高中一年級數(shù)學函數(shù)的定義域與值域的常用方法

1、.高一數(shù)學求函數(shù)的定義域與值域的常用方法一：求函數(shù)解析式1 、換元法 ：題目給出了與所求函數(shù)有關的復合函數(shù)表達式，可將內函數(shù)用一個變量代換。f ( x 1)x2x1例 1. 已知xx2，試求 f ( x) 。tx 1xx解：設，則f ( x) x2x 1,x1 。1t1 ，代入條件式可得： f (t ) t 2 t 1 ， t1 。故得 ：說明 ：要注意轉換后變量范圍的變化，必須確保等價變形 。2 、構造方程組法 ：對同時給出所求函數(shù)及與之有關的復合函數(shù)的條件式，可以據(jù)此構造出另一個方程 ，聯(lián)立求解 。f ( x) 2 f ( 1) 3x24x 5例 2. （1）已知x，試求 f ( x) ；

2、（ 2）已知 f (x) 2 f ( x)3x24x 5 ，試求 f (x) ；1解：（ 1）由條件式 ，以 x 代 x，則得128ff x立，消去x ，則得：x23x（ 2）由條件式 ，以 x代 x則得： f (f ( 1) 2 f ( x) 3 124 15xxx，與條件式聯(lián)x24x533 。x)2 f (x)3x24x5，與條件式聯(lián)立 ，消去 ffxx24x5x ，則得 ：3 。說明 ：本題雖然沒有給出定義域，但由于變形過程一直保持等價關系，故所求函數(shù)的定義域由解析式確定 ，不需要另外給出 。例 4.求下列函數(shù)的解析式：（ 1）已知 f ( x) 是二次函數(shù) ，且 f (0) 2, f

3、(x 1)f ( x)x 1，求 f ( x) ；（ 2）已知 f ( x1)x2x ，求 f ( x) ， f ( x 1)， f ( x 2 ) ；（ 3）已知 f ( x1)x 211，求 f (x) ；xx2x（ 4）已知3 f ( x)2 f ( x)x3，求 f ( x) 。【題意分析 】（ 1）由已知 f ( x) 是二次函數(shù) ，所以可設f ( x)ax 2bx c( a 0) ，設法求出 a,b,c 即可 。（ 2）若能將 x2 x 適當變形 ，用 x 1的式子表示就容易解決了。x1（ 3）設為一個整體 ，不妨設為 t ，然后用 t 表示 x ，代入原表達式求解 。x（ 4）

4、x ，x 同時使得 f (x) 有意義 ，用 x 代替 x 建立關于f ( x) ， f ( x) 的兩個方程就行了 。.專業(yè)資料 .【解題過程 】 設 f ( x)ax 2bxc( a0) ，由f (0)2, 得 c2 ，由 f ( x1)f ( x)x1，得恒等式 2axabx1，得 a1 ,b3。22故所求函數(shù)的解析式為f ( x)1 x 23 x2 。22（ 2）f (x1)x2 x(x ) 22x1 1 (x 1) 21，又x0,x1 1,f ( x)x 21( x1) 。（ 3）設 x 1t, 則 xt1 , t 1 ，x1則 f (t )f (x1x2111111 (t 1)2(

5、t 1) t2t 1x)x2xx2x所以 f ( x)x 2x1( x1) 。（ 4）因為 3 f ( x)2 f (x)x3 用x 代替 x 得 3 f ( x) 2 f ( x)x 3解 式得 f ( x)x3。5【題后思考 】求函數(shù)解析式常見的題型有：（ 1）解析式類型已知的，如本例 ， 一般用待定系數(shù)法。對于二次函數(shù)問題要注意一 般 式y(tǒng) ax2bxc(a 0)，頂點式y(tǒng)a(x h) 2k和標根式y(tǒng) a( xx1 )( xx2 ) 的選擇 ；（ 2 ）已知 f g( x) 求 f ( x) 的問題 ，方法一是配湊法，方法二是換元法，如本例（ 2）（ 3）；（ 3）函數(shù)方程問題 ，需建立

