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1、1,1.1 實(shí) 數(shù) (R),1. 實(shí)數(shù)的分類(lèi),實(shí)數(shù),無(wú)理數(shù):,有理數(shù)(Q):,無(wú)限不循環(huán)小數(shù),正數(shù),負(fù)數(shù),正整數(shù),分?jǐn)?shù),2. 實(shí)數(shù)的性質(zhì),1).實(shí)數(shù)關(guān)于加、減、乘、除四種運(yùn)算封閉.,考慮自然數(shù)N、整數(shù)Z、無(wú)理數(shù)、有理數(shù)Q是否關(guān)于上述四種運(yùn)算封閉?,不是無(wú)理數(shù),而是有理數(shù).,只有有理數(shù)關(guān)于此四種運(yùn)算封閉.,零,正分?jǐn)?shù),負(fù)整數(shù),負(fù)分?jǐn)?shù),2,可以把數(shù)軸看成是實(shí)數(shù)的直觀圖形(幾何模型),即一個(gè)實(shí)數(shù)可以理解為數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)。,4).實(shí)數(shù)與數(shù)軸的上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。,2).實(shí)數(shù)是有序的,即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b必滿足下述三個(gè)關(guān) 系 之一:ab,ab,a=b.,實(shí)數(shù)的三歧性,3).實(shí)數(shù)具有稠密性.而實(shí)數(shù)不僅具有稠密
2、性,而且具有連續(xù)性 (實(shí)數(shù)間無(wú)“空隙”) 。,例.設(shè)a為有理數(shù),x為無(wú)理數(shù),證明: (1)a+x是無(wú)理數(shù) (2)當(dāng)a0時(shí),ax是無(wú)理數(shù).,證:反證法,3,3. 實(shí)數(shù)的絕對(duì)值,1).定義,2).幾何意義,3).性質(zhì),4,思考:兩個(gè)等號(hào)何時(shí)成立?,5,6,4. 常用的實(shí)數(shù)集-區(qū)間和鄰域,設(shè)a, b都是實(shí)數(shù), 且ab,有下面形式的區(qū)間,a,b,a,b,a,b,a,閉區(qū)間,半開(kāi)半閉區(qū)間,無(wú)窮區(qū)間,區(qū)間,7,a,a,a,無(wú)窮區(qū)間,8,鄰域,定義1 以x0為中心, 以 為半徑, 長(zhǎng)為2 的開(kāi)區(qū)間.即,稱為點(diǎn) x0 的 鄰域 , 記為U(x0 , ).,例1 U(2 , 1),U(- , ),=x|x-2|
3、1=(1,3).,= x|x + | =(-1,0).,9,定義2 點(diǎn) x0 的去心鄰域.即,定義3 點(diǎn) x0的左鄰域,即,點(diǎn) x0的右鄰域,即,10,注:所有的鄰域都是開(kāi)區(qū)間;,鄰域是考慮某點(diǎn)附近點(diǎn)的集合,故一般不會(huì)很大;,鄰域的中心: x 0 ;鄰域的半徑: 0,11,1.2 函數(shù)的概念,一、 函數(shù)的定義,定義 設(shè)D為一個(gè)非空實(shí)數(shù)集,若對(duì)D中每一個(gè)值 x,按照一定的對(duì)應(yīng)法則 ,總有確定的數(shù)值y和它對(duì)應(yīng),則稱 f是定義在D上的一個(gè)函數(shù),記作 y=(x). 稱 x 為自變量, y 為因變量; D 為 f 的定義域;,注:1. 要求定義域D為非空集合.,當(dāng) 時(shí),稱 為函數(shù)在 的函數(shù)值.,函數(shù)值全
4、體組成的數(shù)集 Z =y|y=f(x), xD為 f 的值域.,12,4. 定義域D和對(duì)應(yīng)法則f 是確定函數(shù)的兩要素.,3. 函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的全體。所以一般情況下,函數(shù)的定義域都省略不寫(xiě).,在判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同時(shí),判斷其是否具有相同的定義域及對(duì)應(yīng)法則.,2. 由f 確定的y 值,必須是唯一的.,這類(lèi)函數(shù)成為單值函數(shù), 還有一類(lèi)函數(shù)為多值函數(shù).,13,14,由于有些函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則雖然形式上不同,但卻表示同一個(gè)函數(shù),所以在判斷過(guò)程中經(jīng)常把兩個(gè)函數(shù)的定義域及值域是否相同作為一種判斷方法.,15,但要注意的是,函數(shù)的定義域及值域相同僅是兩個(gè)函數(shù)相同的必要條件而非充分條件.即一般用它
