59知識(shí)講解_空間角、空間距離(基礎(chǔ))

1、空間角、空間距離 【考綱要求】 1、了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置; 2、掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用 向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。 3、禾U用向量法求空間角與距離; 4、在解答題中綜合考查空間想象能力，計(jì)算能力及數(shù)形結(jié)合思想。 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 胡證明平行與垂直1 定義、加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算 空間向量I I數(shù)量積 一 坐標(biāo)表示：夾角和距離公式I 【考點(diǎn)梳理】 考點(diǎn)一、空間向量有關(guān)知識(shí) 一、空間直角坐標(biāo)系 1、空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念 (1)空間直角坐標(biāo)系：以空間一點(diǎn) 0為原點(diǎn)，建立三條兩兩垂直的數(shù)軸：x軸，y軸, z軸。這時(shí)

2、建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中點(diǎn)0叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，X軸，y軸，z軸統(tǒng)稱坐 標(biāo)軸。由坐標(biāo)軸確定的平面叫做坐標(biāo)平面; (2)右手直角坐標(biāo)系的含義是：當(dāng)右手拇指指向x軸正方向，食指指向 y軸方向時(shí)， 中指一定指向z軸的正方向; (3)空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)為有序?qū)崝?shù)組(x,y,z ),記作M( x,y,z ),其中x叫做M的橫 坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)。 2、空間兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè) A(X1,y 1 ,z1),B(x2,y2,z2),則|AB|=X2P(y!y2PZj 要點(diǎn)詮釋: 2 2 2 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(x,y,z )的坐標(biāo)滿足x+y+z=1,則點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)以原

3、點(diǎn)為球心，以1為半徑的球面。 二、空間向量及其運(yùn)算 空間向量的概念及運(yùn)算同平面向量基本相同。加減運(yùn)算遵循三角形或平行四邊形法則; 數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算與平面向量的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算相同; 坐標(biāo)運(yùn)算與平面向量的坐 標(biāo)運(yùn)算類似，僅多出了一個(gè)豎坐標(biāo)。 考點(diǎn)二、直線的方向向量與平面的法向量的確定 1、直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量; 2、平面的法向量可利用方程組求出：設(shè) r rr a , b是平面a內(nèi)兩不共線向量，n為平面a的法 向量，則求法向量的方程組為 r r agn r r bgn 要點(diǎn)詮釋: 所列方程組中有三個(gè)變量, 但只有兩個(gè)方程，如何求法向量? (給其中一個(gè)變量恰

4、當(dāng)賦 值，求出該方程組的一組非零解, 即可作為法向量的坐標(biāo)。 考點(diǎn)三、空間向量與空間角的關(guān)系 ult uur 1、設(shè)異面直線|1|2的方向向量分別為 則丨1丨2 所成的角0滿足cos 0 ur uir =|cos|; Lr 2、設(shè)直線丨的方向向量和平面a的法向量分別為m,n,則直線 l與平面a所成角0滿足 ur r sin 0 =|cos|; 3、求二面角的大小 如圖，AB, CD是二面角a - l - B的兩個(gè)面內(nèi)與棱I垂直的直線，則二面角的大小 uuir uuiL 0 = B的法向量，則二面角的大 小0滿足cos 0 Ul Ul =cos或-cos J3 （舍去）. 故BE=*/3- 72

5、時(shí)，PA與平面PDE所成角為45 . 【例21 ID 401043【高清視頻空間角、 空間距離例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD 是矩形，PA1平面ABCD,AP=AB=2 BC=2j2 , E,F分別是AD, PC的中點(diǎn)。 P (1) 證明：PC丄平面BEF (2) 求平面BEF與平面BAP夾角的大小。 F E 0 【解析】(1 )證明：如圖，UU為坐標(biāo)原點(diǎn)AP所在直線分別 為兀,軸建立空間直角坐標(biāo)系 /=2,月C AD =2找，四邊形 AHCD是矩形. 二 A,/C,D,P 的坐標(biāo)為力(0,0,0), B(2,0,0) 払,0) ,D(0跡,0), IC P(0,0,2),又

6、E分別是仙C的中點(diǎn)， E(U 屮(1 ,邁；)二瓦=(2 ,2血，一 2 兒 菇=(=(1,0,1),/.丸辭M -2+4-2M, 黃-奩=2 +0 -2 =0,二 PC 丄 BF,PC kEF、又 BFCEF 二 F, 化PC丄平面RF：F. IkI ir=i (2)由(1)知平面BEF的法向量 =疋=(2,2矩，-2), 平面EAP的法向量嗎=邛二(0,2,0), A = (n) 求證：平面 PABA平面ABC ; B （川） 求二面角 B AP C的余弦值. （I）設(shè) 因?yàn)?(n)由已知？ACB 90, AC= BC= 2, 所以 AD = BD = CD = 72 , AB = 242