6、關于 f (x) 的方程組 ，如本例 （ 4）。 若函數(shù)方程中同時出現(xiàn) f (x) ， f ( 1 ) ，則一般將式中的x 用 1 代替，構造另一方程 。xx特別注意 ：求函數(shù)的解析式時均應嚴格考慮函數(shù)的定義域二：求函數(shù)定義域1 、由函數(shù)解析式求函數(shù)定義域：由于解析式中不同的位置決定了變量不同的范圍，所以解題時要認真分析變量所在的位置 ；最后往往是通過解不等式組確定自變量的取值集合。yx 2x3x4 的定義域 。例 3.求x20解：由題意知 ：x4，從而解得 ： x 2 且 x4.故所求定義域為 ：x|x 2 且 x4。例 2.求下列函數(shù)的定義域：（1） f (x)5x；（ 2） f ( x)

7、x 1 1 xx3.專業(yè)資料 .【題意分析 】求函數(shù)的定義域就是求自變量的取值范圍，應考慮使函數(shù)解析式有意義，這里需考慮分母不為零 ，開偶次方被開方數(shù)為非負數(shù)?！窘忸}過程 】（ 1 ）要使函數(shù)有意義5x05， 則x3,即 x， 在數(shù)軸上標出，即0x3x3,或 3x 3, 或 3x5 。 故函數(shù)的定義域為(,3)( 3,3) (3,5 .當然也可表示為 x x3,或 3x3,或3x5 。（ 2 ）要使函數(shù)有意義x10x11 ，從而函數(shù)的定義域為， 則x,即,所以 x10x1x | x1 ?！绢}后思考 】求函數(shù)的定義域的問題可以歸納為解不等式的問題，如果一個函數(shù)有幾個限制條件時 ，那么定義域為解各

8、限制條件所得的x 的范圍的交集 ，利用數(shù)軸可便于解決問題。求函數(shù)的定義域時不應化簡解析式；定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示 ，若用區(qū)間表示數(shù)集 ，不能用 “或 ”連接 ，而應該用并集符號“ ”連接 。2、求分段函數(shù)的定義域：對各個區(qū)間求并集 。例 4. 已知函數(shù)由下表給出，求其定義域X123456Y2231435 617解：1，2，3， 4，5，6。3、求與復合函數(shù)有關的定義域：由外函數(shù) f（u ）的定義域可以確定內函數(shù)g （ x）的范圍，從而解得 xI1 ，又由 g （ x）定義域可以解得xI2.則 I1 I2 即為該復合函數(shù)的定義域。也可先求出復合函數(shù)的表達式后再行求解。例 8 已知

9、f (x)x3, g( x)x, 求 yf ( g (x)的定義域 .x24x3由f (x)x 3x 3g(x) 3x3x2解：4x3又由于 x2 4x 30*聯(lián)立 *、 * 兩式可解得 ：9 3 3或93 3x1 3x44故所求定義域為9 33或x93 3x |x1 344例 9. 若函數(shù) f（ 2x）的定義域是 1， 1，求 f（ log 2x）的定義域 。解：由 f （ 2x）的定義域是 1， 1可知： 2 1 2x2 ，所以 f（ x）的定義域為 21， 2 ，故 log 2x 21 ，2 ， 解得2 x 4 ，故定義域為2, 4。三：求函數(shù)的值域與最值求函數(shù)的值域和最值的方法十分豐富

