2.4線段的垂直平分線（一）

1、線段的垂直平分線(1),如圖， 人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點(diǎn)A 與點(diǎn)A關(guān)于線段CD 所在的直線l對(duì)稱，問線段CD 所在的直線l 與線段AA有什么關(guān)系？,我發(fā)現(xiàn)AD=AD,lAA,已知點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，如果沿直線l折疊，則點(diǎn)A與點(diǎn)重合，AD=AD，1 =2 = 90，即直線l既平分線段AA，又垂直線段AA,l,A,A,D,2,1,(A),我們可以把人字形屋頂框架圖進(jìn)行簡化得到如圖,我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線。（中垂線）,線段是軸對(duì)稱圖形， 線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸.,用符號(hào)語言描述右圖的內(nèi)容,如圖， 在線段AB 的垂直平分線l上任取一 點(diǎn)P， 連接PA，PB，線段

2、PA, PB之間有什么關(guān)系？,作關(guān)于直線l的軸反射（即沿直線l對(duì)折），由于l是線段AB 的垂直平分線，因此點(diǎn)A與點(diǎn)B重合. 從而線段PA與線段PB重合，于是PA= PB.,線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.,幾何語言：,CDAB,AC=BCPA=PB,C,我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反過來，如果已知一點(diǎn)P到線段AB 兩端的距離PA與PB相等，那么點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上嗎？,(1) 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，因?yàn)镻A = PB， 所以點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.,由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)定理：,（2） 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí),如圖

3、, 因?yàn)镻A =PB，所以PAB是等腰三角形.過頂點(diǎn)P 作PCAB，垂足為點(diǎn)C，從而底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.即PCAB，且AC = BC.,因此直線PC是線段AB的垂直平分線， 此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.,到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.,幾何語言：,PA=PB 點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的 逆定理：（判定定理）,例1 已知：如圖，在ABC中，AB，BC的垂直 平分線相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC. 求證：點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.,舉 例,證明 點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，, OA=OB.,同理OB=OC., OA

4、=OC., 點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.,例2 在三角形ABC中，DE是邊AB的垂直平分線，AB=8cm，ACD的周長為10cm。求ABC的周長。,分析：ACD的周長=AC+CD+AD=10 而AD=BDAC+CD+BD=AC+BC=10 ABC的周長=AC+BC+AB=10+8=18,1. 如圖，在ABC中，AB的垂直平分線分別交 AB，BC于點(diǎn)D，E，B=30，BAC= 80， 求CAE的度數(shù).,答：CAE=50.,2.已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且 AC =BC，AD=BD，AB與CD相交于點(diǎn)O. 求證：AO=BO.,證明： AC =BC，AD=BD，, CD為線段AB的垂直平

5、分線.,又 AB與CD相交于點(diǎn)O,6. 如圖，已知AECE， BDAC求證： ABCDADBC,7.如圖，在ABC上，已知點(diǎn)D在BC上，且BDADBC 求證： 點(diǎn)D在AC的垂直平分線上,3若 P 是線段 AB 的垂直平分線上一點(diǎn)，且 PB6 cm，則PA _cm.,4如圖 2，在ABC 中，AC 的垂直平分線交 AC 于點(diǎn) E， 交 BC 于點(diǎn) D，ABD 的周長是 12 cm，AC5 cm， 則 ABBDDC_cm；ABC 的周長是_cm.,5.如圖，ABC中，BC10，邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、DBE6，求BCE的周長,(4)題,(5)題,(6)題,(7)題,如圖，在ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（ ）. A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm,例,解析,DE是AB的垂直平分線， AE=BE(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等).又在BCE中， BE+CE+BC=18cm，BC=8cm， BE+CE=10cm. AC=AE+CE=B