定積分應(yīng)用及廣義積分

1、第三章一元積分學(xué)第四節(jié)定積分的應(yīng)用及廣義積分.定積分的應(yīng)用積分有著廣泛的應(yīng)用。在這里我們要掌握（1 ）直接用公式計算（主要是面積、弧長、體積的公式）（2）用元素法計算。遇到具體問題時，如能直接用公式，我們就用公式去做，如沒 有現(xiàn)成的公式可用或公式忘了，我們可用元素法去解。元素法同樣適用于重積分的應(yīng)用問題,還可以用元素法建立微分方程，所以說掌握了元素法就可以做到以不變應(yīng)萬變。例1. （1）曲線y=2esin x（x啟0）與x軸所圍成的圖形的面積為 .（2）曲線y = （ jSK?dt（0蘭x蘭兀）的弧長為 -be垃(Hi)n解：（1）所求的面積為A|2esin x | dx2e |sin x |

2、 dx(k1)二丄2ekz0 “| sin x | dx = 2ein tdt = e;r(Vr)A =(1心1e：1e 二-1(2)弧長為丨=o . 1 f (x)2dx 二 4例2 過點（4,0）作曲線y二.（x=1）（3=x）的切線，（1）求切線方程；（2）求由這切線與該曲線及 x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解：（1）設(shè)切點為（Xo, y），則有2 -Xo_ y - o _、 (xo -1)(3 - xo)Xo =5，那么切線的斜率為2.(Xo -1)(3-Xo)Xo -4Xo-4解得切線方程為y - - 1（X -4），即 X、3y - 4 = oJ3（3）旋轉(zhuǎn)體的體積

3、為4 -12.32(x - 4) dx -(x -1)(3 -x)dx 6下面介紹一下元素法我們先看一個例子2例3 求曲線y =2x -X與直線y = 0圍成的圖形繞直線 x = 3旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積.分析：求旋轉(zhuǎn)體的體積是我們熟悉的問題.但本題沒有現(xiàn)成的公式好用，應(yīng)考慮用元素法將所求的體積化為一個積分，然后計算積分得結(jié)果.在學(xué)習(xí)定積分概念時，講過將曲邊梯形的 面積化為一個定積分的幾個步驟：分割、近似、求和、取極限用元素法將所求的量化為一 個定積分的步驟稍微簡化一點：分割、近似后得元素、積分(以得到的元素為被積表達式在相應(yīng)區(qū)間上積分)得結(jié)果先要選好積分變量并確定積分區(qū)間，本題中可選x也可選

4、y 若選y為積分變量，則積分區(qū)間為0,1，分割：在0,1上任取一個小區(qū)間y, y dy，近似：該小區(qū)間對應(yīng)的一小片繞直線x = 3旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積 V近似為V ：二(2 .1 二y)2 -(2-、1二y)2dy =8二1ydy , 從 而得體 積元素ii 16dV =8二、.1 - ydy ,積分得結(jié)果：V = j dV二J 8- . 1 - ydy若選x為積分變量，3則積分區(qū)間為0,2，分割：在0,2上任取一個小區(qū)間x,x dx，近似：該小區(qū)間對應(yīng)的小曲邊梯形繞直線x = 3旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積 V近似為二V、二 y(3 -X)2 -(3 - x - dx)2 = 2二(x3 -5x

5、2 6x)dx -二 y(dx)22二(x3 -5x2 6x)dx，從而得體積元素dV =2二(x3 - 5x2 6x)dx，積分得結(jié)果：2 1 3 2 16V dV2二(x - 5x 6x)dx.解答過程自己完成.3總結(jié)：用元素法求某個量U的一般步驟：(1) 建立坐標系，選取積分變量，比如x 確定該變量的變化區(qū)間即為積分區(qū)間，比如a,b (2) 在區(qū)間a,b上任取一個小區(qū)間x, x dx，對應(yīng)該小區(qū)間的部分量記為U，找出該部分量的近似值U f (x)dx，那么得到量U的元素 dU二f(x)dx (3) 以元素dU二f(x)dx為積分表達式在區(qū)間a,b上積分便得欲求的量 UbbU dU f (

