高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3優(yōu)越的平面向量坐標運算論文素材新人教A版必修4 (1)

1、優(yōu)越的平面向量坐標運算向量的坐標表示，實際上是向量的代數(shù)表示形式，引入向量的坐標表示后，可使向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，從而使許多問題的解決轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算，盡管有一定的運算量，但思維容量及層次上均有所降低，具有一定的優(yōu)越性。一、 利用向量平行的充要條件解題向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）（b0）平行的充要條件是x1y2=y1x2（a的橫坐標與b的縱坐標的積等于a的縱坐標與b的橫坐標積，簡記為：乘叉等）例1 已知a=（1，2），b=（-3，2）（1） 求證：a和b是一組基底，并且用它們表示c=（x0，y0）（2） 若（k2+1）a-4b與ka+b共線，求k的值。

2、（1） 證明：122（-3），a與b不共線，又a與b均非零向量，a與b是一組基底可設(shè)c=ma+nb，則（x0，y0）=m（1，2）+n（-3，2），（x0，y0）=（m，2m）+（-3n，2n），解之得m=，n=c=a+b（2） 解：（k2+1）a-4b=（k2+1）（1，2）-4（-3，2）=（k2+13，2k2-6），ka+b=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2）（k2+1）a-4b與ka+b共線，（k2+13）（2k+2）=（2k2-6）（k-3） k2+2k+1=0 k= -2點評：兩個向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）平行的充要條件容易寫錯，如寫成x1y1-x2y

3、2=0或x1x2-y1y2=0，因此要理解并熟記這一公式。例2 已知A、B、C、D四點的坐標分別為A（1，0）、B（4，3）、C（2，4）、D（0，2），試證明四邊形ABCD是梯形。分析：只要證出有一組對邊平行，另一組對邊不平行即可，先畫出草圖再猜測哪組對邊平行，哪組對邊不平行，然后再通過各邊所在的向量來證明。證明：AB=（3，3），DC=（2，2）又32=32ABDC，即ABDCAD=（-1，2），BC=（-2，1）又（-1）1-2（-2）0AD與BC不平行，即AD與BC不平行四邊形ABCD是梯形點評：熟練掌握兩向量平行在坐標下的充要條件是解決本題的關(guān)鍵。二、 求點的坐標例2 如圖1，已知正

4、方形ABCD的頂點A、B的坐標分別為（1，0），（5，3），求C點的坐標。yxAB3CDMNO（）15圖1解：過D、B作x軸的垂線，垂足分別為M、N，由ABCD是正方形可知+=90，故可證DMAANB，MA=3，DM=4，即點D的坐標為（-2，4）設(shè)C（x，y），則DC=（x+2，y-4），AB=（4，3）DC=AB解得，故點C（2，7）點評：本題還可通過AC=AB+AD求得點C坐標，解決本題的關(guān)鍵，在于把握好相等向量或向量加減法的坐標表示與圖形表示之間的關(guān)系，運用數(shù)形結(jié)合的思想轉(zhuǎn)化問題。三、 證明幾何問題如圖2，已知ABCD是正方形，BEAC，|AC|=|CE|，EC的延長線交BA的延長線于F，用向量的坐標法證明AF=AE。yxABDCFE（0）圖2證明：建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)正方形邊長是1，則A、B的坐標分別是（-1，1）和（0，1），設(shè)E（x，y），則BE=（x，y-1），AC=（1，-1）BEAC，-x=y-1 又|AC|=|CE|，即x2+y2=2 解、得E的坐標為（）設(shè)F（x1，1），則CF=（x1，1），又CF與CE共線x1-=0，則x1=-2-即F點的坐標為（-2-，1）AF=（