競賽講座第七講二次根式的運算

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第七講二次根式的運算式子.、a ( a 0)叫二次根式，二次根式的運算是以下列運算法則為基礎(chǔ).(1) a . c 二b. c =(a-b). c ( c 0);(2) .a 、b = ab ( a _0, b _0);、a a:bb(a _0,b 0);X2 -25x -4：2二 2，則 x2 y2【例2】化簡.14亠n2 (n 1)2，所得的結(jié)果為(D.1 -( .a).a _0 ,說明了 , a與a、a2n 一樣都是非負(fù)數(shù)； (、.a)2二a ( a_0)，解二次根式問題的途徑一一通過平方，去掉根號有理化； (.a)2 =a，揭示了與絕對值的內(nèi)在一致性.著名數(shù)學(xué)教育家玻利亞

2、曾說，“回到定義中去”，當(dāng)我們面對條件較少的問題時，記住玻利亞的忠告,充分運用概念解題. =$a2 ( a _0).同類二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它們貫穿于二次根式運算的始終，因為二次根式的加 減實質(zhì)就是合并同類二次根式，二次根式除法、混合運算常用到有理化概念.二次根式的運算是在有理式 (整式、分式)運算的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，常常用到有理式運算的方法與技 巧，如換元、字母化、拆項相消、分解相約等.例題求解【例1】(重慶市競賽題)思路點撥 因一個等式中含兩個未知量，初看似乎條件不足，不妨從二次根式的定義入手.注：二次根式有如下重要性質(zhì)：( 武漢市選拔賽試題)思路點拔 待選項不再含根號，

3、從而可預(yù)見被開方數(shù)通過配方運算后必為完全平方式形式.注特殊與一般是能相互轉(zhuǎn)化的，而一般化是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基本形式，數(shù)學(xué)的根本目的就是要揭示更為普遍、更為深刻的事實和規(guī)律.【例3】計算：(1)(2)(3)、.6 4.33、2；（6 - . 3）（ 32）.10 .14 _.15 _.21 ；10 J4 -.15 211 1 1 1；3 .3 5 3 5 7一 5 5i749 一 47 47.493、15 -、.10 -2 .63、3 - 218聶 +2（3 +1思路點撥若一開始就把分母有理化，則使計算復(fù)雜化，觀察每題中分子與分母的數(shù)字特點，通過分拆、分解、一般化、配方等方法尋找它們的聯(lián)系，以此為解題

4、的突破口.【例4】（1）化簡.4 23 ：.42.3 ；（北京市競賽題）計算、10 8 3 2 2（“希望杯”邀請賽試題） 計算a 2 a _1 a _2、a _1 （湖北省孝感市“英才杯”競賽題 ）思路點撥（1）把4+2 . 3萬與42 3分別化成一個平方數(shù)化簡，此外，由于4+2 3與4 2、3是互為有理化因式，因此原式平方后是一個正整數(shù)，我們還可以運用這一特點求解；（3）通過配方，可以簡化一重根號，解題的關(guān)鍵是就a的取值情況討論，解決含根號、絕對值符號的綜合問題. 1【例 5已知 a 七一2一 a T-4. b -2=3、. c 一3c -5，求 a bc 的值.（山東省競賽題）思路點撥已

5、知條件是一個含三個未知量的等式，三個未知量，一個等式怎樣才能確定未知量的值呢？考慮從配方的角度試一試.學(xué)歷訓(xùn)練1 .如果 y = 2x -3 , 3 -2x 2，那么 x - 2y=.（四川省競賽題）2.已知xy=3，那么xp+y匹的值為（成都市中考題）丫 x y3計算（,3 I）2001 _2（、31）2000 -2G 3 1）1999 2 001 =.（天津市選拔賽試題）4若ab工0,則等式匚號=丄匸託飛成立的條件是.（淄博市中考題） b5 b35如果式子.（x_1）. 1999 2000 2001 2002 1 ; 3_2 . 2.5-2,67_2.129 _22011 _23013_2

6、 42. 15_2.5617 -272 ;競賽題) 4)1997.19992001(.1997 - 1999)( . 19972001)( 19991997 )(. 1999 - 2001 )( 20011997) (. 2001 - 1999)(“希望杯”邀請賽試題)10 . （1）已知9 .13與9-、13的小數(shù)部分分別是 a和b，求ab 3a+4b+8的值；（2）設(shè) x=4n rm，y$n1 7 , n 為自然數(shù)，如果 2x2 197xy 2y1993 成立, In +1 +Jnpn 比-Jn求n .11 .如圖，某貨船以 20海里/時的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的 B處，經(jīng)

7、16小時的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時，接到氣象部門通知，一臺風(fēng)中心正以 x_2化簡的結(jié)果為2x_3，則x的取值范圍是（）A . xw 1 B . x 2 C . 10（徐州市中考題）6如果式子（1 _a） 根號外的因式移入根號內(nèi)，化簡的結(jié)果為（）T 1 _aA . 1 -aB . a1 C .-.： a -1 D . ：1 -a7.已知 x -2、&7 +y =0(x *0, y ：0),貝U 3x(二 的值為() 5x +3Jxy _4y&已知a ： 1，那么丄1 a2a 1的值等于（）2 +G3a +1a -aA .(1 2,3) B .-1C（北京市數(shù)學(xué)9 計算:40海里/時的速

