超幾何分布與二項(xiàng)分布的聯(lián)系.

1、超幾何分布與二項(xiàng)分布的聯(lián)系超幾何分布和二項(xiàng)分布確實(shí)有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別課本對于超幾何分布的定義是這樣的：一般的,若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列為(k n k M N M n NC C P X k C -=,其中0,1,2, , k l = , min(, I n M =,則稱X服從超幾何分布，記為(,X H n M N。其概率分布表為：對于二項(xiàng)分布的定義是這樣的：若隨機(jī)變量X的分布列為(1 k k n k n P X k Cp p -=-,貝 U2245*IIIP*蹩 N-JTc；clCi c；稱X服從參數(shù)為，n p的二項(xiàng)分 布，記為(,X B n p。其概率分布表為32p*超幾何分布與

2、二項(xiàng)分布都是取非負(fù)整數(shù)值的離散分布，表面上看,兩種分布的概 率求取有截然不同的表達(dá)式，但看它們的概率分布表，會(huì)發(fā)現(xiàn)構(gòu)造上的相似點(diǎn)，如:隨 機(jī)變量X的取值都從0連續(xù)變化到I ,對應(yīng)概率和，N n I三個(gè)值密切相關(guān).可見兩 種分布之間有著密切的聯(lián)系.課本中對超幾何分布的模型建立是這樣的：若有N件 產(chǎn)品,其中M件是廢品，無返回地任意抽取n件，則其中恰有的廢品件數(shù)X是服從超 幾何分布的。而對二項(xiàng)分布則使用比較容易理解的射擊問題來建立模型。若將但超幾何分布的概率模型改成：若有N件產(chǎn)品，其中M件是廢品，有返回的任意抽取n 件，則其中恰有 的廢品件數(shù)X是服從二項(xiàng)分布的。在這里，兩種分布的差別就在于 有”與無

3、”的差別，只要將概率模型中的無”改為 有 ”或?qū)?有 ”改為 無”就可以實(shí)現(xiàn)兩種分布之間的轉(zhuǎn)化。返回”和 不返回”就是兩種分布轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵。如在2.2節(jié)有這樣一個(gè)例題：高三(1班的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一項(xiàng)游戲：在一個(gè)口袋 中裝有10個(gè)紅球、20個(gè)白球，這些球除 顏色外完全相同，一次從中摸出5個(gè)球,摸到 4個(gè)紅球1個(gè)白球就是一等獎(jiǎng)，求獲一等獎(jiǎng)的概率。本題采用的解法是摸出球中的 紅球個(gè)數(shù)X服從超幾何分布，但是如果將一次從中摸出5個(gè)球”改為 摸出一球 記下顏色，放回后再摸一球，反復(fù)5次”則摸出 球中的紅球個(gè)數(shù)X將不再服從超幾 何分布，而是服從二項(xiàng)分布。我們分別來計(jì)算兩種分布所對應(yīng)的概率blie略Jc； rp

4、i% fit Q J 產(chǎn) JMfip扣iOpId4車2超幾何分布FV0.1087950. 339986P0. 339985P0.159993*10. 0294720.00176&二項(xiàng)分布H0.131687410. 329218*-0.3292180.1646090. 041152-這時(shí)發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩 種不同的分布其對應(yīng)的概率之間的差距進(jìn)一步縮小了，我們做出這樣的猜想:樣本個(gè)數(shù)越大超幾何分布和二項(xiàng)分布的對應(yīng)概率相差就越小，當(dāng)樣本個(gè)數(shù)為無窮大時(shí)，超幾何分布和二項(xiàng)分布的對應(yīng)概率就相等，換而言之超幾何分布的 極限就是二項(xiàng)分布！也就是說lim (1 k n k k k n k M N M n n N NC

