對(duì)人教版A版高中數(shù)學(xué)《點(diǎn)到直線的距離》一節(jié)的一點(diǎn)看法與建議

1、 學(xué)科論文高中數(shù)學(xué)水到渠成,順理成章對(duì)人教版a版點(diǎn)到直線的距離一節(jié)的一點(diǎn)看法與建議內(nèi)容提要 本文結(jié)合具體課堂教學(xué)實(shí)踐，就新課標(biāo)教材點(diǎn)到直線的距離一節(jié)的處理如何更有效地激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力與符號(hào)運(yùn)算能力，對(duì)該節(jié)課程的課堂教學(xué)與教材的編寫談了作者的一些思考.關(guān)鍵詞 點(diǎn)到直線距離 運(yùn)算能力 學(xué)習(xí)策略 高中數(shù)學(xué)新課程無論在新課改的理念還是教師的教學(xué)手段等方面已經(jīng)悄悄地發(fā)生著變化。比如數(shù)學(xué)學(xué)科人教版a版的教材主導(dǎo)思想是想讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)是有用的、學(xué)數(shù)學(xué)能提高能力、數(shù)學(xué)是自然的、數(shù)學(xué)是清楚的。該教材是許多課程專家與一線教師的研究成果和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的結(jié)晶，但由于是新課程的第一階段，教材中也存

2、在一些不是很妥當(dāng)?shù)牡胤?，?jīng)過了一輪的教學(xué)以后，有些地方已經(jīng)進(jìn)行了一些修改，從原先的不甚合理變得比較得合理。本文就筆者所聽高一年級(jí)的一節(jié)點(diǎn)到直線的距離的公開課（人教版a版數(shù)學(xué)必修2），對(duì)該教材中對(duì)于點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)的處理談?wù)剮c(diǎn)想法：首先我們看看這節(jié)課的大致情況的摘錄：該教師為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)也為了讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)是有用的，數(shù)學(xué)是自然的，在進(jìn)入正題之前設(shè)置了一個(gè)生活中的例子“某電信局計(jì)劃年底解決本地區(qū)最后一個(gè)小區(qū)p的電話通信問題，并選擇了一條離它最近的電信線路，要完成這項(xiàng)任務(wù)，至少需要多長的電纜？”，然后師生共同從實(shí)際事例中抽象出數(shù)學(xué)問題：點(diǎn)到直線的距離問題。教師為了降低難度

3、，給出了線路所在的直線的方程，同時(shí)給出了點(diǎn)p的坐標(biāo)，然后請(qǐng)學(xué)生作答，同學(xué)們的發(fā)言比較踴躍，而且非常順利地依次采用“作垂線，求垂足，算距離”“構(gòu)造直角三角形，利用等面積求高”“利用兩點(diǎn)間距離公式，利用函數(shù)求最值”三種方法來解決這個(gè)問題.在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教學(xué)活動(dòng)進(jìn)程顯得很自然，也很順手，學(xué)生的求知欲望高漲，在問題得以解決時(shí)的那種興奮溢于言表，課堂氣氛熱烈，自然在這樣的情景中，教師趁熱打鐵，乘勝追擊，提出該問題是否可以推廣到一般情況，如：已知直線的方程為：（a、b不同時(shí)為零），點(diǎn)，問能否求出點(diǎn)到直線的距離。該問題拋出后，教師象剛才一樣讓學(xué)生思考了一會(huì)，讓同學(xué)們發(fā)表自己的見解，一位同學(xué)首先講述了自己的思

4、路：先利用垂直關(guān)系求出過點(diǎn)與直線垂直的直線方程，然后利用兩直線相交求出垂足q的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出的值，即點(diǎn)到直線的距離（筆者認(rèn)為這個(gè)環(huán)節(jié)可以放手讓學(xué)生按照自己的思路進(jìn)行問題解決）。教師根據(jù)學(xué)生的思路在黑板上進(jìn)行了板書：可能擔(dān)心時(shí)間過于緊張，也可能因?yàn)檎n本p107上說“上述方法雖然思路十分自然，但運(yùn)算較繁，下面我們采用另一種方法”，教師沒有繼續(xù)往下求解，而是話鋒一轉(zhuǎn)告訴同學(xué)們“這樣求解方程比較繁瑣，花的時(shí)間也很長，而且還不容易求對(duì)，因此，我們可以跟具體例子里一樣，我們還可以構(gòu)造直角三角形，利用等面積進(jìn)行計(jì)算?！?在這之前，筆者覺得該教師無論在課堂設(shè)計(jì)方面，還是學(xué)生的思維發(fā)散方面，都

5、處理地比較自然，沒有任何造作，可為了介紹教材中的推導(dǎo)方法，硬生生地把同學(xué)們的思維往另一個(gè)方向扭轉(zhuǎn)地方式是不妥當(dāng)?shù)?。雖然教師參考用書中也寫道“這是典型的坐標(biāo)法（指剛才學(xué)生所說的方法），不妨讓學(xué)生沿著這條思路走下去，求出結(jié)果來，而不是直接介紹教科書上的方法”，教材是我們開展課堂教學(xué)的“綱”與“本”（盡管有人認(rèn)為盡信書，不如無書，但也要回歸課本），由于教科書上說“運(yùn)算較繁”，其結(jié)果自然會(huì)影響到這些運(yùn)算能力較差的學(xué)生的解題自信心，事實(shí)上許多老師都已經(jīng)受到了影響。另外筆者認(rèn)為教科書里的這句話不科學(xué)，具體理由有以下：一、“作垂線，求垂足，算距離”（下面把這種方法就簡稱為方法一）的計(jì)算是不是真的很繁？是不是