10、，下面通過例題來探究一些常用的方法；隨著高.專業(yè)資料 .中學習的深入 ，我們將學習到更多的求函數(shù)值域與最值的方法。1 、分離變量法2x3y1的值域。例 11.求函數(shù)x2x 32 x 1 111y20解：x 1x 1x 1 ，因為 x 12。，故 y2，所以值域為 y|y說明 ：這是一個分式函數(shù) ，分子 、分母均含有自變量 x，可通過等價變形 ，讓變量只出現(xiàn)在分母中 ，再行求解 。2、配方法例 12.求函數(shù) y 2x 2 4x 的值域 。解： y 2x2 4x 2（ x2 2x 1） 2 2（ x 1） 2 22 ，故值域為 y|y 2 。說明 ：這是一個二次函數(shù) ，可通過配方的方法來求得函數(shù)的

11、值域。類似的 ，對于可以化為二次函數(shù)的函數(shù)的值域也可采用此方法求解，如 y af2（x） bf （x） c。3 、判別式法例 13.求函數(shù) yx22x3的值域。4x25x6x22x3y26 可變形為 ：（ 4y 1 ）x2（ 5y 2 ） x 6y 3 0 ，由 0 可解：4x5xy2663266371,71解得 ：。說明 ：對分子分母最高次數(shù)為二次的分式函數(shù)的值域求解，可以考慮采用此法 。 要注意兩點 ：第一，其定義域一般僅由函數(shù)式確定，題中條件不再另外給出；如果題中條件另外給出了定義域 ，那么一般情況下就不能用此法求解值域；第二，用判別式法求解函數(shù)值域的理論依據(jù)是函數(shù)的定義域為非空數(shù)集，所

12、以將原函數(shù)變形為一個關于x 的一元二次方程后 ，該方程的解集就是原函數(shù)的定義域，故 0。4 、單調性法例 14.求函數(shù) y23 ， x 4 ， 5的值域 。x2y3解：由于函數(shù)x為增函數(shù) ，故當 x 4 時， ymin 5 ；當 x 5 時， ymax 2135 ,1325。，所以函數(shù)的值域為55、換元法例 15.求函數(shù) y2x41x 的值域 。解：令 t1x0 ，則 y 2t 24t 2（ t 1 ） 2 4， t 0 ，故所求值域為.專業(yè)資料 .y|y 4。例 3. 求下列函數(shù)的值域：（ 1） y2 x1, x 1,2,3,4,5（2 ）（ 3） y1x2（ 4）1x2yx1yx 22x

13、3,( 5 x2)【題意分析】求函數(shù)的值域問題首先必須明確兩點：一是值域的概念，即對于定義域A 上的函數(shù)yf ( x ) ，其值域就是指集合Cy yf ( x ), xA；二是函數(shù)的定義域 ，對應關系是確定函數(shù)值的依據(jù)?！窘忸}過程 】（ 1）將 x1,2,3,4,5分別代入 y2x1中計算 ，得出函數(shù) 的值域為3,5,7，9,11 。（ 2 ）x0,x11，即所求函數(shù)的值域為1,) 或用換元法，令tx (t 0), yt1(t0)的值域為 1,) 。（ 3）y1x 2122 ,函數(shù)的定義域為R。1x21x1x 21,022,y(1,1。1x 2 y1x2yyx 21x 2(1y) x 21y1

14、y1x2x20,得到 y(1,1 。1y故所求函數(shù)的值域為（ 1，1。（ 4） yx22 x3( x1) 24,5x2,4 x11習題講解 ：1.定義在R上的函數(shù)f(x) 滿足 f(x)=log 2 (1x), x0，則 f（ 2009）的值為f ( x1)f (x 2), x0()A.-1B. 0C.1D. 2答案 :C.【解析】:由已知得 f (1)log 2 21 , f (0)0 ,f (1)f (0)f (1)1 ,f (2)f (1)f (0)1 , f (3)f (2)f (1)1(1)0 ,f (4)f (3)f (2)0(1)1,f (5)f (4)f (3) 1,f (6)

