人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)123 角平分線的性質(zhì)共4個(gè)課時(shí)課件

1、第十二章第十二章 全等三角形全等三角形 12.3.1 角平分線的性質(zhì) （第1-2課時(shí)） 角平分線的定義： 從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角 線叫做這個(gè)角的角平分線 O B A C AOB =2AOC =2BOC AOBBOCAOC? 2 1 不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相 等的角。你有什么辦法？ A O B C 活 動(dòng) 1 再打開(kāi)紙片 ，看看折痕與這個(gè)角 有何關(guān)系？ （對(duì)折） 情境問(wèn)題 1 、 如 圖 ， 是 一 個(gè) 角 平 分 儀 ， 其 中 AB=AD,BC=DC。 將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn) ,AB和AD沿著角 的兩邊放下,沿AC畫(huà)一條射線AE,AE就是 角平分線，你能

2、說(shuō)明它的道理嗎? 活 動(dòng) 2 情境問(wèn)題 D 如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒(méi)法折 的角，又該怎么辦呢？ ?2、證明： 在ACD和ACB中 AD=AB （已知） DC=BC （已知） CA=CA （公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的 對(duì)應(yīng) 相等） AC平分DAB（角平分線的定義） A D C E 已知:AOB,如圖. 求作:射線OC,使AOC=BOC. 作法: ?用尺規(guī)作角的平分線. . A O 1.以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、OB于D、E兩點(diǎn)； 2.分別以點(diǎn)D和E為圓心,以大于二分之一DE長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在 AOB內(nèi)交于 3.作射線OC. 請(qǐng)

3、你說(shuō)明OC為什么是AOB的平分線,并與同伴進(jìn)行交流. 射線OC就是AOB的平分線. 活 動(dòng) 3 1平分平角AOB 2通過(guò)上面的步驟，得到射線OC以后，把它反向延長(zhǎng) 到直線CD，直線CD與直線AB是什么關(guān)系？ 3結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到 直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法。 活 動(dòng) 4 B O 探究角平分線的性質(zhì) (1)實(shí)驗(yàn)：將AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折 邊），然后展開(kāi)，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論 活 動(dòng) 5 (2)猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 . 探究新知 角平分線有什么性質(zhì)呢？ 1. 操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過(guò)

4、點(diǎn)P作PDOA，PE D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表： 2. 觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系， 寫(xiě)出結(jié)論：_ C O B A PD=PE p D E OC是AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的任意一點(diǎn) 活 動(dòng) 5 角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊 距離相等 題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上 結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等 已知：OC是AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD OA ，PE OB，垂足分別是D、E. 求證：PD=PE. A O P E D 結(jié)論： 探究角平分線的性質(zhì) 證明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分線的定義） PD OA，PE O

5、B（已知） PDO= PEO（垂直的定義） 在PDO和PEO中 PDO= PEO（已證） 1= 2 （已證） OP=OP （公共邊） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） P A O B C E D 1 2 已知：如圖，OC平分AOB，點(diǎn)P在OC上，PD 于點(diǎn)D，PEOB于點(diǎn)E 求證: PD=PE 活 動(dòng) 5 驗(yàn)證猜想 角平分線上的點(diǎn)到 角兩邊的距離相等。 (4)得到角平分 線的性質(zhì)： 活 動(dòng) 5 1= 2, PD OA， OB（已知） PD=PE （全等三角 應(yīng)邊相等） P A O B C E D 1 2 幾何語(yǔ)言: 思考： 如圖所示OC是AOB 的平分 線,P 是

6、OC上任意一點(diǎn),問(wèn)PE與 PD相等嗎?為什么? B O A E D C P PD,PE沒(méi)有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一 點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離,所以不一定相等. A C D E 例1:如圖，在ABC中，C900，AD平分BAC交BC D，若BC8,BD5，則點(diǎn)D到AB的距離為？ 例題講解例題講解 E 解：OC平分 AOB C=90 0，DE AB（已知） DC= DE（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等） BC8,BD5 DC=BCBD=3 DE=3 答：點(diǎn)D到AB的距離為3 如圖, ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P, 求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等 BM是ABC的角平分線

7、,點(diǎn)P在BM上 A B P N PD=PE (角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等) 同理,PE=PF. PDPE=PF. 即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等 證明：過(guò)點(diǎn)P作PDAB于D，PEBC于E， PFAC于F 例題講解例題講解 如圖，已知ABC的外角CBD和BCE的平分線相交于點(diǎn)F， 求證：點(diǎn)F在在DAE的平分線上 證明： 過(guò)點(diǎn)F作FGAE于G，F(xiàn)HAD于H， FMBC于M 點(diǎn)F在BCE的平分線上， FGAE， FMBC FGFM 又點(diǎn)F在CBD的平分線上，F(xiàn)HAD， FMBC FMFH FGFH 點(diǎn)F在DAE的平分線上 例3：在OAB中，OE是 AOB的角平分線，且EA=EB，

