上海高中數(shù)學(xué)-復(fù)數(shù)講義

1、復(fù)數(shù)一、知識(shí)點(diǎn)梳理：1、 i的周期性：i 4=1，所以， i 4n+1 =i, i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n =1 nZi 4ni 4 n 1 i 4n 2i 4 n 30 n Z2 、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：abia, bR， a 叫實(shí)部，b 叫虛部，實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)。Cabi | a,bR 叫做復(fù)數(shù)集。 NZQ R C.3、復(fù)數(shù)相等： abicdia c且b=d ； a bi0a0且 b=0實(shí)數(shù) (b=0)4、復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù) Zabi一般虛數(shù) (b0, a0)虛數(shù) (b0)0, a0)純虛數(shù) (b虛數(shù)不能比較大小，只有等與不等。即使是3i,62i 也沒有大小。uuruur為復(fù)數(shù)

2、z 的模， z| abi |a2b2 ；5、復(fù)數(shù)的模：若向量 OZ表示復(fù)數(shù) z，則稱 OZ的模 r積或商的?？衫媚５男再|(zhì)（1） zLzzz2Lz，（ 2）z1z1z01n1nz2z226、復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù) zabi a,bR一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) Z (a,b)復(fù)數(shù) Zabi a,b一一對(duì)應(yīng)uurR平面向量 OZ，7、復(fù)平面： 這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的坐標(biāo)平面叫做復(fù)平面，其中 x 軸叫做實(shí)軸，y 軸叫做虛軸 ，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外， 虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)8、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算復(fù)數(shù) z1 與 z2 的和： z1+z2=( a+bi )+( c+di )=( a+c)

3、+( b+d) i .a, b, c, dR復(fù)數(shù) z與 z的差： z- z =( a+bi )-( c+di )=( a- c)+( b- d) i .a, b, c, dR1212復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律數(shù)加法的幾何意義：復(fù)數(shù) z1=a+bi ，z2=c+dia, b,c, d R ；OZ = OZ1+ OZ2=( a，b)+( c，d)=( a+c，b+d) ( a+c)+( b+d) iuur uruuuuruuuur復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)z1- z2 的差 ( a c)+( b d) i 對(duì)應(yīng) 由于 Z2 Z1OZ1OZ2 ，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差 z z1 與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向

4、被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng).9.特別地， zuuurABz BzA. ， zABuuurABzB zA 為兩點(diǎn)間的距離。| zz1 | | z z2 |z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是線段Z1Z2 的垂直平分線； | z z0 |r ， z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；| zz1 | zz2| 2a Z1Z22a， z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓；| z z1 | | zz2 |2aZ1Z22a， z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。z1z2z1z2z1z210、顯然有公式：2222z1z1z2z22 z1z211、復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算：復(fù)數(shù)的乘法：1 2= (+)(+ )=(ac)+(+).a, b,c, d Rz za bic d

5、ibdbcad i復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和分配律。*實(shí)數(shù)集 R 中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律, 在復(fù)數(shù)集C 中仍然成立 . 即對(duì) z ,z,z C 及 m,n N 有 :123m nm+nm nmn(z z)n nnz z =z, (z) =z,=zz .1212z1(a+bi)(c+di)=abiacbdbcada,b, c, d R ，分母實(shí)復(fù)數(shù)的除法：z2c=c2d2c2d2 idi數(shù)化是常規(guī)方法12、共軛復(fù)數(shù)：若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部是互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù)；特別地，虛部不為 0 的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)；za bi, zabi a,b R， 兩 共 軛 復(fù)

6、數(shù) 所 對(duì) 應(yīng) 的 點(diǎn) 或 向 量 關(guān) 于 實(shí) 軸 對(duì) 稱 。z| z |a2b2z z a2b2R, z z zz ， z1z2 z1z2 ,z1z2z1 z2 ,z1z122z2z213、熟記常用算式：1i ， (1i)22i ， (1i) 22i ，1ii ， 1iii1i1i14、復(fù)數(shù)的代數(shù)式運(yùn)算技巧：（ 1） (1 i ) 22i (1 i )22i1ii1ii 1 i 1 i13 i（ 2）“ 1”的立方根22的性質(zhì)：111312 120 15、實(shí)系數(shù)一元二次方程的根問題：（ 1）當(dāng)b 24ac0 時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根x1 , x2 。（ 2）當(dāng)b24ac0 時(shí)，方程有兩個(gè)共軛虛根，