6、x)dxaa這里關(guān)鍵是找出元素 dU二f (x)dx，找元素的思想是：以直代曲，以常代變.例3 .設(shè)有半徑為 R的密度不均勻的圓盤.已知其面密度為二ar b，其中為所考慮的點到圓盤中心的距離，a,b為正常數(shù)，求圓盤的質(zhì)量.解：以圓盤上的點到圓心的距離r為積分工變量，則 r 0,R，任取0, R上的一個小區(qū)間r,r dr，該小區(qū)間對應(yīng)的小圓環(huán)的質(zhì)量近似為2 2M :二(r dr) - : r (ar b) ： 2二 r(ar b)dr于是質(zhì)量元素為dM =2二r(ar b)dr，所以圓盤質(zhì)量為R 2 2M = 2二 r(ar b)dr -二 R ( aR b)注：本題可用二重積分計算。二廣義積分

7、本節(jié)主要介紹廣義積分的計算及斂散性判定。廣義積分的計算也有基本方法和特殊方法，基本方法與定積分差不多但要分清瑕點。廣義積分的斂散性判定主要是兩個方法(1)用定義，(2)比較法，這一方法適用于被積函數(shù)在瑕點附近或無窮遠點附近非負(若非正，則加一負號可變?yōu)榉秦?，并且與正項級數(shù)的比較審斂法相似若被積函數(shù)在瑕點附近或無窮遠點附近變號，可考慮是否絕對收斂這里先要 熟悉幾個簡單廣義積分的收斂性：a 1對于占dx , ( a0), pci時收斂，p王1時發(fā)散.X-be 1對于 dx, ( 0), pn1時收斂，p蘭1時發(fā)散. a xp1對于 dx , ( a1), p1時收斂，p1時發(fā)散.a x(ln x

8、)p-hex1-a|2b(x - a)2 b2dx(b 0),乂dxx(1 x) _ (n x)(n-1)例4.求卜列積分(1)3 f (x)(x 1)2(x -1): xln x亠 f2( )dx,其中 f(x)3(2)，0 (12、2dX1 f (x)x (x 2)0 (1 x )解:(1)(分析:注意這里有兩個瑕點：0, 2 )dxf (x)1 f2(x)dxf (X)1 f2(x)dx3 f (x)-1 f2(x)dx=arctan f (x) |04 arctan f (x)疳 arctan f (x)32 二32=(0) () (arctan ) = arcta n2_222272

9、27注:本題的計算很容易出錯：一口2dx = arctanf (x)|!4=arctan32 - 0 = arctan32 ,錯1+f2(x)2727誤的根源在于沒注意到積分區(qū)間內(nèi)有兩個瑕點，由此可看出計算這類積分時一定要把瑕點找出來然后按本題的做法那樣去處理，還要注意極限的單側(cè)性.二 x I n x- 1 二1(2)(分析：首先容易想到用分部法去求：xlnx2dx - lnxd 直(1 + x2 )22 01 + x2一3尋二0乙不対至此問題出來了，由于圾考，這就沒法做 下去了，但我們不能由此說該積分發(fā)散，也不能說分部法不能用事實上很容易判斷該積分是 收斂的（實際上 x=0不能算是假點），用

10、分部法計算廣義積分時要求分部積分公式右邊兩項均 收斂（上述做法中右邊兩項均發(fā)散）本題用分部法可以這樣做：:xln x , dx (1 x2)21 xln x ,: xln x ,0廠手dx 1廠手dx1仏二2 11 x21 1 1 In xd（1 -01 x往下計算請同學(xué)完成，下面有一種更簡便方法（稱之為分段相消法）:xlnx , dx(1 x )1 xln x ,0Fnvdx:xln x , dx(1 x )對后一積分作換元:xlnx 2、2(1 x )110 -ln-1 1 2(1討1(-嚴=-01冉dt(1 t )所以0 (1(3)（分析:-fee1x-a|2再利用奇偶性有二 xln x