8、、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D，求證：AC=BD。 O A B E C D 例題講解例題講解 A 0 B M N P C 1、如圖，OC平分AOB， PMOB于點(diǎn)M， PNOA于點(diǎn)N， POM的面積為6，OM=6，則PN=_ 2 練習(xí)練習(xí) 如圖：在ABC中，C=90 AD是BAC 的平分線， DEAB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF ； 求證：CF=EB A C D E F 分析:要證CF=EB, 首先我們想到的是要證它們所在的兩個(gè)三 全等,即RtCDF RtEDB. 現(xiàn)已有一個(gè)條件BD=DF(斜邊相等),還需要我們找什么條件 DC=DE ( 角的平分線的性質(zhì)) 再用HL證明. 試試自己寫(xiě)

9、證明 你一定行！ 如圖，ABC中，C=90，AC=CB，AD為BAC的平分線， DEAB于點(diǎn)E，且AB=10。 求：DBE的周長(zhǎng)。 C A D E 綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用 解： AD平分BAC C=90, DEAB (已知） CD=DE (角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等） 在RtACD和RtAED中 AD=AD （公共邊） CD=DE (已證） RtACDRtAED （HL） AC=AE （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） AC=BC （已知） BC=AE （等量代換） AB=10 C DBE=BD+DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=10。 證明： AD平分BAC (已知） 1=2 (角平分線的定

10、義） PEAB ,PFAC (已知） 1=3， 2=4 (兩直線平行，同位角相等） 3=4 (等量代換） 過(guò)點(diǎn)D作DGPE, DHPF，垂足分別為G、H DG=DH (角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等） 即點(diǎn)D到PE和PF的距離相等 如圖， ABC中，AD為BAC的平分線，P是AD上一點(diǎn)，PEA 交BC于點(diǎn)E，PFAC，交BC于點(diǎn)F. 求證：點(diǎn)D到PE和PF的距離相等。 綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用 證明： OC平分AOB (已知） PDOA, PEOB PD=PE (角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等） 1=2 (角平分線的定義） POD與POE為Rt 在RtPOD和RtPOE中 0P=0P （公共邊）

11、PD=PE (已證） RtPODRtP0E （HL） OD=OE （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） 在FOD和FOE中 OD = OE 1=2 OF=0F FODFOE （SAS） DF=EF （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） 如圖， 0C為AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PDOA， PEOB，垂足分 E， F是0C上一點(diǎn)，連接DF、EF. 求證：DF=EF。 綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用 D 1 2 E G 證明： AD平分BAC (已知） DEAB, DFAC DE=DF (角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等） 1=2 (角平分線的定義） ADE 與ADF為Rt 在RtADE和RtADF中 AD=AD （公共邊）

12、DE=DF (已證） RtADERtADF （HL） AE=AF （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） 在AGE和AGF中 AE = AF 1=2 AG=AG AGEAGF （SAS） 如圖， AD是ABC的角平分線，DEAB， DFAC，垂足分別為E、F， AD相交于點(diǎn)G，AD與EF垂直嗎？證明你的結(jié)論。 拓廣探索拓廣探索 AGE+AGF=1800（平角的定義） AGE=900 ADEF （垂直的的定義） 如圖，O是ABC角平分線的交點(diǎn)，ODBC于D，OD=3 ABC的周長(zhǎng)為20，求SABC 拓展練習(xí)拓展練習(xí) B D O 解：過(guò)點(diǎn)O作OEAB， OFAC,垂足分別為E、F O是ABC角平分線的交點(diǎn) ,

13、ODBC (已知） 0D=OE=OF (角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等） 連接OA C ABC =20，OD=3 SABC= SAOB+ SBOC+ SAOC OFACODBCOEAB? 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 ACBCABOD? 30? 課堂作業(yè) 1.課本50頁(yè)課后練習(xí)第1、2題（做在書(shū)上） 3.動(dòng)感課堂B2526頁(yè)12.3 第13、6、7、9、10、15、16 題 課后作業(yè) 2.課本51頁(yè)習(xí)題12.3第1題（做在書(shū)上） 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) 八年級(jí) 上冊(cè) 第十二章 全等三角形 12.3.1 角平分線的性質(zhì) （第3-4課時(shí)） 1、會(huì)用尺規(guī)作角的

14、平分線. 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 2、角的平分線的性質(zhì): O B 1 A 2 P D E PDOA，PEOB OC是AOB的平分線 PDPE 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述： 復(fù)習(xí) 探究角平分線的性質(zhì)（一）的逆定理 ? 到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線上到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線上 已知：如圖,QDOA，QEOB， 點(diǎn)D、E為垂足，QDQE 求證：點(diǎn)Q在AOB的平分線上 活 動(dòng) 1 探究新知 證明: QDOA，QEOB（已知）， QDOQEO90（垂直的定義） 在RtQDO和RtQEO中 QOQO（公共邊） QD=QE RtQDORtQEO（HL）

