人教版九年級上冊數(shù)學(xué)一元二次方程復(fù)習(xí)資料

1、一元二次方程根的判別韋達定理*一元二次方程一、知識結(jié)構(gòu)：解與解法二、考點精析考點一、概念2(1)定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是，這樣的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表達式：ax2+bx+c=0(a0)難點：如何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”：該項系數(shù)不為“0”；未知數(shù)指數(shù)為“2”；若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例1、下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）a3(x+1)2=2(x+1)b11+-2=0x2xcax2+bx+c=0dx2+2x=x2+1變式：當k時，關(guān)于x的方程kx2+2x=x2+3是一元二次方程。例2、方程

2、(m+2)xm+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為。針對練習(xí)：1、方程8x2=7的一次項系數(shù)是，常數(shù)項是。2、若方程(m-2)xm-1=0是關(guān)于x的一元一次方程，求m的值；寫出關(guān)于x的一元一次方程。3、若方程(m-1)x2+mx=1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是。4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是（）a.m=n=2b.m=2,n=1c.n=2,m=1d.m=n=1考點二、方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：例1、已知2y2+y-3的值為2，則4y2+2y+1的值為。例2、關(guān)于x

3、的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一個根為0，則a的值為。例3、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的系數(shù)滿足a+c=b，則此方程必有一根為。例4、已知a,b是方程x2-4x+m=0的兩個根，b,c是方程y2-8y+5m=0的兩個根，則m的值為。針對練習(xí)：1、已知方程x2+kx-10=0的一根是2，則k為，另一根是。2、已知關(guān)于x的方程x2+kx-2=0的一個解與方程求k的值；方程的另一個解。x+1x-1=3的解相同。3、已知m是方程x2-x-1=0的一個根，則代數(shù)式m2-m=。4、已知a是x2-3x+1=0的根，則2a2-6a=。5、方程(a-b)x2+(b-c

4、)x+c-a=0的一個根為（）a-1b1cb-cd-a6、若2x+5y-3=0,則4x32y=。考點三、解法方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關(guān)鍵點：降次,類型一、直接開方法：x2=m(m0)x=m對于(x+a)2=m，(ax+m)2=(bx+n)2等形式均適用直接開方法典型例題：(1例1、解方程：1)2x2-8=0;(2)25-16x2=0;(3)(-x)2-9=0;例2、若9(x-1)2=16(x+2)2，則x的值為。針對練習(xí)：下列方程無解的是（）a.x2+3=2x2-1b.(x-2)2=0c.2x+3=1-xd.x2+9=0類型二、因式分解法:(x-x1x)(-x)=0x=x,

5、或x=x212方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”，ax=5225xx方程形式：如(ax+m)2=(bx+n)2，(x+a)(+b)=(x+a)(+c)，x2+2ax+a2=0典型例題：例1、2x(x-3)=5(x-3)的根為（）52bx=3cx=,x=3dx=12例2、若(4x+y)2+3(4x+y)-4=0，則4x+y的值為。變式1：a2+b2()-(a22+b2)-6=0,則a2+b2=。2變式2：若(x+y)(-x-y)+3=0，則x+y的值為。變式3：若x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，則x+y的值為。例3、方程x2+x-6=0的解為（）a.x=-3，x1

6、2=2b.x=3，x12=-2c.x=3，x12=-3d.x=2，x12=-2針對練習(xí)：1、下列說法中：方程x2+px+q=0的二根為x，x，則x2+px+q=(x-x)(x-x)1212-x2+6x-8=(x-2)(x-4).a2-5ab+6b2=(a-2)(a-3)x2-y2=(x+y)(x+y)(x-y)方程(3x+1)2-7=0可變形為(3x+1+7)(3x+1-7)=0正確的有（）a.1個b.2個c.3個d.4個2、以1+7與1-7為根的一元二次方程是（）ax2-2x-6=0bx2-2x+6=0cy2+2y-6=0dy2+2y+6=03、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1，且

7、兩根互為倒數(shù)：寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1，且兩根互為相反數(shù)：x4、若實數(shù)x、y滿足(x+y-3)(+y)+2=0，則x+y的值為（）a、-1或-2b、-1或2c、1或-2d、1或25、方程：x2+1x2=2的解是。類型三、配方法ax+bx+c=0(a0)x+=b2b2-4ac22a4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：例1、試用配方法說明x2-2x+3的值恒大于0。例2、已知x、y為實數(shù)，求代數(shù)式x2+y2+2x-4y+7的最小值。例3、已知x2+y2+4x-6y+13=0，x、y為實數(shù)，求xy的值。例4、分解因式：4x2+1

