九年級(上)第一章 證明(二)§1-2 直角三角形(1)[課件]北師大（經(jīng)典實(shí)用）

1、九年級數(shù)學(xué)（上冊）第一章 證明(二) 2.直角三角形（1） 勾股定理與它的逆定理的證明 駛向勝利 的彼岸 勾股定理 w如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為，斜邊為c， 那么那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于即直角三角形兩直角邊的平方和等于 斜邊的平方斜邊的平方.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥 拉斯定理（拉斯定理（pythagoras theorem）. 開啟 智慧 a c b 勾 弦 股 駛向勝利 的彼岸 勾股定理的證明勾股定理的證明 我能行 我能行 l方法一: 拼圖計(jì)算 l方法二：割補(bǔ)法 l方法三：趙爽的

2、弦圖 l方法四：總統(tǒng)證法 l方法五：青朱出入圖 l方法六：折紙法 l方法七：拼圖計(jì)算 這些證法你還能記得多少? 你最喜歡哪種證法? 總統(tǒng)證法總統(tǒng)證法 回顧反思回顧反思 駛向勝利 的彼岸 l這個證明方法出自一位總統(tǒng), 1881年，伽菲爾德(J.A. Garfield )就任美國第二十任總統(tǒng),在 1876 , 利用了梯形面積 公式。 l圖中三個三角形面積的和是 l2ab/2c/2;梯形面積為(a+b)(a+b)/2; l比較可得:c2 = a2+b2 。 伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話,后 來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡 捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱 為“總統(tǒng)”證法。 勾股定理不

3、只是數(shù)學(xué)家愛好，魅力真大！ a b a b c c 駛向勝利 的彼岸 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 我能行 我能行 l如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方, 那么這 個三角形是直角三角形. l已知:如圖(1),在ABC中,AC2+BC2=AB2. l求證:ABC是直角三角形. a c b A B C (1) 駛向勝利 的彼岸 逆定理的證明逆定理的證明 我能行 我能行 l證明:作Rt ABC使C =900,AC=AC,BC=BC(如圖),則 l已知:如圖(1),在ABC中,AC2+BC2=AB2. l求證:ABC是直角三角形. a c b A B C (1) a c b B A C (2)

4、lAC2+BC2=AB2(勾股定理). AC2+BC2=AB2(已知), AC=AC,BC=BC(作圖), AB2=AB2(等式性質(zhì)). AB=AB(等式性質(zhì)). ABC ABC(SSS). C=C 900(全等三角形 的對應(yīng)邊). ABC是直角三角形(直角三 角形意義). 幾何的幾何的三種語言三種語言 回顧反思回顧反思 駛向勝利 的彼岸 w勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 l如果三角形兩邊的平方和等于 第三邊平方, 那么這個三角形是 直角三角形. 這是判定直角三角形的根據(jù)之一. l在ABC中 lAC2+BC2=AB2(已知), lABC是直角三角形(如果三角形兩邊的平方和 等于第三邊平方,

5、那么這個三角形是直角三角形). a c b A B C (1) 駛向勝利 的彼岸 命題與逆命題命題與逆命題 w直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. w如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方, 那么這 個三角形是直角三角形 w觀察上面兩個命題,它們的條件與結(jié)論之間有怎樣 的關(guān)系?與同伴交流.w再觀察下面三組命題: w如果兩個角是對頂角,那么它們相等, w如果兩個角相等,那么它們是對頂角; w如果小明患了肺炎,那么他一定會發(fā)燒, w如果小明發(fā)燒,那么他一定患了肺炎; w三角形中相等的邊所對的角相等, w三角形中相等的角所對的邊相等. w上面每組中兩個命題的條件和結(jié)論之 間也有類似的關(guān)系嗎?與同

6、伴進(jìn)行交流. 開啟 智慧 駛向勝利 的彼岸 命題與逆命題命題與逆命題 w在兩個命題中,如果一個命題的條件和結(jié)論分別 是另一個命題的結(jié)論和條件,那么這兩個命題稱 為互逆命題互逆命題,其中一個命題稱為另一個命題的逆逆 命題命題. 開啟 智慧 w你能寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等,那么它們的 平方相等”的逆命題嗎? w它們都是真命題嗎? w想一想:一個命題是真命題, 它逆命題是真命題還是假命題? 駛向勝利 的彼岸 定理與逆定理定理與逆定理 w一個命題是真命題,它逆命題卻不一定是真命題. 開啟 智慧 w我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理,如: w勾股定理及其逆定理, w兩直線平行,內(nèi)錯角相等;內(nèi)錯角相等,兩直

