高中必修一集合復(fù)習講義

1、【基礎(chǔ)知識】定 義特 征表示法分 類數(shù)集集關(guān) 系合運 算性 質(zhì)方法一組對象的全體形成一個集合確定性、互異性、無序性列舉法 1,2,3, 、描述法 x|P有限集、無限集自然數(shù)集 N、正整數(shù)集 N 或 N、整數(shù)集 Z、有理數(shù)集 Q、實數(shù)集 R、空集元素和集合的關(guān)系是 “ 或”如 2M 或 3N集合與集合之間的關(guān)系是 , , , Cu A交集 A B x|x A 且 x B ；并集 A B x|x A 或 x B ；補集CU A x|xA 且 x U ， U為全集A A ； A； 若 AB ， BC，則 AC；A A A A A ； A ； A A ； A B AA B BA B；A C U A ；

2、 A C U A I ；C U ( C U A) A韋恩示意圖數(shù)軸分析注意 ： 區(qū)別與、與、 a 與a 、與 、 (1,2) 與1,2； A B 時， A 有兩種情況： A與 A 4. 對于任意集合A, B ，則 CU ACU B CU ( A B) ； CU ACU B CU ( A B ) ； 若集合 A 中有 n 個元素，則集合A 的所有不同的子集個數(shù)為2n ，所有真子集的個數(shù)是2n 1 ，所有非空子集的個數(shù)是2n 1，所有非空真子集的個數(shù)是 2n 2 ?！纠}解析】題型 1 正確理解和運用集合概念理解集合的概念 , 正確應(yīng)用集合的性質(zhì)是解此類題目的關(guān)鍵.例 1. 已知集合 M=y|y=

3、x 21,x R,N=y|y=x 1,x R，則MN=（ ）A（ 0， 1），（ 1，2） B （ 0， 1），（ 1，2） C y|y=1, 或 y=2 Dy|y 1思路啟迪： 集合 M、N 是用描述法表示的，元素是實數(shù)y 而不是實數(shù)對 (x,y)，因此 M、N 分別表示函數(shù) y=x 21(x R)， y=x1(x R)的值域，求MN即求兩函數(shù)值域的交集解： M=y|y=x 2 1,x R=y|y 1 ， N=y|y=x 1,x R=y|y RMN=y|y 1 y|y R=y|y 1, 應(yīng)選D點評：本題求 MN，經(jīng)常發(fā)生解方程組yx21,得x0,x1,yx1.y1,或2.y從而選 B 的錯誤

4、，這是由于在集合概念的理解上， 僅注意了構(gòu)成集合元素的共同屬性， 而忽視了集合的元素是什么 事實上 M、N 的元素是數(shù)而不是點， 因此 M、N 是數(shù)集而不是點集 集合是由元素構(gòu)成的，認識集合要從認識元素開始，要注意區(qū)分x|y=x2 1 、 y|y=x21,x R、 (x,y)|y=x21,x R，這三個集合是不同的例 2. 若 P=y|y=x 2,x R， Q=y|y=x 21,x R，則 PQ等于（ ）A PB QCD不知道思路啟迪： 類似上題知 P 集合是 y=x2（xR）的值域集合，同樣Q集合是 y= x2 1（xR）的值域集合，這樣PQ意義就明確了解：事實上， P、Q中的代表元素都是y

5、，它們分別表示函數(shù)y=x2,y= x2 1 的值域， 由 P=y|y0,Q=y|y 1 ，知 QP，即 PQ=Q應(yīng)選 B例 3. 若 P=y|y=x22）,x R， Q=(x ， y)|y=x,x R，則必有（APQ=B P QC P=QD PQ例 4 若 A x | x 21， B x | x22x 3 0 ，則 AB = （ ）A 3B 1CD 1題型 2集合元素的互異性集合元素的互異性，是集合的重要屬性，教學實踐告訴我們，集合中元素的互異性常常被學生在解題中忽略，從而導致解題的失敗，下面再結(jié)合例題進一步講解以期強化對集合元素互異性的認識例5.若 A=2 ， 4,a 3 2 a 2 a 7

6、,B=1,a 1,a 2 2 a 2, 1 (a 23 a 8),a 32a 2 3 a 7 ，且A B=2， 5 ，則實數(shù)a 的值是 _解答 啟迪 ： AB=2 ，5 ，a 3 2 a 2 a 7=5, 由此求得a =2 或 a = 1A=2,4,5，集合 B 中的元素是什么，它是否滿足元素的互異性，有待于進一步考查當 a =1 時，a 2 2 a 2=1，與元素的互異性相違背，故應(yīng)舍去a =1當 a =1 時， B=1,0,5,2,4，與AB=2， 5 相矛盾，故又舍去a = 1當 a =2 時， A=2， 4， 5,B=1,3,2,5,25，此時 AB=2， 5 ，滿足題設(shè)故 a =2

7、為所求例 6.已知集合 A= a , a b,a 2b ，B= a , a c,a c2 若 A=B，則 c 的值是 _例 7. 已知集合A=x|x 23x 2=0,B=x|x2 a x a 1=0 ，且 AB=A，則 a 的值為 _ 題型 3要注意掌握好證明、判斷兩集合關(guān)系的方法集合與集合之間的關(guān)系問題，是我們解答數(shù)學問題過程中經(jīng)常遇到，并且必須解決的問題，因此應(yīng)予以重視反映集合與集合關(guān)系的一系列概念，都是用元素與集合的關(guān)系來定義的因此，在證明（判斷）兩集合的關(guān)系時，應(yīng)回到元素與集合的關(guān)系中去例 8. 設(shè)集合 A= a | a =3n2,n Z ，集合B=b|b=3k 1,k Z ，則集合A