7、其中x1x2 。此時(shí)有x12x2x1 x2c且 x1,2bi 。2a2a注意兩種題型：(1)x1x2(2) x1x2虛系數(shù)一元二次方程有實(shí)根問題：不能用判別式法， 一般用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等求解。但仍然適用韋達(dá)定理。已知 x 2x1 是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax 2bx c0 的兩個(gè)根，求 x 2x1 的方法：（ 1）當(dāng)b24ac0時(shí)，x2x1(x124x1 x2b24acx2 )a(2) 當(dāng)b24ac0 時(shí)，x2x1( x1x2 )24x1x24acb2a已知 x1,x 2 是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax 2bxc0 的兩個(gè)根，求 x 2x1的方法：（ 1）當(dāng)b 24ac0 時(shí)， x1 x20, 即 c0 ，

8、則 x2x1x1x2baa x1x20, 即 c0，則x2x1x1x2(x1x2 ) 24x1 x2b24acaa（ 2） 當(dāng)b24ac0時(shí)，x2x12 x12x1x22 ca二、典例分析：(1+i)2等于 ()例 1（ 1）復(fù)數(shù)1 iA.1 iB.1+iC. 1+ iD. 1 i解析 :(1+i)22ii(1i )1i ，選 C復(fù)數(shù)=11 ii（ 2）若復(fù)數(shù) z 同時(shí)滿足 z z 2 i ， z iz （ i 為虛數(shù)單位） ，則 z 解：已知ZiZ2iZ2ii1；1i（ 3）設(shè) a、b、c、d R，則復(fù)數(shù) ( a+bi)(c+di) 為實(shí)數(shù)的充要條件是A. adbc=0B.ac bd=0C.

9、ac+bd=0D.ad+bc=0解析：（ 1） a,b, cR, 復(fù)數(shù) (abi)(cdi) = (acbd) (adbc)i 為實(shí)數(shù)， adbc 0 ，選 D；（ 4）已知m1 ni ，其中 m， n是實(shí)數(shù)， i是虛數(shù)單位，則 m ni（）1i(A)1+2i(B) 1 2i(C)2+i(D)2 i解析：m1 nim1n1n01 i1 n i ，由 m 、 n 是實(shí)數(shù)，得n，1mn1ni2i ，故選擇 C。mm2（ 5）設(shè)x, y 為實(shí)數(shù)，且xy5，則 xyi1 2i113i解析：xyx(1i )y(12i)( xy )( x1i 12i25252而55(13i)13i所以 xy1 且 x2

10、y13i102225225所以 x y 4。點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)，基礎(chǔ)題。1996。2 y)i ，53，解得 x 1， y5，2例 2：（1）計(jì)算：23i212 3i1i答案：1 i（ 2）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足關(guān)系 z| z |2 i ，求 z；解：設(shè) z=a+bi （ a,b 為實(shí)數(shù)），由已知可得a bia 2b 22 i由復(fù)數(shù)相等可得：aa 2b 22 ，解得 a3 , b1，所以 z3ib144設(shè) z=a+bi-x+yi （ a,b 為實(shí)數(shù)）復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化。（ 3）若 xC ，解方程 | x | 13ix解：設(shè) x=a+bi (a,b R)代入條件得 :a2b21a(3b)i ,

11、由復(fù)數(shù)相等的定義可得：a 2b21a , a= 4， b=3， x= 4+3i 。3b0例 3： (1) 復(fù)數(shù) z 滿足 | zi |2| zi |21 ，則 z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形為（A）A直線B圓C橢圓D拋物線解：令 z=x+yi （ x，yR），則 x2+(y+1) 2 x 2+(y 1) 2=1 ， y=1/4 。故選 A。（ 2）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足： | z33i |3 ，求 |z| 的最大值與最小值；解： |z| 的最大值為 33 ，最小值為3；（ 3）已知 z C， |z 2|=1且復(fù)數(shù) z 2 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在直線y=x 上，求 z。解：設(shè) z2=a+ai ， |z 2|=

