2014年湖南文

1、一、選擇題（共10小題；共50分） 1.設(shè)命題 ，則 A. C. 2.已知集合 A. 2014年湖南文 B. D. ，則 B. 第3頁(yè)（共8頁(yè)） D. A. B. C. D. 4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間 上單調(diào)遞增的是 A. B. C. D. 5.在區(qū)間 上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù) ，則 的概率為 A.- B.- C.- D.- 6.若圓 與圓 A. B. 外切，則 C. D. 7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 ，則輸出的屬于 C. D. C. 3.對(duì)一個(gè)容量為的總體抽取容量為的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不 ，則 同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為 8

2、. 一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球 的半徑等于 3 側(cè)視圖 正視圏 jf 12 A. B. C. D. 9.若 ，則 A. B. C. D. 10.在平面直角坐標(biāo)系中, 為原點(diǎn), ，動(dòng)點(diǎn) 滿足 ，則 的取值范圍是 A. B. C. D. 二、填空題（共 5小題；共25 分） 11.復(fù)數(shù)一（為虛數(shù)單位）的實(shí)部等于 12.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線 為參數(shù)）的普通方程為 13.若變量滿足約束條件 的最大值為 14.平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn) 且斜率為的直線，則 接觸不到過(guò)點(diǎn) 的距離和到直線 的取值范圍是 的距離相等.若機(jī)器人 15.若 是

3、偶函數(shù)，則 三、解答題（共6小題；共 78分) 16.已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 （1）求數(shù)列 (2)設(shè) 的通項(xiàng)公式； ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和. 17.某企業(yè)有甲、 產(chǎn)品的結(jié)果如下: 乙兩個(gè)研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個(gè)小組往年研發(fā)新 （ 第3頁(yè)（共8頁(yè)） left ( a , bright), left( a, overline b right), left ( a, b right), left (overline a, b right), left ( overline a , overline b right), left ( a, b right), left (a ,b

4、 right ), left ( a ,overline b right ), left ( overlinea ,b right), left ( a ,overline b right), left ( overline a , overline b right), left ( a , b right), left ( a , overline b right), left (overline a , b right ), left ( a , b right ) 其中，分別表示甲組研發(fā)成 功和失??；，分別表示乙組研發(fā)成功和失敗. (1) 若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記分，否則記分

5、，試計(jì)算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn) 品的成績(jī)的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平； (2) 若該企業(yè)安排甲、 ，垂足為 19.如圖，在平面四邊形 中， 乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計(jì)恰有一組研發(fā)成功的概率. ，菱形 在面 內(nèi), 兩點(diǎn)在棱 上, (1) 求 (2) 求 的值; 的長(zhǎng). 20.如圖, 為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線 和橢圓 均過(guò)點(diǎn) ，且以 的兩個(gè)頂點(diǎn)和 的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為 的正方形. 交于 ?證明你的結(jié)論. 兩點(diǎn)，與 只有一個(gè)公共點(diǎn)，且 21.已知函數(shù) （1）求 的單調(diào)區(qū)間; （2）記 為 的從小到大的第 個(gè)零點(diǎn)，證明：對(duì)一切 ，有一 第一部分 1. B2. C 6. C7. D

6、 3. 8. 4. A 9. C 5. B 10. D 第二部分 11. 12. 13. 14. 15. 第三部分 16. (1)當(dāng) 時(shí), 可得 答案 (a_1 = S_1 = 1 S_n - S_n - 1 = dfrac門人2 + n 2 - dfracleft )檢驗(yàn)知，時(shí)也符合. 的通項(xiàng)公式為. ) 當(dāng) (n - 1 right 時(shí)，可得 )尸2 + left ( ( a_n= n - 1 right) 故數(shù)列 (2) 項(xiàng)和為 由(1)可得(b_ n = 25 + left ，則( T_2n = left )記數(shù)列 (2人1 + 2人2 + cdots + 2人2 n right) (

7、 - 1 right ) 的前 -3 + 4 - cdots + 2n right ) 記 + left ( - 1 + 2 ，則 (beginsplit A ) 方差 dfrac115left left ( 1 - dfrac23 right )尸2 times 10 + left )乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?1, 0, 1 ,) (s_ 甲人2 = (0 - dfrac23 right) (1 , 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1 , ) 其平均數(shù)(overline x_ 乙=dfrac915= dfrac35,) 方差為(s_ 乙人2 = d

8、frac115left left ( 1 - dfrac35 right)尸2 times 9 + left 因?yàn)榧滓? (0 - dfrac35right ) 甲乙，所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組. ) (2)記 ( left ( a , 恰有一組研發(fā)成功，在所抽取的個(gè)結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是 overline b right ), left ( overline a , b right ), left ( a , overline b right), left (overline a , b right ) , left ( a ,overline b right ), left (

9、a , overline b right), left (overline a , b right ) ,) 共 個(gè)，故事件 發(fā)生的頻率為 將頻率視為概率，即得所求概率為 18. ( 1)如圖，因?yàn)?，所以 .連接 第9頁(yè)(共8頁(yè)) 是正三角形，又是 的中點(diǎn)，所以，而，故平面 第11頁(yè)(共8頁(yè)) (2)因?yàn)?成的角. ，所以 與 所成的角等于 所成的角，即 由(1)可知， ，于是 不妨設(shè) 平面 ，所以 是二面角 的平面角，從而 ，則 ，易知 連接 ) ，在 在 中, (D0 = dfracDOAD = dfracdfrac322 = dfrac34 的余弦值為-. (cos a ngle AD