15、f (5)f (4)0,所以函數(shù)f(x)的值以 6 為周期重復性出現(xiàn).,所以 f（2009） = f（ 5） =1, 故選 C.專業(yè)資料 .【命題立意 】:本題考查歸納推理以及函數(shù)的周期性和對數(shù)的運算.2.設函數(shù) f ( x)x 24x6, x0f (1) 的解集是 （x6, x0則不等式 f ( x)）A(3,1)(3,)B (3,1)(2,)C(1,1)(3, )D (,3)(1,3)答案 ： A【解析】由已知 ，函數(shù)先增后減再增當 x0， f ( x)2f (1)3令 f ( x)3, 解得 x1, x3。當 x0， x63, x3 。故 f ( x)f (1)3，解得3x 1或x 3【

16、考點定位 】本試題考查分段函數(shù)的單調性問題的運用。以及一元二次不等式的求解。3.已知函數(shù)f ( x) 是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)， 且對任意實數(shù)x 都有xf ( x1)(1x) f (x) ， 則 f ( 5) 的值是 ()A.0B.1522C. 1D.21x f ( x) ，取 x答案：A【解析】若 x 0 ，則有 f ( x1)1，則有：x2f (1 )1111)1)f (1 )f (1)2f (f (（ f ( x)是偶函數(shù)，則221222f ( 1 )f ( 1 )2f ( 1)）由此得0于是，2232115 1f ( 5)f ( 3 1)2 f ( 3)5 f ( 3)5

17、f ( 1 1)12 f (1 ) 5 f ( 1 ) 0223232323221224.若 f ( x)a 是奇函數(shù) ，則 a2x11【解析】解法 1f (x)1a2xa, f (x)f (x)答案2 x112x22xa(1a)2a12x1故 a112xx112x12x22.專業(yè)資料 .5.已知函數(shù) f (x)3x ,x1,若 f (x) 2 ，則 x.x,x1,答案 log3 2 【解析 】本題主要考查分段函數(shù)和簡單的已知函數(shù)值求x 的值 .屬于基礎知識 、基本運算的考查 .x1logx1無解 ，故應填 log 3 2 .由x3 2 ，x2x3x226. 記f (x) log3 ( x1)

18、的 反 函 數(shù) 為 yf1 (x) ， 則 方 程 f1( x)8 的 解x答案 2【解法1 】由 yf ( x)log 3 ( x1) ，得 x3y 1 ，即 f1 (x)3x1 ，于是由3x 18，解得x2【解法 2 】因為 f1(x) 8，所以 xf (8)log3 (81)2三、知識要點1 、奇偶函數(shù)定義 ：（ 1）偶函數(shù) ：一般地 ，對于函數(shù) f（ x）的定義域內的任意一個x，都有 f（ x） =f（x），那么 f（x）就叫做偶函數(shù) （ 2）奇函數(shù) ：一般地 ，對于函數(shù) f（ x）的定義域內的任意一個x，都有 f（ x） = f（x），那么 f（x）就叫做奇函數(shù) 注意 ： 函數(shù)是奇函

19、數(shù)或偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質； 奇偶函數(shù)的定義域的特征：關于原點對稱 。 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個 x，則 x 也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱） 奇函數(shù)若在 x0 時有定義 ，則 f (0)02 、根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù) 、偶函數(shù) 、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù) 。3 、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關于y 軸對稱 ；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱說明 ：一般地 ，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，反過來 ，如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱 ，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖象關于

20、y 軸對稱 ，反過來 ，如果一個函數(shù)的圖象關于 y 軸對稱 ，那么這個函數(shù)是偶函數(shù) 。4 、判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：.專業(yè)資料 .首先確定函數(shù)的定義域 ，并判斷其定義域是否關于原點對稱 ；確定 f （ x）與 f（ x）的關系 ；作出相應結論：若 f（ x） = f （ x） 或 f（ x） f（ x） = 0 ，則 f （ x）是偶函數(shù) ；若 f（ x） = f（ x） 或 f （ x） f（x） = 0 ，則 f（ x）是奇函數(shù) 5 、判斷函數(shù)的奇偶性也可以用下列性質在公共定義域內，（ 1）兩個奇函數(shù)的和為奇函數(shù) ；兩個奇函數(shù)的積為偶函數(shù) （ 2）兩個偶函數(shù)的和為偶函數(shù) ；兩個偶函數(shù)的積

