人教A版新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修二教案《平面向量的概念》

1、平面向量的概念教學(xué)設(shè)計 教材分析 本課是平面向量這一章的起始課，具有核心地位、統(tǒng)領(lǐng)全局的作用。 在此之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了數(shù)的抽象過程、實數(shù)的絕對值（線段的長度）。另外，學(xué)生 在物理學(xué)科中已經(jīng)積累了很多向量模型， 并且在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中接觸到有向線段的概 念，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識準(zhǔn)備。本節(jié)將學(xué)習(xí)平面向量的概念、 表示及關(guān)系。 現(xiàn)實生活中的位移、 力、速度是其物理背景， 向量的概念就是從這些實際背景抽象而成；通常借用有向線段形象直觀的表示向量及其運 算。 教學(xué)目標(biāo)（1）了解向量的實際背景，經(jīng)歷平面向量及其概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象問題的 能力；（ 2）掌握向量的幾何表示，理解平面向量、相

2、等向量和共線向量的概念，體會數(shù)學(xué)研究的一般過程。 教學(xué)重難點教學(xué)重點：本節(jié)的重點是向量概念的形成過程。 課前準(zhǔn)備1教學(xué)問題：2）向量的幾何表示與平面向量是學(xué)生學(xué)生的易混點。1）學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對脫離背景之后理解向量的概念，一時難以適應(yīng)；2教學(xué)支持條件： 方格紙，科大訊飛問答系統(tǒng)。 教學(xué)過程問題 1】老鼠由 A 向東北方向以每秒 6 米的速度逃竄， 如果貓由 B 向正東方向以每秒 10 米速度追趕，那么貓能否 抓到老鼠？為什么？設(shè)計意圖】 創(chuàng)設(shè)情境，建構(gòu)概念。 通過學(xué)生熟悉的問題情境引發(fā)學(xué)生思考。 只有大小， 沒有方向的量， 并不能確定具體的位置， 從而指出速度是一個既有大小、又有方向的量，凸1

3、/ 6顯向量的兩大要素，同時引出向量的概念?！绢A(yù)設(shè)師生活動】（1）學(xué)生：貓的速度雖然比老鼠的速度大，但方向不對，所以無法抓到老鼠。（ 2）老師：你能否再舉出一些既有大小、又有方向的量？（3）學(xué)生：重力、浮力、彈力、位移（4）老師：生活中有沒有只有大小、沒有方向的量？（5）學(xué)生：年齡、身高、面積、體積等。（6）老師：回顧學(xué)習(xí)數(shù)的概念，我們從一本書、一支筆、一棵樹中抽象出只有大 小的數(shù)量 “ 1”。類似地， 我們可以對力、 位移這些既有大小、 又有方向的量進(jìn)行抽象， 形成一種新的量。板書設(shè)計：數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量 。老師： 把那些只有大小、 沒有方向的量稱為數(shù)量 向量在

4、物理學(xué)中常稱為矢量，數(shù)量在 物理學(xué)中常稱為標(biāo)量。【 問題 2】實數(shù)在數(shù)軸上是如何表示的？向量又如何表示？【設(shè)計意圖】類比實數(shù)的點的表示方法， 尋求向量的幾何表示。設(shè)計“兩個不同重量的 小木塊的浮力如何表示” 的問題， 讓學(xué)生從對比中體會到可以用有向線段的方向和大小分別 表示向量的方向和大小。將絕對值符號表示方法類比到向量的模的字母表示上。通過 0， 1 這兩個特殊實數(shù)類比出零向量和單位向量的概念?！绢A(yù)設(shè)師生活動】（1）學(xué)生：可以用數(shù)軸上的點表示。（2）老師：實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示，并且建立了一一對應(yīng)的關(guān)系。請同學(xué)們在 數(shù)軸上畫出表示實數(shù) 0，1 的點，再畫出表示實數(shù) a的點。（3）學(xué)生在稿

5、紙上畫出數(shù)軸，并標(biāo)注點的位置，如圖1 所示。圖14）老師：實數(shù) a 是一個數(shù)量，數(shù)軸上表示它的點 A 是一個幾何圖形，這里就是用幾何圖形表示了實數(shù) a，數(shù)量可以如此，那么向量呢？我們能不能也找到一種幾何圖形來表示平面向量呢？2/ 6如圖 2，有兩個木塊浮在水面上，一個木塊所 受到的重力的大小是 10N ，另一個木塊所受到的重力的 大小為 20 N。試在練習(xí)紙中畫出兩個物體所受到的浮 力，練習(xí)紙中已經(jīng)給出了表示10 N 的線段長度。5）學(xué)生：作圖，并表示浮力，如圖2 所示。6）老師：表示這兩個木塊所受浮力大小的線段，圖2哪個更長？方向又是如何表示的呢？7）學(xué)生：表示浮力大小為 20 N 的線段更

6、長用箭頭表示的。9）板書設(shè)計：畫一條線段，標(biāo)注線段AB，也可記作線段 a以 A 為起點， B 為終點畫一個箭頭。老師：一般地，可以按一定比例畫出一條線段，它的長短表示向量的大小。 用箭頭表示向量的方向， 這個圖形就是一條線段上帶了一個箭頭。有線段有箭頭， 如果給這個圖形起一個形象點的名字，你會叫它什么呢？10）學(xué)生：有向線段。11）老師：帶有方向的線段叫做有向線段。以A 為起點、 B 為終點的有向線段記作AB ，或者用 a，b，表示。 這樣就用有向線段的長度表示向量的長度，用有向線段的方向表示向量的方向，就可以用有向線段表示向量了。強調(diào)：書上的向量用的是印刷體的黑體字母 a表示向量， 沒有箭頭