10、O = )所以異面直線與 所成角 中, 19. (1)如圖，設(shè). 中，由余弦定理，可得(ECA2 = CDA2 + DEF2 - 2CD cdot DE cdot cos an gle )于是由題設(shè)可知，即(CDA2 + CD - 6 = 0,) 解得 (CD = 2 left (CD = - 3 0 ,舍去 right) 在中，由正弦定理，可得 () 于是( sin a Ip ha = dfracCD cdot sin dfrac2mathrm pi 3EC = dfrac2 cdot dfracsqrt 3 2sqrt 7 = dfracsqrt 21 7,) 即 ( 于是由(1)知 )

11、(2)由題設(shè)可得 ( cos al pha = sqrt 1 - s in 2al pha = sqrt 1 - dfrac2149 = dfrac2sqrt 7 7 ) 而 ，所以 (begi nsp litcos an gle AEB & = cos left( dfrac2mathrm pi 3 - al pha right ) & = cos dfrac2mathrm pi 3cos al pha + sin dfrac2mathrm pi 3sin alpha &= - dfrac12cos al pha + dfracsqrt 3 2sin alp ha &= - dfrac12

12、times dfrac2sqrt 7 7 + dfracsqrt 3 2 times dfracsqrt 21 7 在 =dfracsqrt 7 14， ) 中, (BE = ) 20. (1)設(shè) 的焦距為，由題可得 ，從而 (a_1 = 1，c_2 = 1 因?yàn)辄c(diǎn) 在雙曲線 上，所以 (left (dfrac2sqrt 3 3 right )人2- dfrac1b_12 = 1 Rightarrow b_12 = 3 (dfrac2sqrt 3 3 right )尸2 + left ) 由橢圓的定義可得(2a_2 = sqrt left (1 - 1 right )尸2 + sqrt lef

13、t ( dfrac2sqrt 3 3 right )尸2 + left b_22 = a_22 - c_22 = 2， (1 + 1 right )所以 尸2 = 2sqrt 3 ， 的方程分別為 于是 (a_2 = sqrt 3 ， (x2 - dfracyA23 = 1， ) (2)不存在符合題設(shè)條件的直線. (i)若直線垂直于軸，因?yàn)榕c 時(shí)，易知 =-sqrt 2 ,) 當(dāng) 只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線 的方程為 (x = sqrt 2 或 x (left| overrightarrow 0A + overrightarrow 0B right| = 2sqrt 2, left| overr

14、ightarrow AB right| = 2sqrt 3,) 此時(shí)(left| overrightarrow OA + overrightarrow OB right| ne left| overrightarrow AB 所以 ) 當(dāng) 時(shí)，同理可得 （ii）當(dāng)直線不垂直于 軸，設(shè)的方程為 ，由 (begi ncases 第7頁(yè)（共8頁(yè)） y = kx + m , x2 - dfracyA23 = 1 ) (left ( 3 - 32 right ) x2 - 2kmx - m2 - 3 = 0, 兩點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則，是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，從而 (begi nsp litx_1 + x_2 &=

15、 dfrac2km3 - 心2, x_1x_2 &= dfracm2 + )于是 當(dāng)與 相交于 可得 (begi nsp lity_1y_2 & = kA2x_1x_2 + kmleft ( x_1 + x_2 right ) + m2 & = dfrac3k2 - 3m2k2 - 3 由(beg in cases y = kx + m , dfracy23 + dfracx22 = 1. ) 因?yàn)橹本€ 與 (2心2 + 3 right 可得(left ( 2k2 + 3 right ) x2 + 4kmx + 2m2 - 6 = 0 只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以上述方程的判別式(Delta = 16

16、k2m2 - 8left )left ( m2 - 3 right ) = 0 ,) 化簡(jiǎn)可得(2心2 = m2- (begi ns plitovemghtarrow OA cdot overrightarrow OB & = x_1x_2 + )因此 y_1y_2 & = dfracm2 + 3k2 - 3 + dfrac3k2 - 3m2k2 - 3 & = dfrac - k2 - 3心2 - 3 ne 0,) 于是(overrightarrow OA人2 + overrightarrow OB人2 + 2overrightarrow OA cdot overrightarrow OB

17、ne overrightarrow OA 人2 + overrightarrow OB人2 - 2overrightarrow OA cdot overrightarrow OB,) 即 (left| overrightarrow OA + overrightarrow OB right|2 ne left| overrightarrow OA- br所以 ，綜合（i）（ ii）可知，不存在符合 overrightarrow OB right|2 題目條件的直線. 21. (1)對(duì)函數(shù) ) 令 求導(dǎo)可得 (fleft ( x right) = cos x - xsin x - cos x =

18、- xsin xleft ( x 0 right), ) 當(dāng) 可得 (x = kmathrm pi left ( k in mathbfN* right 時(shí)， ）， 當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)， 故函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 (left (2kmathrm pi , left (2k + 1 right ) mathrm pi right) left ( k in mathbfN right ）； ）br單調(diào)遞增區(qū)間為 (left ( left ( 2k + 1 right) mathrm pi , left ( 2k + 2 right )mathrm pi right ) left ( k in mathbfN right) ) .此時(shí) 由（1）可知函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，又 ，所以 當(dāng) (fleft ( nmathrm pi right ) fleft ( left ( n + 1 right ) mathrm pi right ) = left left ( - 1 right ) 5門mathrm pi + 1 rightleft left (n + 1 right ) mathrm pi + 1 right 0,) 且函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)又在區(qū)間 時(shí)，因?yàn)?righ