21、為偶函數(shù) （ 3）一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)1（ 4） 函數(shù) f （x）與 f x同奇或同偶 【典型例題 】一、判斷函數(shù)的奇偶性例 1 、判斷函數(shù)的奇偶性時易犯的錯誤（ 1）因忽視定義域的特征致錯f xx x1x1 ； f （x）= x2+ （x+1 ） 01 、fxx x1xx錯解 ：1， f （ x）是奇函數(shù) f （ x） = （ x）2+ （ x+1 ） 0= x2+ （ x+1 ） 0= f （ x） f （ x）是偶函數(shù) 分析 ：一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是定義域關于原點對稱正解 ： 定義域 （， 1）（ 1， + ） 關于原點不對稱， f （ x）是非奇非偶函數(shù) 定

22、義域 （， 1）（ 1 ， + ）， f （x）為非奇非偶函數(shù)（ 2）因缺乏變形意識或方法致錯fx1112 的奇偶性 2、判斷5x錯解 ： 5 x 10 ， x0 f （ x）的定義域為 （， 0 ）（ 0 ， + ）， 關于原點對稱 fx115x1121 5x2 ，5 x f （ x）f （ x）， f （ x）f （x）， f （ x）是非奇非偶函數(shù) 分析 ：因演變過程不到位導致錯誤，所以要注意進行恒等變形.專業(yè)資料 .f x正解 ：115 x15x1 22 5 x1 ，定義域為 （， 0）（ 0 ， + ） 關于原點對稱 f x5x11 5 x5 x1xxxf x2 512 152 51

23、 f （ x）是奇函數(shù) （ 3） 因忽視 f （ x） =0 致錯 3 、判斷函數(shù) fxx244x2的奇偶性 x240錯解 ：由 4 x20 得 x= 2， f （ x）的定義域為 2， 2，關于原點對稱 f xx 244x 2x 244 x 2f x ， f （ x）為偶函數(shù)正解 ： f （ x）的定義域為 2 ， 2，此時 ， f（ x） =0 ， f （x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 點評 ：函數(shù) f（ x） =0（ x0）是 f （ x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的一個必要條件，任何一個關于原點對稱的區(qū)間都可以作為解析式為f（ x） =0（ x0）函數(shù)的定義域 （ 4）因分段函數(shù)意義不清致錯二、函

24、數(shù)的奇偶性與單調性的關系例 3 、已知：函數(shù) yf (x) 在 R 上是奇函數(shù) ，而且在 (0,) 上是增函數(shù) ，證明 ： yf ( x) 在 (,0) 上也是增函數(shù) 。證明 ：設 x1x20 ，則 x1x20 f ( x) 在 (0,) 上是增函數(shù) 。 f ( x1 )f ( x2 ) ，又 f (x) 在R 上是奇函數(shù) 。 f ( x1 )f ( x2 ) ，即 f ( x1 )f ( x2 )所以 ， yf ( x) 在 (,0) 上也是增函數(shù) 。規(guī)律 ：偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反；奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性一致 例 4、 f ( x) 為 R 上的奇函數(shù) ，當 x0

25、 時， f ( x)2x23x1 ，當 xf （ x2 ）， 那么就說 f（x）在區(qū)間 D 上是減函數(shù) 。注意 ： 函數(shù)的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數(shù)的局部性質； 必須是對于區(qū)間D 內的任意兩個自變量x1， x2 ；當 x1 x2 時，總有 f（ x1） f（ x2）或 f（ x1） f（ x2）。2. 函數(shù)的單調性的定義如果函數(shù) y f（ x）在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù) ，那么就說函數(shù) y f（x）在這一區(qū)間具有 （嚴格的 ）單調性 ，區(qū)間 D 叫做 y f （ x）的單調區(qū)間 。3. 判斷函數(shù)單調性的方法和步驟利用定義證明函數(shù)f（ x）在給定的區(qū)間D 上的單調性的一般步驟