6、比“構(gòu)造三角形，利用等面積求高”（下面簡稱為方法二）的計(jì)算要繁很多？oxyq1、下面我們就這兩種方法分別計(jì)算一下：方法一：解：如圖 ，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為q。（1）若直線平行于x軸，即a=0，直線的方程 變形為，點(diǎn)到直線的距離（2）若直線平行于y軸，即b=0，直線的方程 變形為.點(diǎn)p到直線的距離（3）若直線既不平行于x軸，又不平行于y軸，由直線的方程可得，它的斜率是.直線的方程為,即 。與直線的方程聯(lián)立，解得,.得，所以.方法二：解：如圖 ，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為q。oxyq（1）若直線平行于x軸，即a=0，直線的方程待添加的隱藏文字內(nèi)容3 變形為,點(diǎn)到直線的距離s（2）若直線平行于y軸

7、，即b=0，直線的方程 變形為,點(diǎn)到直線的距離 .（3）若直線既不平行于x軸，又不平行于y軸，則直線與x軸和y軸都相交，過點(diǎn)分別作x軸和y軸的平行線，交直線于r和s，則直線的方程為，r的坐標(biāo)為,直線的方程為，s的坐標(biāo)為，于是有.設(shè)，由三角形面積公式可得，,于是得 .比較以上兩種解法，似乎感覺方法一較繁，實(shí)際上，方法一就是式子看起來比較大，其實(shí)，計(jì)算的繁與簡有很多時(shí)候還是“仁者見仁，智者見智”的。2、從思維角度，筆者認(rèn)為方法一比方法二更簡單。前面一節(jié)同學(xué)們剛學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)間的距離公式，而且，初中時(shí)學(xué)生就比較熟悉點(diǎn)到直線的距離,就是由該點(diǎn)向直線引垂線段的長。因此，方法一是比較自然就可以想到的；而方法二

8、，從其本身來說，是難得的一種好方法，也比較重要，但并不是所有的好方法為學(xué)生所能掌握的，或者說在基礎(chǔ)教育階段都有能力掌握的?？梢韵胍幌耄尸F(xiàn)在我們面前的只不過是一個(gè)點(diǎn)和一條直線，其他什么都沒有，現(xiàn)在我們需要構(gòu)造一個(gè)直角三角形來解決問題，試問由沒有的圖形通過一種經(jīng)驗(yàn)來構(gòu)造，這樣的解決問題的方式對(duì)思維及能力本身的要求相對(duì)于方法一是簡還是繁呢？答案是顯然的。二、從知識(shí)之間的聯(lián)系來看，筆者認(rèn)為點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)過程應(yīng)更傾向于方法一。新教材強(qiáng)調(diào)的知識(shí)的螺旋上升，那么點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)實(shí)際上從某種意義上來說也是一次知識(shí)的上升過程，至少也是一種應(yīng)用過程。而且利用曲線的方程，從方程的角度探究曲線的幾何

9、特性始終貫穿整個(gè)高中的解析幾何。三、從能力培養(yǎng)角度來看，方法一更貼近現(xiàn)在的課標(biāo)要求。新課標(biāo)中講到“必修課程內(nèi)容確定的原則是：滿足未來公民的基本數(shù)學(xué)需求，為學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備”，考綱中也只要求學(xué)生掌握通性通法，削弱技巧性的問題。既然是這樣，那么學(xué)生 “水到渠成”的一種想法為什么不進(jìn)行宣揚(yáng)呢。更何況，現(xiàn)在許多學(xué)生的運(yùn)算能力十分低下，而運(yùn)算求解能力又是一種基本能力，能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)也是考綱中的要求。解析幾何就是利用代數(shù)的方法來解決幾何的問題，既然是幾何問題進(jìn)行了代數(shù)化，代數(shù)的主要研究方式就是進(jìn)行運(yùn)算，因此也就造成了解析幾何避免不了的運(yùn)算量大的現(xiàn)象，所以對(duì)于一個(gè)帶有字母量的二元一次方程組的求解，無論是從運(yùn)算的角度還是從培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)韌不拔、鍥而不舍的精神品質(zhì)的角度都應(yīng)該是一個(gè)很好的素材，所以我建議在教科書中，我們應(yīng)該按照學(xué)生的思路進(jìn)行求解，至于構(gòu)造三角形確實(shí)是一個(gè)好方法，不妨以思考或探究的形式，如：“你能否用其他的方法進(jìn)行求解，如果可以，請(qǐng)比較一下這些方法各有什么優(yōu)點(diǎn)？”通過學(xué)生自己動(dòng)手操作，通過比較可以加深對(duì)知識(shí)的理解，并加強(qiáng)了學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，同時(shí)學(xué)生的自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、閱讀自學(xué)等能力也可以得到發(fā)展。當(dāng)然也可以放在課外閱讀或課外練習(xí)中?？傊?，筆者認(rèn)為，既然想讓學(xué)生感覺“數(shù)學(xué)是自然的”，那么我們解