2015年高考數(shù)學(xué)《新高考創(chuàng)新題型》之2：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(含精析

1、之2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（含精析）一、選擇題。1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，若區(qū)間上，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，已知在上為“凹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）A B C D2德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集,為有理數(shù)集，則關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：； 函數(shù)是偶函數(shù)；任取一個(gè)不為零的有理數(shù),對(duì)任意的恒成立；存在三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形.其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D43設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?若函數(shù)滿足條件：存在,使在上的值域是則稱為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則的范圍是（ ）A. B. D. 4函數(shù)直線與函

2、數(shù)的圖像相交于四個(gè)不同的點(diǎn)，從小到大，交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次記為，有以下四個(gè)結(jié)論 若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同實(shí)根，則取值唯一.則其中正確的結(jié)論是（ ）A. B. C. D. 5是定義在上的函數(shù), 若存在區(qū)間， 使函數(shù)在上的值域恰為，則稱函數(shù) 是型函數(shù)給出下列說(shuō)法:不可能是型函數(shù)；若函數(shù)是型函數(shù), 則，；設(shè)函數(shù)是型函數(shù), 則的最小值為；若函數(shù) 是型函數(shù), 則的最大值為下列選項(xiàng)正確的是（ ）A B C D 6已知函數(shù)，.定義：，滿足的點(diǎn)稱為的階不動(dòng)點(diǎn).則的階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)二、填空題。7若函數(shù)同時(shí)滿足：對(duì)于定義域上的任意，恒有 對(duì)于定義域上的任意，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱函數(shù)為“理

3、想函數(shù)”。給出下列四個(gè)函數(shù)中： ， ，能被稱為“理想函數(shù)”的有_ _ （填相應(yīng)的序號(hào)） 。8以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對(duì)于函數(shù)，存在一個(gè)正數(shù)M，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間.例如，當(dāng).現(xiàn)有如下命題：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，則“”的充要條件是“”；函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值；若函數(shù)，的定義域相同，且若函數(shù)有最大值，則.其中的真命題有_.（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）9如圖，在第一象限內(nèi)，矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別在函數(shù)y=lo，的圖像上，且矩形的邊分別平行兩坐標(biāo)軸，若A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，則D點(diǎn)的坐標(biāo)是 。10若函數(shù)f（x）為定義域D上的單調(diào)函數(shù),且存在

4、區(qū)間（其中ab）,使得當(dāng)xa,b時(shí),f（x）的取值范圍恰為a,b,則稱函數(shù)f（x）是D上的“正函數(shù)”,若是上的正函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 三、解答題。11.為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：小時(shí)毫克（1）寫(xiě)出從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室。那么藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)多少小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室？12.

5、某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品（千臺(tái)），其總成本為（萬(wàn)元），其中固定成本為萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1千臺(tái)的生產(chǎn)成本為萬(wàn)元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）銷售收入（萬(wàn)元）滿足，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：（）寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)的解析式（利潤(rùn)=銷售收入總成本）；（）工廠生產(chǎn)多少千臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多？13.有一種新型的洗衣液，去污速度特別快.已知每投放且個(gè)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時(shí)間（分鐘）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于（克/升）時(shí)，它才能

6、起到有效去污的作用.（）若投放個(gè)單位的洗衣液，分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為（克/升），求的值 ；（）若投放個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘？1C【解析】由已知條件得，則，所以在恒成立，則，因?yàn)樵谶f增，所以，所以4A【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由圖可得，當(dāng)直線與函數(shù)的圖像相交于四個(gè)不同的點(diǎn)，則，故正確；由得，所以，即，故，由于，故，故正確；，由對(duì)號(hào)函數(shù)的圖像得，當(dāng)遞減，故，所以，故正確；若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同實(shí)根，則的圖像與有三個(gè)不同交點(diǎn)，過(guò)的圖像上和的直線正好與相切，故有三個(gè)公共點(diǎn)，而與相切的直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)也有三個(gè)公共點(diǎn)，故錯(cuò)誤，綜上，正確的命題有5C【解析】由題意知，對(duì)若是型函數(shù)，因