15、QODQOE 點(diǎn)Q在AOB的平分線上 已知：如圖,QDOA，QEOB， 點(diǎn)D、E為垂足，QDQE 求證：點(diǎn)Q在AOB的平分線上 到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分 線上。線上。 QDOA，QEOB，QDQE 點(diǎn)Q在AOB的平分線上 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為： 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等. QDOA,QEOB,點(diǎn)Q在AOB的平分線上 QDQE 角的平分線的性質(zhì) P C P C OP平分AOB PDOA于D PEOB于E PD=PE OP平分AOB PD=PE PDOA于D PEOB于E 角的平分線的判定 歸納、比較歸納、比較

16、 應(yīng)用角平分線性質(zhì)定理的逆定理應(yīng)用角平分線性質(zhì)定理的逆定理 A B O Q M N 1判斷題： （1）如圖，若QM =QN，則OQ 平分AOB；( ) 應(yīng)用角平分線性質(zhì)定理的逆定理應(yīng)用角平分線性質(zhì)定理的逆定理 A B O Q M N 1判斷題： （2）如圖，若QMOA 于M，QNOB 于N，則OQ是AOB 的 線；線； ( ) 應(yīng)用角平分線性質(zhì)定理的逆定理應(yīng)用角平分線性質(zhì)定理的逆定理 A B O Q M N 1判斷題： （3）已知：Q 到OA 的距離等于2 cm， 且Q 到OB 距離等于2 cm 在AOB 的平分線上( ) 如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路 和公路距離相等， 離公路與鐵

17、路交叉處 500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng) 應(yīng)建在何處？（比例尺為 120000） 思考 D C S 解：作夾角的角 平分線OC， 截取OD=2.5cm , D即為所求。 已知:BDAM于點(diǎn)D,CEAN于點(diǎn)E,BD,CE交點(diǎn)F,CF 求證:點(diǎn)F在A的平分線上. 例題講解例題講解 D E B F M C A 證明： BDAM CE AN(已知） FDC= FEB(垂直的定義） 在 FDC 和FEB中 FDC= FEB （已證） CFD= BFE （對(duì)頂角相等） CF=BF (已知） FDCFEB （AAS） EF=DF （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） OA平分 MAN（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上） 如

18、圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一 地上修建一個(gè)度假村.要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相 何處修建？ 思考題思考題 2、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站 它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:( ) A.一處 B. 兩處 C.三處 D.四處 分析:由于沒(méi)有限制在何處選址 ,故要求的地址共有四處。 拓展延伸拓展延伸 變式1 如圖，ABC 的一個(gè) 外角的平分線BM 與BAC的平分 線 AN 相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn) P 在 ABC另一個(gè)外角的平分線上 變式拓展 N A B P M 變式2 如圖，P 點(diǎn)是ABC 的兩個(gè)外角平分線 BM，CN 的交 點(diǎn)，求證：點(diǎn) P

19、在BAC 的平分 線上 變式拓展 N A B P M A B D H F 證明： S DCE =S DBF ，CE=BF （已知） DH=DG (等底等高，面積相等） DHAB, DGAC AD平分BAC(到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上） BAC+ HDG=1800 (四邊形內(nèi)角和等于3600） DHF與DGC為Rt 在RtDHF和RtDGC中 DF=DC （已知） DH=DG (已證） RtDHEDRtDGE （HL） 1=2 （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） BAC+FDC=1800 （等量代換） 綜合應(yīng)用 如圖, D, E, F分別是ABC三邊上的點(diǎn), CE=BF, DE=DC, DCE和

20、DBF的 等, DHAB于H, DGAC于G. 求證:(1) AD平分BAC (2)FDC與 BAC 互補(bǔ). 證明： 過(guò)點(diǎn)作MN AD，垂足為N MD平分ADC C=900(已知） MC=MN (角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等） M是BC的中點(diǎn)(已知） BM=CM (中點(diǎn)的定義） BM=MN (等量代換） B=900 (已知） AM平分BAD (到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上） 拓廣探索拓廣探索 如圖，在四邊形ABCD中， B=C=90，M是BC的中點(diǎn)，DM ADC。 求證：AM平分DAB D A N 如圖,有兩條交叉公路OA、OB內(nèi)有兩村莊C、D,現(xiàn)要在兩村莊 修建一加油站P，使加油站不但到兩村莊距離相等 ,而且又要到兩 的距離也相等.你在什么位置建立該加油站？ C D A B O P 課外討論題