26、：.專業(yè)資料 . 任取 x1， x2D ，且 x1 x2 ； 作差 f （ x1 ） f（ x2 ）； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判斷差f（ x1 ） f（ x2）的正負 ）； 下結論 （即指出函數(shù)f （x）在給定的區(qū)間D 上的單調性 ）。（二）函數(shù)最大 （?。┲档亩x1. 最大值與最小值一般地 ，設函數(shù) y f（ x）的定義域為I，如果存在實數(shù)M 滿足：（ 1）對于任意的 xI，都有 f （x）M ；（ 2）存在 x0I，使得 f （ x0 ） M那么 ，稱 M 是函數(shù) y f （ x）的最大值 。一般地 ，設函數(shù) y f（ x）的定義域為I，如果存在實數(shù)M 滿足：（ 1）對于

27、任意的xI，都有 f （x）M ；（ 2）存在 x0I，使得 f （ x0 ） M那么 ，稱 M 是函數(shù) y f （ x）的最小值 。注意 ： 函數(shù)的最大 （?。┲凳紫葢撌悄骋粋€函數(shù)值，即存在 x0I，使得 f（ x0） M ； 函數(shù)的最大 （?。┲祽撌撬泻瘮?shù)值中最大（?。┑?，即對于任意的x I，都有f （x）M （ f（x）M ）。2. 利用函數(shù)的單調性判斷函數(shù)的最大（?。┲档姆椒?利用二次函數(shù)的性質 （配方法 ）求函數(shù)的最大 （小）值 利用圖象 （數(shù)形結合法 ）求函數(shù)的最大 （?。┲?利用函數(shù)的單調性判斷函數(shù)的最大 （小）值如果函數(shù)y f（ x）在區(qū)間 a， b 上單調遞增 ，在區(qū)間

28、 b ， c 上單調遞減則函數(shù)y f（x）在 x b 處有最大值f （ b ）；如果函數(shù) y f（ x）在區(qū)間 a， b 上單調遞減 ，在區(qū)間 b ， c 上單調遞增則函數(shù) y f （x）在 x b 處有最小值 f （ b ）。知識點一 ：函數(shù)的單調性與最值例 1 ：判斷函數(shù) f ( x) x4(0, 2) 上的單調性 ，并用定義證明 。在區(qū)間x1）題意分析 ：用定義證明一個分式函數(shù)在(0, 2) 上的單調性2）解題思路 ：按照用定義證明函數(shù)f（ x）在給定的區(qū)間 D 上的單調性的一般步驟去做即可 。.專業(yè)資料 .4解答過程 ： f ( x)x在區(qū)間 (0, 2) 上單調遞減 。x44設 0

29、x1x2 2 ，則 f ( x1 )f ( x2 ) x1x2x2x1 x1 x24( x2x1 ) ( x2x1 ) 4 x1x2 。x1x2x1 x2已 知 0 x1 x22 ， 所 以 x2 x10 ， 4x1x20 ， x1 x20，所以f ( x1 ) f ( x2 )0 ，即原函數(shù)在 (0, 2) 上單調遞減 。解題后的思考 ：用定義證明函數(shù)f （ x）在給定的區(qū)間D上的單調性的關鍵在于變形（通常是因式分解和配方）和定號 （即判斷差 f（x1） f （ x2 ）的正負 ）。例2 ： 已 知f (x) 是 奇 函 數(shù) ， 它 在 (0， ) 上 是 增 函 數(shù) ， 且 f ( x)0 ， 試 問1F ( x)在 ( ，0) 上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結論。f ( x)1 ）題意分析 ：本例比較抽象 ，沒有具體的解析式 。 簡單地說就是已知原函數(shù)的單調性，判斷倒函數(shù)的單調性 。2 ） 解