8、2x+3針對練習(xí)：1、試用配方法說明-10x2+7x-4的值恒小于0。2、已知x2+111-x-4=0，則x+=.x2xx3、若t=2-3x2+12x-9，則t的最大值為，最小值為。類型四、公式法a條件：(0,且b2-4ac0)公式：x=,a0,且b2-4ac0)-bb2-4ac(2a典型例題：例1、選擇適當方法解下列方程：(x31+x)2=6.(x+3)(+6)=-8.x2-4x+1=0323x2-4x-1=03(x-1)(x+1)=(x-1)(x+5)例1、已知x-3x+2=0，求代數(shù)式的值。例3、已知a是一元二次方程x-3x+1=0的一根，求的值。例2、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）x2-

9、22x-3；（2）-4x2+8x-1.2x2-4xy-5y2說明：對于二次三項式ax2+bx+c的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，一般情況要用求根公式，這種方法首先令ax2+bx+c=0，求出兩根，再寫成ax2+bx+c=a(x-x)(x-x).12分解結(jié)果是否把二次項系數(shù)乘進括號內(nèi)，取決于能否把括號內(nèi)的分母化去.類型五、“降次思想”的應(yīng)用求代數(shù)式的值；解二元二次方程組。典型例題：(x-1)3-x2+12x-1例2、如果x2+x-1=0，那么代數(shù)式x3+2x2-7的值。a3-2a2-5a+12a2+1例4、用兩種不同的方法解方程組2x-y=6,x2-5xy+6y2=0.(1)(2)說明：

10、解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學(xué)思想化歸思想，即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已知的問題.考點四、根的判別式b2-4ac根的判別式的作用：定根的個數(shù)；求待定系數(shù)的值；應(yīng)用于其它。典型例題：例1、若關(guān)于x的方程x2+2kx-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是。例2、關(guān)于x的方程(m-1)x2+2mx+m=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是()a.m0且m1b.m0c.m1d.m1例3、已知關(guān)于x的方程x2-(k+2)x+2k=0(1)求證：無論k取何值時，方程總有實數(shù)根；(2)若等腰dabc的一邊長為1，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求da

11、bc的周長。例4、已知二次三項式9x2-(m+6)x+m-2是一個完全平方式，試求m的值.x2+2y2=6,例5、m為何值時，方程組有兩個不同的實數(shù)解？有兩個相同的實數(shù)解？mx+y=3.針對練習(xí)：1、當k時，關(guān)于x的二次三項式x2+kx+9是完全平方式。2、當k取何值時，多項式3x2-4x+2k是一個完全平方式？這個完全平方式是什么？3、已知方程mx2-mx+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值是.y=kx+2,4、k為何值時，方程組y2-4x-2y+1=0.（1）有兩組相等的實數(shù)解，并求此解；（2）有兩組不相等的實數(shù)解；（3）沒有實數(shù)解.5、當k取何值時，方程x2-4mx+4x+3m2-2m

12、+4k=0的根與m均為有理數(shù)？考點五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：例1、關(guān)于x的方程(m+1)x2+2mx-3=0有兩個實數(shù)根，則m為,只有一個根，則m為。例2、不解方程，判斷關(guān)于x的方程x2-2(x-k)+k2=-3根的情況。例3、如果關(guān)于x的方程x2+kx+2=0及方程x2-x-2k=0均有實數(shù)根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由。考點六、應(yīng)用解答題“碰面”問題；“復(fù)利率”問題；“幾何”問題；“最值”型問題；“圖表”類問題典型例題：1、五羊足球隊的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯990次，問晚宴共有多少人出席？2、某小組每人送他人一張

13、照片，全組共送了90張，那么這個小組共多少人？3、北京申奧成功，促進了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產(chǎn)品投放市場，根據(jù)計劃，第一年投入資金600萬元，第二年比第一年減少13，第三年比第二年減少12，該產(chǎn)品第一年收入資金約400萬元，公司計劃三年內(nèi)不僅要將投入的總資金全部收回，1還要盈利，要實現(xiàn)這一目標，該產(chǎn)品收入的年平均增長率約為多少？（結(jié)果精確到0.1，3133.61）4、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對此回答：（1）當銷售價定為每千克55元時，計算月銷售量

14、和月銷售利潤。（2）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應(yīng)定為多少？5、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個正方形。（1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這兩段鐵絲的長度分別為多少？（2）兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由。（3）兩個正方形的面積之和最小為多少？6、a、b兩地間的路程為36千米.甲從a地，乙從b地同時出發(fā)相向而行，兩人相遇后，甲再走2小時30分到達b地，乙再走1小時36分到達a地，求兩人的速度.考點七、根與系數(shù)的關(guān)系前提：對于ax2+bx+c=0而言，當滿足a0、d0時，才能用韋達定理。aa主要內(nèi)容：x+x=-12bc,xx=12應(yīng)用：整體代入求值。典型例題：例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程2x2-8x+7=0的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（）a.3b.3c.6d.6例2、已知關(guān)于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x,x，12（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。例3、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項系數(shù)為1）時，小明因看錯常數(shù)項，而得到解為8和2，小紅因看錯了一次項系數(shù)，而得到解為-9