7、線平行. w你還能舉出一些例子嗎? w想一想: w互逆命題與互逆定理有何關(guān)系? w如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它 是一個定理,這兩個定理稱為互逆定理,其中一個 定理稱另一個定理的逆定理. 蓄勢待發(fā)蓄勢待發(fā) 隋堂練習(xí)隋堂練習(xí) 駛向勝利 的彼岸 老師提示: 你是否能將有關(guān)命題的知識予以整理. w說出下列合理的逆命題,并判斷每對命題的真假: w四邊形是多邊形; w兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ); w如果ab=0,那么a=0,b=0. w請你舉出一些命題,然后寫出它的逆命題,并判斷 這些逆命題的真假. 學(xué)無止境學(xué)無止境 讀一讀讀一讀 l勾股定理是數(shù)學(xué)上有證明方法最多的定理 有四百多種說明！ l

8、古今中外有許多人探索勾股定理的證明方法， 不但有數(shù)學(xué)家，還有物理學(xué)家，甚至畫家、政 治家。如趙爽（中）、梅文鼎（中）、歐幾里 德（希臘）、辛卜松（英）、加菲爾德（美第 二十屆總統(tǒng)）等等。其證明方法達(dá)數(shù)百種之多， 這在數(shù)學(xué)史上是十分罕見的. 駛向勝利 的彼岸 P18讀一讀： 勾股定理的證明. 學(xué)無止境學(xué)無止境 讀一讀讀一讀 l 歷時幾千年的兩個定理，牽動著世界上不知 多少代億萬人們的心，前人以堅(jiān)韌的毅力，開 拓創(chuàng)新的精神譜寫了科學(xué)知識寶庫中探寶的光 輝篇章，還有許多寶藏等待后人開采。自然無 限，創(chuàng)造永恒。同學(xué)們要努力學(xué)習(xí)，提高自身 素質(zhì)，不辜負(fù)時代重托，將來為人類作出更大 貢獻(xiàn)。 駛向勝利 的彼

9、岸 P18讀一讀： 勾股定理的證明. 夢想成真 試一試試一試P14 1.如圖(單位：英尺),在一個長方體的房間里,一只蜘 蛛在一面墻的正中間離天花板1英尺的A處,蒼蠅則 在對面墻的正中間離地板1英尺的B處. 試問:蜘蛛為了捕獲蒼蠅,需要爬行的最短距離是多 少? A B 30 12 12 回味無窮 n勾股定理: w如果直角三角形兩直角邊分別為如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為斜邊為c，那么那么 a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的 平方平方.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理 （pyt

10、hagoras theorem）. n勾股定理的逆定理: l如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方, 那么這個三 角形是直角三角形. n命題與逆命題命題與逆命題 w在兩個命題中,如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一 個命題的結(jié)論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題互逆命題,其 中一個命題稱為另一個命題的逆命題逆命題. n定理與逆定理定理與逆定理 w如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它是一 個定理,這兩個定理稱為互逆定理,其中一個定理稱另一 個定理的逆定理. 小結(jié) 拓展 習(xí)題1.4 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè) 駛向勝利 的彼岸 w1.如圖，在ABC中，已知 AB=13cm,BC=10cm,BC邊上的中線

11、 AD=12cm. w求證:AB=AC. 證明:BD=CD,BC=10cm(已知), BD=5cm(等式性質(zhì)). AD2+BD2=122+52144+25=169, AB2=132=169, AD2+BD2=AB2. D BC A 在ABD中, ABC是直角三角形(如果三角形兩邊的平方 和等于第三邊平方, 那么這個三角形是直角三角形). 在RtADC中 AC2=DC2+AD2=122+52144+25=169, AC2=AB2. AB=AC(等式性質(zhì)). 習(xí)題1.4 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè) 駛向勝利 的彼岸 w3.如圖,正四棱柱的底面邊長為5cm,側(cè) 棱長為8cm,一只螞蟻欲從正四棱柱的底 面上的點(diǎn)A沿棱柱側(cè)面到點(diǎn)C1處吃食物, 那么它需要爬行的最短路徑是多少？ 解:如下圖,將四棱柱的側(cè)面展開, 連結(jié)AC1, AC=10cm,CC1=8cm(已知), 老師提示:對于空間圖形需要動手 操作,將其轉(zhuǎn)化為平面圖形來解決. B C A B1 C1 D1 A1 D BA B1 D1 A1 D C1 C .412164 810 22 2