7、 但是我們書寫的字 母不是印刷體，在表示向量時，必須打上箭頭。老師提問： “向量就是有向線段， 有向線段就是向量” 的說法對嗎？有向線段與向量的 區(qū)別和聯(lián)系？如何理解剛才學(xué)習(xí)的幾個概念？（12）學(xué)生：有向線段是幾何圖形，向量是有別于標(biāo)量的量。有向線段有三要素，即起 點、長度和方向，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段。向量只有大小和 方向兩個要素，與起點無關(guān)。（13）老師：向量的大小又該如何用字母來表示呢？如圖1，在數(shù)軸上點 A 表示實數(shù) a，那點 A 到原點的距離該如何表示呢？（ 14）學(xué)生： |a|（15）老師：類似地，在 AB 兩邊畫兩條平行、 等長的豎線段， 來表示向量 A

8、B 的大小， 也就是向量 AB 的長度（或稱模），記作 | AB |3/ 6相等向量和共線向量的概念的使得概念成為在教師引導(dǎo)下， 學(xué)圖3學(xué)生 2： AB與CD 方向相同，AB與 EF 方向相反，CD 與 EF 方向相反現(xiàn)在我們已經(jīng)建立起了一個向量的集合， 就像實數(shù)可以構(gòu)成實數(shù)集一樣。 在你畫的實數(shù)軸上，哪些實數(shù)比較特殊？如圖1，在實數(shù)軸上有兩個特殊的實數(shù)，請問是哪兩個？（ 16）學(xué)生： 0，1（17）老師：類似地，在向量的集合中有兩個向量很特殊，一個是長度為0 的向量，叫做零向量 ，一個是長度等于 1 個單位的向量，叫做 單位向量 。零向量與單位向量有方向嗎？（18）學(xué)生：根據(jù)向量的定義，任何

9、一個向量都有方向。（ 19）老師：規(guī)定零向量的方向是任意的，單位向量只有一個方向?！?問題 3】向量有哪些關(guān)系？設(shè)計意圖】 鞏固單位向量的概念。 該探究將平行向量、 形成過程串在了一起， 并讓學(xué)生參與這些概念的形成過程， 生觀察、歸納、概括之后的自然產(chǎn)物。（ 1）老師提問：在坐標(biāo)紙中畫出如圖 3 所示的向量。（1）圖中哪些向量是單位向量？（ 2） AB ， CD ， EF 三個向量的方向有何關(guān)系？（ 3） AB ， CD 在大小和方向上有何關(guān)系？（2）學(xué)生 1：單位向量有 AB，CD ，MN ，GH6/ 6（3）老師：一般地，方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量 ，記作 ABCD 規(guī)定，零向

10、量與任一向量平行，即對于任意的向量a，都有 0 a（ 4）老師： AB，CD 在大小和方向上有何關(guān)系？（5）學(xué)生：長度相等，方向相同。（6）老師：也就是 AB和CD 在向量的兩個基本要素上完全相同，數(shù)學(xué)上將長度相等 且方向相同的向量叫做 相等向量 ，記作 AB=CD （7）老師：如圖 4，OK 與 AB之間什么關(guān)系？那 OK 與 CD 之間什么關(guān)系？（8）學(xué)生：都是相等的。（9）老師：既然相等，那就意味著可以用同一條圖4有向線段 OK 來表示兩個相等的非零向量 AB和CD ，并且與有向線段的起點無關(guān)。 換句話 說，就是可以將兩個相等的非零向量 AB和CD在平面內(nèi)都平移到向量 OK 的位置，平移

11、后 的向量與原來的向量相等。類似地，也可以作向 OP 與向量 EF 相等。此時，我們將一組平行向量 AB，CD ， EF 都平移到了同一條直線上。因此，平行向量也叫做共線向量 。（10）老師提問：判斷下面的說法是否正確。（1）向量的模的取值范圍是 （0， +）（2）若 a 與 b 都是單位向量，則 |a|=|b|（3）若 ab，則 a與 b的方向相同。（4）物理中的作用力與反作用力是一對相等向量。（5）若| AB | 0，則 AB=BA（11）解法點評：該題緊扣向量的相關(guān)概念，同時關(guān)注零向量。（ 12）【例 1】如圖 5，設(shè) O 是正六邊形 ABCDEF 的中心，分別寫 出圖 5中與 OA，O

12、B ，OC 相等的向量。（13）解法點評：抓住相等向量的兩大要素，即長度相等和方向相同。（ 14）老師提問：如圖 6，設(shè) O 是正六邊形 ABCDEF 的中心，試在圖 中作出與 OA 共線的向量。（15）解法點評：在圖中先找與之平行的線段，再找與之共線的線段； 從對比與向量 OA 相等和共線的向量的結(jié)果看，可以得出怎樣的結(jié)論？ （相等必共線，共線未必相等。 ）【 問題 4】你能夠回答一下本節(jié)課我們都學(xué)習(xí)了哪些新的概念？圖6設(shè)計意圖】課堂小結(jié) 。 由學(xué)生總結(jié)、概括本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，教師進(jìn)行提煉， 并總結(jié)學(xué)習(xí)新概念的基本思路。預(yù)設(shè)師生活動】1）學(xué)生總結(jié)后得到圖 7，圖 8圖7圖8（2）老師：小結(jié)完成了，同學(xué)們是否有什么疑惑的地方？有