8、度由 A向北偏西60方向移動，距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均會受到影響.（1）問：B處是否會受到臺風(fēng)的影響 ？請說明理由；（2）為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完貨物？12.已知- 2、2，那么2X（T1杯全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）（供選用數(shù)據(jù)：,2 ：-1.4 ,：-1.7）（貴陽市中考題）_ 113. 若有理數(shù) X、y、z 滿足.x y _1 亠，.z 2（x-.-y-.-z）,則（xyz）2=（北京市競賽題）14. 設(shè).27 _10 .2 a b，其中a為正整數(shù)，b在0, 1之間，則 電空=.a _b15 .正數(shù) m n 滿足 m +4 jmn _2m 一4 JF +4

9、n =3，則=.Jm +2亦 +2002（北京市競賽題）16. 化簡 2、, 3-2 .2 ；17 _12 .2 等于（）A . 54 2 B . 4 . 2 一 1 C . 5 D . - 1 （全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題 ）17. 若 1 -x 1 x，則.（x -1）2 等于（）A x -1 B . 1 - x C . 1 D . 1（2004年武漢市選拔賽試題） 18 .若a = b, a、b、. a - b都是有理數(shù)，那么 .a和,b面（）A .都是有理數(shù) B .一個是有理數(shù)，另一個是無理數(shù)C .都是無理數(shù) D .有理數(shù)還是無理數(shù)不能確定（第13屆“希望杯”邀請賽試題）19 .下列三個命題:

10、 若a ,3是互不相等的無理數(shù), 若a ,3是互不相等的無理數(shù), 若a ,3是互不相等的無理數(shù),則 a 3 + a 3是無理數(shù);a P則是無理數(shù)；CL則3 ；是無理數(shù).其中正確命題的個數(shù)是（）學(xué)習(xí)必備歡迎下載A. 0 B . 1 C . 2 3 （全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）20.計算:(1)“希望杯”競賽題）(2)（山東省競賽題）(3)2 11.23.22飛；（四川省選拔賽題）100.99 99、1002(6 _2.3 _2、5. 15)；二5，2 出一2 _：3_2.2 .（新加坡中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題）.5121. (1)求證a2宀亠b2(ab+1)21=a +b ab+12199921222 定義

11、f(X)=尹 X（“祖沖之杯”邀請賽試題）計算、1 1999，求 f f(3)亠 亠 f(2k -1)f(999)的值; 2x 1 3 x2 -1 3 x2 -2x 1 -V200022000筮迤魚次迎上或由上嶺亠?？偠每俫0則Hz2yr2斗選f垠式書匚珂口莎齋/匚F藥 J+-1_* m-H3唸戲篦於=7F垢島”一施申十一阿再十e-療S古 S+閉S-局 心畐” u ”島十歷+念聲+療廠鬲萬頑苻喬=科r“r 琴察一般情稅丁_= =- _ J . _R(2 * 1/2n- + (?n_ 1) /JjfTT*/Zn + /5nT(I + 2jI)聲十I _血En丄-_ 1 - 旦2 /2nA-T*

12、I 雖 v2n4 1i/2k L 1 施式一應(yīng)再一西)士2松o.A當(dāng)時衛(wèi)總/E樂l.Jft成二“E+1 + 】_JE=2當(dāng)4?時*/刁、】頃 式./T?+l+ aAiT 1=2 幾二 i.詢 5 將等式H理配齊 44 f ATDs + ( i/SZ2)T + -(応7 3尸=氛則 旳一1 亠 1=0. /辦遼2=0. /0.A0 S. B fr, C 7. D & D蠶 L)設(shè) r=L999*|專式-#t5+l” + 2)G43HU /忖十3“兀丿十和吃”=+3+1)!+ 3h+ 1“原式 /(2-1)1 -h/(V3 72J1 +/(2-VT)r 7両-&駅一Q */5 YH +d再一療*

13、4/石顧一再尸匣式=萬土需需濫當(dāng)話T 瞬器牆晉w 總?cè)f十萬*礦 須-應(yīng) 設(shè)砲i后*顧式=仇f + E.f九匸命十。M.因用j+y- + 2fj-jy-l .|2(+)* + 193-1993.2(1 + 2)* + 193*1993.,%(4+2尸-900,70, A = ?.11.過H作BD1AC于D.因Bf=yAfl=l6O-1607.71 - 16073- 120, 】60仔型* 駅小時片故語直在3. 8小時內(nèi)卸究貸樹.U, 970 IX -)251雖E雄一715* 焉 由條件得（t/T+2石尸一2（丿石+2廟3=0.if. D 17. B、 A .示*（石+再）+托=寺（石十再（石拓）

14、W A視斥r砧&一尸GT”葉H + l 令廠】*住 1+耀劃咖*r-0為春遂殖峠a2月應(yīng)(為有直A I Btt .令L迥、尸亠近石+弼7為有理故(D囁盍=乎護(hù)込瞬2再再+湮一 Q 123)：一-=-T=F=1/n + Ja * 1 i/H /if + (4 原式=V】2-2 /53?72 *燈+2 穴X5 WJ-N+Q -734 廳71n,(+_品7 +寺+諾訐十2于 巳穿；口“ +肝為我邊平方得遲(2)在(打申專 fl-1999.fc-l.Bffi式 | 1999+1-1225 J_l.u+V+l+iV2000* 1599-(jt1TFTT_7HrJ5EI+ vjr + l)2原式書 卜匹二

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