5、來(lái)判斷兩個(gè)函數(shù)不相同.,5.同一個(gè)函數(shù)不會(huì)因自變量,因變量字符的改變而發(fā)生改變.,16,二、函數(shù)的表示法:列舉法、描述法、列表法、圖象法.,三、分段函數(shù),問(wèn)題:是否所有的函數(shù)都可用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示呢?,有的函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi),要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)學(xué)式子來(lái)表示,這一類(lèi)函數(shù)叫作分段函數(shù).,17,例:絕對(duì)值函數(shù),y,x,o,y=|x|,例 符號(hào)函數(shù),1,1,o,x,y,18,例 狄立克萊函數(shù),例 取整函數(shù)(階梯曲線) y = x 為不超過(guò) x 的最大整數(shù)部分.,實(shí)際上是取左端點(diǎn).,o,x,y,1,2,1,1,2,0.3=,0,2.8=,2,-0.3=,-1,-2.6=,-3,19,注:分段
6、函數(shù)雖然有幾個(gè)式子,但它們合起來(lái)是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù).,20,四、函數(shù)定義域的求法,1.實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)定義域,例 邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮,在四個(gè)角裁掉邊長(zhǎng)為x的四個(gè)小正方形后,所得鐵皮折為一個(gè)無(wú)頂?shù)牧⒎襟w,問(wèn)x多大時(shí),可使容積最大?,集合表示法,區(qū)間表示法,21,2.一般函數(shù)的定義域,例 求函數(shù) 的定義域.,解:,要使 有意義,必須有,從而,函數(shù)的定義域?yàn)?如未特別指明,函數(shù)定義域Df 為使函數(shù)有意義的自變量的全體.,22,例 求函數(shù) 的定義域.,解:,要使 有意義,必須有,23,從而,函數(shù)的定義域?yàn)?24,3.分段函數(shù)的定義域,分段函數(shù)的定義域?yàn)楦鞣侄巫佣x域的并集.,例 求函數(shù) 的定
7、義域.,解:可以看出,函數(shù)的定義域?yàn)?25,例,解,故f(x+3)的定義域?yàn)椋?3,-1,26,確定分段函數(shù)的定義域并求f (1), f (0), f (1), f (x1).,解,27,習(xí)題,28,1.3 函數(shù)的基本性質(zhì),一、 單調(diào)性,單調(diào)性、有界性、奇偶性和周期性,則稱(x)在區(qū)間 I 上嚴(yán)格單調(diào)或單調(diào),設(shè)(x)為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù),若x1, x2D,當(dāng)x1 x2 時(shí),恒有 或,29,30,結(jié)論:同一定義域上兩個(gè)單調(diào)性相同的函數(shù)之和與這兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性.,31,設(shè)函數(shù) f (x)在D上有定義.如果M,使得對(duì)xD,都有f (x) M 成立,則稱f (x)在D上有上界.,y=M,
8、x,o,y,y= (x),設(shè)函數(shù) f (x)在D上有定義.如果M,使得對(duì)xD,都有f (x) M 成立,則稱f (x)在D上有下界.,y=M,x,o,y,y= (x),二、 有界性,32,設(shè)函數(shù) f (x)在D上有定義.如果M0,使得對(duì)xD,都有| f (x)| M 成立,則稱f (x)在D上有界.,o,y=M,y=M,x,y,y= (x),函數(shù)在區(qū)域D上有界的充要條件是在該區(qū)域上既有上界又有下界.,33,例:說(shuō)明函數(shù) y=sin(x)在(,)上有界.,所以函數(shù) y=sin(x)在(,)上有界.,o,x,y,有界性必須指明區(qū)間,函數(shù)的界不唯一,34,設(shè)函數(shù) f (x)在D上有定義.如果M,使得對(duì)xD,都有f (x) M 成立,則稱f (x)在D上有上界.,設(shè)函數(shù) f (x)在D上有定義.如果M,使得對(duì)xD,都有f (x) M 成立,則稱f (x)在D上有下界.,設(shè)函數(shù) f (x)在D上有定義.如果M0,使得對(duì)xD,都有| f (x)| M 成立,則稱f (x)在D上有界.,設(shè)函數(shù) f (x)在D上有定義.如果 M,x0(M)D,使得 f (x0) M ,則稱f (x)在D上無(wú)上界.,設(shè)函數(shù) f (x)在D上有定義.如果 M,x0 (M) D,使得f (x0) M 成立
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