11、22x )dx = 0初一看此題比較復(fù)雜，我們試著先換元簡化問題，令12ydt(xM b2dx斜)卅2b、t 亠 dt 1 t b再換元ub，則二:t2 b: b . t二 2 dt t2 b2但積分u 4du仍不好算，我們可用配對法計算此積分:1 u設(shè)Idu ,:11 u4dut = x - a，則積分變?yōu)?u4du1 u41令 u ，則Iv11v2dv 二 J又.1丄u du = 1 arctan 1 (u-) |0：2 (u)222 uuJIJI-： u21 u4du 、.2所以|x-a|222dx = 4. bl = 2b二，這是分析，解答請同學(xué)們完成）（x_a）2+b2（4）（分析：

12、被積函數(shù)是有理函數(shù)，我們總可以將它分拆成最簡分式的和x(x 1) (X n) x上 A .亠,而且可以求出(-1)k()kc：(-k)(-k 1)(-1)1 (n-k)k!(n -k)!n!，Ak =0。k =0從而I ndxb Akx(1 x) (n x)lim bT- k=0 1 x kdxbf/k(ln(b+ki(1+k)k而 lim Ak ln(b k) lim A, ln(1 )- b八2b：k出blim Ak In b =0 0=0 ,故b ：k dxx(1 x) (n x)1 n=-Z（-1）k41c：l n+（k）這是分析，解答請同學(xué)們完成） n!k=0例5.求下列積分已知二（

13、-1）n，212，十xdx求01 - ex(2)已知0dx(3)計算l(m, n)(4):arctanax -n *2x2 n解：（1）0兀-(x2求 o e x dx1xn(ln x)mdxarctanbxdx(a 0,b0)二 xdx1 - ex：xe-1 :1 -xn nxxe(T) e dxQO八(-1)-He .wf(n+)x 亍xe dx =0(T)nn=e(n 1)12(2)令 I- :-(x2ex2)dx, J 二dx =-x7_21-:丄x2)1e x dx7-2 1-J Rdt 二 I心 4x22)e x1(1 p)dxx丄)2工xd(xx1 2 仝 J2，1x d(x-

14、),x1x，則o兀曲丄)2 2e x1d(x )x亠 t2e dt亠t2e dt =- :(x2edx 22e(4) 對m建立遞推式I(m，叭代 0(lnt)mdtn11 n A。嚴(1 nt)= 4|(0,n)(5)(n 1)m-(n 1)m 1(利用二重積分)arcta n ax - arcta n bxa 1b 1 x2y2dy:arctan ax - arctan bx ,dx 二1廠獰dx)dy兀 aIn2 b例6.廣義積分o arctan_ dx收斂的充要條件是x分析：首先可以看出本題答案與:大于零還是小于零無關(guān)，考慮這個積分有瑕點 x = 0和無窮點x =,這兩點都要考慮：1 a

15、rctan： x ,0 x 1對于:arctan： x , dx 二xp arcta j dx，由于arcta n xx(x 0)，因此該積分與。一匕dx具有相同的斂散性,故該積分收斂的充要條件是:2 。對于二竺切Jdx，由于arctan：1 x的斂散性，故該積分收斂的充要條件是綜上分析知要填的答案是 1 ： 1 : 2:arctan： x , dxx二 二 1x、?(x):)，因此該積分與dx具有相冋例7. _ 1討論(ln(1-)解:/(l n(1 丄)1)dX的收斂性X 1 X10（牛一 1作換元 t ，則X對于1 1 1 1 .)dx=L(ln(1+)- )dx + (ln( 1+)X 1 X0X 1 X1X1 1)dx，由于dx是正常積分，故只需討論七1 +x對于11(ln (1 -)1x由于x 1|n (1 l)dx0X)dx,1 Xln(1丄)X X：l n(1 t)2 dt收斂。t12x210(-2),X1ln(1 )X-be1 X- 1 故,(ln(1 )12 0(2)X2x-丄）dx收斂。綜上知原積分收斂。練習(xí)題40dX收斂的充要條件是：滿足1 .(1) 廣義積分 cd1 X（用洛比達法則，答案2 .求下列廣義積分rlu(1)0,X 1 X1 1Oln( 1 )dx ,X(111-0()XX:. (