12、1 ， a2 ，2 z 222 i 或 z 222 i 。2222【思維點(diǎn)撥】 從整體出發(fā)利用條件，可簡(jiǎn)化運(yùn)算，本題也可設(shè)z=a+bi 再利用條件，但運(yùn)算復(fù)雜。(4) 設(shè) z C ,1| z |2 ，則復(fù)數(shù) uz(1i ) ，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的圖形面積為 _。解： |u|=|z | ?|1+i|=2 |z| ，2 |u| 2，故面積 S= 22( 2) 2 2 ?！舅季S點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是處理復(fù)數(shù)問題的常用方法。例 4：已知 z=1+i ， a， b 為實(shí)數(shù)，(1) 若 =z2+3 z 4, 求| |;(2)若 z2azb1i ，求 a，b 的值。z2z1解：（ 1） =(1+i) 2+3(1

13、 i)4= 1i ， |2。（ 2）由條件 (ab)(a2)i1i ， (ab)( a 2)i1i ，a1。ib2【思維點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)的充要條件解題。例 5：設(shè) zC, 且z是純虛數(shù)，求 | zi | 的最大值。z1解：令 z=x+yi（ x，yR），則zx 2y2xyy 2 ，y 2( x 1) 2z 1 (x 1) 2z 是純虛數(shù)，yPz1x2y2x0 ，即 ( x1) 2y21 ( y0)，由數(shù)形結(jié)O1/2xy 024 1合可知本題是求圓(x1 ) 2y21 ( y0) 上的點(diǎn)到A(0, 1)24的最大距離。| zi | max=|PA|=51 。2練習(xí)：1已知復(fù)數(shù) z與( z2) 28

14、i均是純虛數(shù)，則 z _ Z2i2 .若( a 2i ) ibi ，其中 a、bR，i 是虛數(shù)單位，則a 2b 2 =（ D）A 0 B2 C 5 D 521 3，則 1 （）C3.設(shè)復(fù)數(shù) 22 i（ A ）（ B） 2（ C） 1（ D） 124.復(fù)數(shù) z1的共軛復(fù)數(shù)是（ B）1 iC 1 iD 1 iA 11 iB 1 1 i22225.若復(fù)數(shù) z 滿足方程 z220 ，則 z3（） DA. 22B.22C.2 2iD.2 2i6. 設(shè) a 、 b 、 c 、 dR ，若 abi 為實(shí)數(shù)，則( C)cd i(A)bcad0(B)bc ad0(C)bc ad0(D) bc ad 07.如果復(fù)

15、數(shù) (m2i)(1 mi ) 是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù) m（） BA 1B 1C 2D 28. (1i ) 2005（ ）A1iC 22005D 22005A iB i9.滿足條件 |zi|3 4i | 的復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（）CA. 一條直線B. 兩條直線C. 圓D. 橢圓10.若 z1a2i ,z234i ，且 z1 為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的值為a8z2311.已知 m1ni，其中， 是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則mniC1imn(A)1+2i(B) 1-2i(C)2+i(D)2- i12、復(fù)數(shù) (1i )3 的虛部為（ A） 3（ B） 3（C） 2（ D） 23=13i3 i22i , 所以它的虛部為2，選 D.解析 : 復(fù)數(shù) 1 i13、在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1ii 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ A）第一象限（B）第二象限（ C）第三象限（ D）第四象限解： 1i（ ）故選 D； i 1ii1i 1點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)的概念和性質(zhì)是高考對(duì)復(fù)數(shù)部分的一個(gè)考點(diǎn)， 屬于比較基本的題目， 主要考察復(fù)數(shù)的的分類和幾何性質(zhì)。23i14、求滿足條件 : z(z z)ii2(i 為虛數(shù)單位 ) 的復(fù)數(shù) z2i ,解 原方程化簡(jiǎn)為 z( z z)i 1設(shè) z=x+yi(x 、 y R),代入上述方程得x2+y 2+2xi=1-i, x2+y2 =1 且 2x=-