7、. 又DPAB為正三角形，且 PDA AB， 所以PD = J6. 因?yàn)镻C二2罷，所以PC2 = CD2 + PD2. AB中點(diǎn)為D，連結(jié)PD , CD , AP= BP，所以 PDA AB. 又 AC= BC，所以 CD A AB. 因?yàn)镻D I CD = D，所以ABA平面PCD . 因?yàn)镻C 1平面PCD,所以PC A AB. 所以？ CDP 90 C的平面角. 由（I）知DCDP是二面角P- AB- 所以平面PAB A平面ABC . （rn）方法1：由（n）知CD A平面pAB. 過D作DEA PA于E，連結(jié)CE，則CEA pA. 所以DDEC是二面角B- AP- C的平面角. J6

8、 在RtDCDE中，易求得DE = 2 因?yàn)镃dF，所以潮？DEC等學(xué) 所以cos? DEC 7 即二面角B- AP- C的余弦值為丫21 7 方法2：由（I）（n）知DC , DB , DP兩兩垂直. 以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 0, 76). 易知 D(0, 0, 0)，C(Q 0, 0)，A(0, - 72, 0)，P(0, uuu L L uur L L 所以 AC =(72, 72, 0), PC =(運(yùn)，0, - 76). 設(shè)平面PAC的法向量為n二(X, y, Z), 務(wù). rnu -X - X 所以平面PAC的一個(gè)法向量為n二 -1，即. uuu 易知平面PAB的

9、一個(gè)法向量為DC =（妊 0, 0）. uuu 所以 COS = uuu n DC umu- |n |DC| 721 7 由圖可知，二面角 B- AP- C為銳角. 所以二面角B- AP- C的余弦值為 類型二、利用空間向量求空間距離 P- ABCD中，側(cè)面PAD丄底面ABCD，側(cè)棱 BC / AD , AB 丄 AD , AB=BC=1 , O 例3. (2015天津模擬)如圖，在四棱錐 PA=PD=k/勺,PA丄PD,底面ABCD為直角梯形，其中 為AD中點(diǎn). (1) 求直線PB與平面POC所成角的余弦值. (2 )求B點(diǎn)到平面PCD的距離. 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由. PO 丄 AD

10、, 又側(cè)面PAD丄底面ABCD，平面PAD n平面ABCD=AD , PO?平面PAD, 所以PO丄平面ABCD . 又在直角梯形 ABCD中，易得OC丄AD ; 所以以O(shè)為原點(diǎn)，OC為X軸，OD為y軸，OP為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系. (3)線段PD上是否存在一點(diǎn) Q,使得二面角Q-AC - D的余弦值為?若存在, 3 則 P ( 0, 0, 1), A (0, 1, 0), B (1, - 1, 0), C (1, 0, 0), D (0,1, 0); 所以 PB= (h -b -)，易證：OA丄平面POC, 0)，平面poc的法向量, COS二 所以PB與平面POC所成角的余弦值為 Vs

11、3 (2) PB= (1, -1, -1) ，設(shè)平面 PDC的法向量為 卜“,取 z=1 s r u 一 PD=y 一 s=0 B點(diǎn)到平面PCD的距離J BP u I (3)假設(shè)存在，則設(shè)PQ =WD (0入V 1) 因?yàn)?0,1,- 1),所以 Q (0,人 1-入). 設(shè)平面CAQ的法向量為二(a, b, c),則r：質(zhì)山(If 削 所以取ir= (1 -入，入-1,入+1), 平面CAD的法向量= ( 0, 0, 1), 因?yàn)槎娼荙 - AC - D的余弦值為衛(wèi), 3 所以 所以 所以 所以 3* - 10?+3=0 . 吉或入 =3 (舍去)， PQ=1 QD=2 【總結(jié)升華】利用向

12、量法求點(diǎn)面距，其步驟如下: (1)求出該平面的一個(gè)法向量; (2) 找出過該點(diǎn)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量; (3) 求出法向量與斜線段所對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)面 平面的距離，如圖: 點(diǎn)P到平面a的距離 舉一反三： 【變式】(2015廣東高考)如圖，三角形 PDC所在的平面與長(zhǎng)方形 ABCD所在的平面垂 直，PD=PC=4，AB=6，BC=3 . (1) 證明：BC /平面PDA ; (2) 證明：BC丄PD; (3) 求點(diǎn)C到平面PDA的距離. C 【證明】(1)因?yàn)樗倪呅?ABCD是長(zhǎng)方形，所以BC / AD , 因?yàn)锽C?平面PDA , AD?平面PDA，所以BC /平面PDA ; (2) 因?yàn)樗倪呅?ABCD是長(zhǎng)方形，所以 BC丄CD , BC丄平面PDC , PD?平面 PDC , BC丄 PD; 解：取CD的中點(diǎn)E,連接AE和PE, PD=PC,所以 PE丄 CD , 因?yàn)槠矫?PDC丄平面ABCD，平面 PDCn平面 ABCD=CD , BC?面ABCD , 所以 因?yàn)?所以 (3) 因?yàn)?在 Rt PED 中，PE吋fD? - de% - SW. 因?yàn)槠矫?PDC丄平面AB