8、、 B 的關(guān)系是_解： 任設(shè) a A，則 a =3n 2=3(n 1) 1(n Z) ， n Z, n1Z. a B, 故 AB 又任設(shè)bB，則 b=3k 1=3(k 1) 2(k Z), k Z, k1Z. b A，故BA由、知A=B點評：這里說明a B或 bA的過程中，關(guān)鍵是先要變（或湊）出形式，然后再推理例 9 若 A、 B、C 為三個集合，ABBC ，則一定有（）A .ACB . CAC . ACD .A 考查目的 本題主要考查集合間關(guān)系的運算.解： 由 A U BB I C 知， A U B B, A U B CA B C ，故選 A.例 10設(shè)集合A 1,2 , 則滿足 A B 1

9、,2,3的集合 B 的個數(shù)是（）A . 1B .3C .4D . 8例 11 記關(guān)于 x 的不等式 xa0 的解集為 P ，不等式 x1 1的解集為 Q x1（錯誤 ! 未找到引用源。 ）若 a3，求 P ；（錯誤 ! 未找到引用源。 ）若 QP ，求正數(shù) a 的取值范圍題型 4.要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一個特殊的重要集合， 它不含任何元素， 是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集顯然， 空集與任何集合的交集為空集，與任何集合的并集仍等于這個集合當題設(shè)中隱含有空集參與的集合關(guān)系時，其特殊性很容易被忽視的，從而引發(fā)解題失誤例 12.已知 A=x|x 2 3x 2=0,B=x|a x

10、 2=0 且 AB=A，則實數(shù)a 組成的集合C是 _解： 由 x2 3x 2=0 得 x=1 或 2當 x=1 時， a =2，當 x=2 時， a =1這個結(jié)果是不完整的，上述解答只注意了B 為非空集合，實際上，B=時，仍滿足AB=A，當 a =0 時， B=，符合題設(shè)，應(yīng)補上，故正確答案為C=0， 1， 2 例 13已知集合 A x | xa 1 ， B x x25x 4 0 若 A I B，則實數(shù) a 的取值范圍是思路啟迪： 先確定已知集合A 和 B解： Ax | x a 1x a 1 x a +1 , B x x 25x 4 0x x 4, x 1 .a 14, a 1 1.2x 3.

11、故實數(shù) a 的取值范圍是 (2，3) 例 14.已知集合A=x|x2 (m 2)x 1=0,x R ，若 A R =，則實數(shù) m 的取值范圍是_例 15.已知集合A=x|x2 3x 10 0 ，集合的取值范圍是 _B=x|p 1 x2p 1 若BA ，則實數(shù)p題型5要注意利用數(shù)形結(jié)合解集合問題集合問題大都比較抽象，解題時要盡可能借助文氏圖、數(shù)軸或直角坐標系等工具將抽象問題直觀化、形象化、明朗化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法使問題靈活直觀地獲解例 16設(shè)全集 U=x|0x0 ，求 AB 和 AB解： A=x|x2 5x60=x| 6x1 ，B=x|x 2 3x0=x|x0 如圖所示， A B=x|

12、 6x1 x|x0=RAB=x| 6x1 x|x0=x|6x 3，或 0x1 例 18 設(shè)A=x| 2x1， B=x|x2 a x b0，已知A B=x|x 2 ，A B=x|1x ，3求a 、 b 的值【專題訓練】一. 選擇題 :1設(shè) M=x|x2， a =lg(lg10)，則 a 與 M的關(guān)系是（）+x+2=0A、 a =MB、 M a C、 a MD、 M a 2已知全集 U =R， A=x|x-a |2， B=x|x-1| 3 ，且 A B=，則 a 的取值范圍是（）A、 0 ， 2B、（ -2 ， 2）C、（ 0， 2D、（ 0， 2）3已知集合 M=x|x=a2-3a +2， a

13、R， N=x|x=b 2-b ， b R，則 M，N 的關(guān)系是（）A、 MNB 、 MNC、 M=ND、不確定4設(shè)集合 A=x|x Z 且-10 x -1 ，B=x|x Z，且 |x| 5 ，則 A B 中的元素個數(shù)是 （）A、 11B、 10C、 16D、155集合 M=1， 2， 3， 4， 5 的子集是（）A、 15B、 16C、 31D、326集合 =|x= kx,k Z,=|x= k,kZ, 則 ()Mx24N x42A M=NB M NC M ND M N=7已知集合 A= x| 2 x 7, B= x| m+1x2m 1 且 B, 若 AB=A，則 ( )A 3 m4B 3m4C

14、 2 m4D 2 m 48集合 M= x x 22 xa0, xR ，且M . 則實數(shù) a 的取值范圍是 ( )A. a-1B. a1C. a-1D.a19已知集合 M= a 2, a .P= - a ,2 a -1 ；若 card(M U P)=3，則 MI P= ( )A.-1 B. 1C.0D. 310設(shè)集合 P= 3,4,5.Q= 4,5,6,7 . 令 P*Q=a, b ap,bQ ，則 P*Q 中元素的個數(shù)是 ()A. 3B. 7C. 10D. 12二填空題：11已知 M=m | m4Z ，N=x|x23N ，則 M N=_.212非空集合p 滿足下列兩個條件： （ 1）p1 ，2，3，4，5 ，（ 2）若元素a p，則6-a p，則集合p 個數(shù)是_.13設(shè)A= 1， 2，B= x xA若用列舉法表示，則集合B 是.14含有三個實數(shù)的集合可表示為a, b ,1 a2 , a b,0 ，則 a2007b2008a三解答題：15. 設(shè) A=x|x 2+px+q=0 ，M=1， 3，5，7，