5、C C p p C - +=下面我們對以上猜想作出證明：產(chǎn)品個(gè)數(shù)N無限大，設(shè)廢品率為p，則lim N M p N瑞皿（N-M）l期（加-繃C* _秋施-盤）1 0-）!（N-M-卄型 訊片!（M-片）!收胚-1”邂-如)(HM)(NMJ)- NM咼十 1N-N-N呼-1)，3-嚴(yán)+1)因?yàn)閙 k確定.所以血叫一山皿-屮 匕* 苦一N拭曲（射_必）（擰_肚_1）川_證佃上）十1_-s腫一P-z忖rH（亞一舫！ （M 附 + 辭！ N以上的證明與我們的直觀思想相吻合：在廢品為確定數(shù)M的足夠多的產(chǎn)品中，任 意抽取n個(gè)（由于產(chǎn)品個(gè)數(shù)N無限多，無返回與有返回?zé)o區(qū)別，故可看作n次獨(dú)立試 驗(yàn)中含有k個(gè)廢品的

6、概率當(dāng)然服從二項(xiàng)分布。在這里，超幾何分布轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布 的條件是（1產(chǎn)品個(gè)數(shù)應(yīng)無限多，否則無返回地抽取n件產(chǎn)品是不能看作n次獨(dú)立試 驗(yàn)的.（2在產(chǎn)品個(gè)數(shù)N無限增加的過程中，廢品數(shù)應(yīng)按相應(yīng)的 比例”增大,否則上 述事實(shí)也是不成立的。對于超幾何分布的數(shù)學(xué)期望（M E X n N = ?，二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望（E X np =，當(dāng)我們將“不返回”改為 返回”時(shí),M p N=,兩種分布的數(shù)學(xué)期望相等，方差之間沒有相等關(guān)系。超幾何分布和二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差是否也具有我們以上猜想并證明的極限關(guān)系呢？事實(shí)上超幾何分布的數(shù)學(xué)期望（ME X n N 二？，方差 2（1 nM N n N MD X N N -=

7、-,U肚馳_（H汕（N-渤！這兩個(gè)極限值分別是二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差。需要指明的是這一性質(zhì)并非只為超幾何分布與二項(xiàng)分布之間所具有，一般地，如果隨機(jī)變量依分布收斂于隨 機(jī)變量,則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差分別是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的極限。 這樣超幾何 分布與二項(xiàng)分布達(dá)到了統(tǒng)一。一般說來,有返回抽樣與無返回抽樣計(jì)算的概率是不同的，特別在抽取對象數(shù)目 不大時(shí)更是如此。但當(dāng)被抽取的對象數(shù)目較 大時(shí),有返回抽樣與無返回抽樣所計(jì)算 的概率相差不大，人們在實(shí)際工作中常利用這一點(diǎn)，把抽取對象數(shù)量較大時(shí)的無返回 抽樣（例如破壞性試驗(yàn)發(fā)射炮彈；產(chǎn)品的壽命試驗(yàn)等，當(dāng)作有返回來處理那么，除了在有無返回”上做文章,

8、有沒有什么辦法快速實(shí)現(xiàn)超幾何分布向二 項(xiàng)分布的轉(zhuǎn)化呢？設(shè)想N件產(chǎn)品裝在一個(gè)大袋中，其中M件為廢品，無返回地從中抽取n件，那么 其中廢品件數(shù)X服從超幾何分布。 現(xiàn)若在大袋中再放進(jìn)兩個(gè)小袋，一袋裝正品，一 袋裝廢品，然后從大袋中任摸一個(gè)小袋，無返回地從中任取一件產(chǎn)品，則這樣任取n件, 其中廢品件數(shù)X就不再服從超幾何分布，而應(yīng)服從的二項(xiàng)分布了。事實(shí)上，我們把摸 到正品袋中的產(chǎn)品看作 成功”摸到廢品袋中的產(chǎn)品看作 “失敗”則 成功”與 失敗”的概率相等，皆為且每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，正是典型的伯努力試驗(yàn)概型，因 此可用二項(xiàng)分布去刻劃其概率分布列瞬蟲 M（JV肱）！碘間!從這一點(diǎn)上講，兩種分布僅一袋之隔”。將正品和廢品隔離，則超幾何分布將 成為二項(xiàng)分布超幾何分布