323aa12s側(cè) 23236312212224、(2) arcsin 1055、（ 1）略；（ 2） 1；（ 3） arctan2 ；26、證明：（ 1）三棱柱abc a1b1c1 是直三棱柱 aa1面 a1b1c1 aa1 c1mbc a1c1， m是 a1b1 的中點 c1ma1b1a 1c 1又 aa1 a ba, aa面 aabbm1b 11111a b面 a 1abb 1， 面 abb1a 1面 ac 1 m11（2）a 1bac

19、1， c1m面 a 1abb 1， a 1 bamca(3)m 、n分別是 a 1b1，ab 的中點， 四邊形 anb 1m 是平行四邊形，nbam b1 n， am 平面 nb 1c，由 c1 m平面 a 1 abb 1同理可證cn平面 a 1abb 1， c1m cn，c1m 平面 nb1 c又 am c1 m m ， 平面 amc 1 nb 1c三、正方體、長方體練習題：1.棱長為 a 的正方體 abcd-a b c d 中，異面直線dd 與 bc 之間的距離為 ( )111111aab2c 2ad 3aa22正方體的棱長為，p 為 dd 1 的中點， o 為底面 abcd 的中心，則

20、dd 1 與平面 pao所成角的正切值為2(b)2(c)22(d)以上皆非(a)23設(shè)長方體的三條棱長分別為a , b , c ，若其所有棱長之和為，一條對角線的長度為，體積為，則 111為abc11(b)4112(a)(c)(d)4112114.長方體的表面積為 22cm2,所有棱的總長度為 24cm ,則長方體的對角線的長度是()a.14cmb.11cmc.12cmd.13cm5如圖在正方形abcd a b c d中， m 是棱 dd 的中點， o 為底面 abcd11111的中點， p 為棱 a1 b1 上任意一點，則直線op 與直線 am 所成的角的大小為（）abcd與 p 點位置有關(guān)

21、4326如圖，在長方體abcda1b1c1 d1 中，d1f1c1ab6, ad4, aa1 3 ，分別過 bc、 a1 d1ae1b11的兩個平行截面將長方體分成三部分，其體積dfc分別記為 v1vaea1dfd1 ， v3vb1e1 b c1f1c 。aeb若v1:v2:v31 : 4 : 1 ，則截面 a efd1的面積為()1(a)410(b)8 3(c)413(d)167如右圖，正方體abcda1b1 c1 d1 中， e、 f 是異面線段 a1d 和 ac 的中點，則 ef 和 bd1 的關(guān)系是a相交不垂直b相交垂直 c平行直線d異面直線8如圖在正方形 abcd a 1111中，

22、m 是棱 dd1的中點， o 為底面 abcdbc d的中點， p 為棱 a 1b 1 上任意一點， 則直線 op 與直線 am 所成的角的大小為 （）a4bcd與 p 點位置有關(guān)329長方體全面積為24cm2，各棱長總和為24cm，則其對角線長為cm.10正方體的表面積為 m，則正方體的對角線長為11長方體 abcda1b1c1 d1 中， abad1， bb12 ， e 為 bb1 的中點(1)求證： ae平面 a1d1 e ； (2)求二面角 ead1a1 的正切值；(3)求三棱椎 ac1d1 e 的體積12. 在正方體abcda1 b1c1d1 中，（ 1）求證：平面a1bd平面 ac

23、c1 a1 ；（2）求直線a1b 與平面 acc1 a1 所成的角。d1c1a1b1dcab13. 如圖，在正方體abcda1 b1c1 d1 中， e、 f 分別是 bb 1 、 cd 的中點 . （ 1 ）證明：add1f ；（ 2）求直線 ae 與 d1f 所成的角；（ 3） 證明：平面aed平面 a1 fd1 .14. 如圖，在長方體 abcda1 b1c1 d11aa1 ，點 g 為 cc1 上的點，且 cg中， ab ad21平面 adg ； （2）求二面角c ag d 的大?。ńY(jié)果用反余弦cc1 。（ 1）求證： cd14表示）。d 1c 1a1b1dcab15.已知在正方體ab

24、cd a1b1 c1d1 中， e、 f 分別是 d1d、 bd 的中點， g 在棱 cd 上，且 cg =14cd （ 1）求證： ef b1c；（ 2）求 ef與 c1g 所成角的余弦值；（3）求二面角fegc1 的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）16如圖，在正方體abcda1b1c1d1 中，e、 f 分別是 bb 1 、cd的中點 . （ 1）證明：add1f(2)求直線 ae 與 d1 f 所成的角；（3）證明：平面aed平面 a1fd1 .答案： 1、 a 2 b 3 a4.a 5 c 6.c7.d 8 c 9. 2 310、2m211解（ 1）： a1 e2 ae2 （ 12） aa1=

25、2 a1eae又 aea1d1 ae平面 a1d1e（ 2）取 aa1 中點 f，過 f 作 fp ad1 ef平面 aa1d1 d fpad1 ep ad1 fpe即為 e-ad1-a1 的平面角在 rtaa1d1 中，可求 pf5eftan fpe55fp（ 3） ef/c1 d1 ef/平面 ac1 d1 va-c=vf-ac1d1 =vc1-afd11d1e =ve-ac1d11 s afd1c1d1 =1( 11 2)1 =1334612. 30013. 90014. arccos10 15.51arctan 13101716解： abcda1b1c1d1 是正方體，ad面 dc1 又 d1 f面 dc1 ，add1f 取 ab 中點 g，連結(jié) a1g 、 fg易證 gfd 1 a1 是平行四邊形a1g / d1f 設(shè) a1g 與 ae 交于點 h，aha1 （或其補角）是 ae 與 d1f 所成的角 e 是 bb1 的中點， rt a1 ag rt abe， ga1 agah ，