7、為在區(qū)間與上都是增函數(shù)所以方程有兩個(gè)不同的非零實(shí)根，即方程有兩個(gè)不同的非零實(shí)根，所以當(dāng)，且時(shí)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，這時(shí)在上的值域恰為，所以函數(shù)是型函數(shù)，故錯(cuò)誤對(duì)，若函數(shù)是型函數(shù), 則存在區(qū)間，使函數(shù)在上的值域恰為，函數(shù)的對(duì)稱軸是，下面分三種情況討論：（a）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的值域?yàn)?，所以有，以上兩式相減得到，因?yàn)?，所以，即，所以，整理得，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根；（b）當(dāng)時(shí)，有，即，矛盾；（c）當(dāng)時(shí)，有時(shí)，可得綜上所述，正確對(duì)，函數(shù)是型函數(shù), 利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得 在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，若，且則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為0，最小值為，要使，只要取，顯然這時(shí)，且函數(shù)在上的值域恰為，所以的最小

8、值不是，因此不正確對(duì)， 若函數(shù)是型函數(shù), 則有兩個(gè)不同的非零解，即有兩個(gè)不同的非零解，由得或，所以（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最大值為故選C6D.【解析】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，的階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，以此類推，的階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是個(gè).7【解析】根據(jù)題中理性函數(shù)的說(shuō)明需滿足：定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)。圖中所給四個(gè)函數(shù)定義域不是排除，為偶函數(shù)排除；為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)其為減函數(shù)，也排除，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故選.8【解析】（1）對(duì)于命題“”即函數(shù)值域?yàn)镽，“，”表示的是函數(shù)可以在R中任意取值，故有：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，則“”的充要條件是“，”命題是真命題；（2

9、）對(duì)于命題若函數(shù)，即存在一個(gè)正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間例如：函數(shù)滿足，則有，此時(shí)，無(wú)最大值，無(wú)最小值命題“函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值”是假命題；（3）對(duì)于命題若函數(shù)，的定義域相同，且，則值域?yàn)?，并且存在一個(gè)正數(shù)，使得則命題是真命題（4）對(duì)于命題函數(shù)（，）有最大值，假設(shè)，當(dāng)時(shí)，0，則與題意不符；假設(shè)，當(dāng)時(shí)，則與題意不符即函數(shù)=當(dāng)時(shí)，,即；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即即故命題是真命題故答案為9【解析】因?yàn)锳點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，即，即D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且B點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2。即，即B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，亦即C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則，即C 點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 ，則D點(diǎn)的坐標(biāo)是10【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x2+k是（-，0）上的正函數(shù)，

10、所以ab0，所以當(dāng)xa，b時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則f（a）=b，f（b）=a，即a2+k=b，b2+k=a，兩式相減得a2-b2=b-a，即b=-（a+1），代入a2+k=b得a2+a+k+1=0，由ab0，且b=-（a+1），a-（a+1）0，即，解得-1a-.故關(guān)于a的方程a2+a+k+1=0，在區(qū)間（-1，-）內(nèi)有實(shí)數(shù)解，記h（a）=，則 h（-1）0，h（-）0，即1-1+k+10且解得k-1且m-即-1m-;故答案為：11【解析】從函數(shù)圖象可以看出，當(dāng)時(shí)，與是正比例函數(shù)關(guān)系，可設(shè)，圖象過(guò)點(diǎn)，用待定系數(shù)法求便可，而當(dāng)時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出便可，最后把函數(shù)關(guān)系寫(xiě)成分段函數(shù)形式；第二步分兩種情況解不等式，一句話分段函數(shù)問(wèn)題分段解決.（1）由圖知，當(dāng)時(shí)，可設(shè)，由于點(diǎn)在直線上可得。此時(shí)當(dāng)時(shí)，由可得綜上 由題意可知，即. 當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，;所以或因此由題意至少需要經(jīng)過(guò)0.6小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室。12（）=;（）當(dāng)工廠生產(chǎn)4千臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使贏利最大，且最大值為3.6萬(wàn)元.【解析】（）由已知分析的出總成本再根據(jù)利潤(rùn)=銷售收入總成本，即可求出的解析式；（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)05時(shí)