初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題

1、初中數(shù)學(xué)函數(shù)與圖象問題動(dòng)點(diǎn)問題函數(shù)性問題專題動(dòng)點(diǎn)問題函數(shù)及其圖象是初中數(shù)學(xué)中的主要內(nèi)容之一， 也是初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)相聯(lián)系的紐帶 它與代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等知識(shí)有著密切聯(lián)系，中考命題中既重點(diǎn)考查函數(shù)及其圖象的有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)以函數(shù)為背景的綜合性問題也是命題熱點(diǎn)之一，多數(shù)省市作壓軸題因此，在中考復(fù)習(xí)中，關(guān)注這一熱點(diǎn)顯得十分重要以函數(shù)為背景的綜合性問題往往都可歸結(jié)為動(dòng)點(diǎn)性問題，我們把它歸納為以下七種題型（附例題）一、因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的面積問題例 1：如圖 10，已知拋物線 P：y=ax2+bx+c(a 0) 與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn) (點(diǎn) A 在 x 軸的正半軸上 )，與 y 軸交于點(diǎn) C，矩形

2、 DEFG 的一條邊 DE 在線段 AB 上，頂點(diǎn) F 、 G 分別在線段 BC、 AC 上，拋物線 P 上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)如下：x- 3- 212y- 5- 4- 5022(1) 求 A、B、 C 三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 若點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (m，0)，矩形 DEFG 的面積為 S，求 S 與m 的函數(shù)關(guān)系，并指出m 的取值范圍；(3) 當(dāng)矩形 DEFG 的面積 S 取最大值時(shí)， 連接 DF 并延長至點(diǎn)M ，使 FM =kDF ，若點(diǎn) M 不在拋物線P 上，求 k 的取值范圍 .若因?yàn)闀r(shí)間不夠等方 面的原因，經(jīng)過 探索、思考仍 無法圓滿解答本題， 請(qǐng)不要輕易放棄， 試試將上述 (2)

3、、(3) 小題換為下列問題解答 ( 已知條件及第 (1) 小題與上相同， 完全正確解答只能得到 5分 )：(2) 若點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (1， 0)，求矩形 DEFG 的面積 .例 2：如圖 1，已知直線 y1x 與拋物線 y1x26 交于 A，B 兩點(diǎn)（ 1）求 A， B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；24y（ 2）求線段 AB 的垂直平分線的解析式；（ 3）如圖 2，取與線段 AB 等長的一根橡皮筋，B端點(diǎn)分別固定在 A，B 兩處用鉛筆拉著這根橡Ox皮筋使筆尖 P 在直線 AB 上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) P 將與 A， B 構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形，這些三角A形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，圖 1求出最大

4、面積，并指出此時(shí)P 點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡要說明理由圖 10yPBOxA圖 2第-1- 頁共 4 頁初中數(shù)學(xué)函數(shù)與圖象問題動(dòng)點(diǎn)問題例 3：如圖 1，矩形 ODEF 的一邊落在矩形ABCO 的一邊上，并且矩形ODEF矩形 ABCO ，其相似比為1 : 4 ，矩形 ABCO 的邊 AB=4,BC=4 3 (1)求矩形 ODEF 的面積；(2）將圖 l 中的矩形 ODEF 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 900，若旋轉(zhuǎn)過程中OF 與 OA 的夾角（圖 2 中的 FOA ）的正切的值為x，兩個(gè)矩形重疊部分的面積為y，求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式；(3)將圖1 中的矩形 ODEF 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連

5、結(jié)EC、 EA ， ACE 的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由。y二、 因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的等腰三角形問題CB例 4：如圖，拋物線 y ax25ax4 經(jīng)過 ABC 的1A三個(gè)頂點(diǎn)，已知 BC x 軸，點(diǎn) A 在 x 軸上，點(diǎn) C 在 y 軸上，且 AC0 1xBC （ 1）求拋物線的對(duì)稱軸；（ 2）寫出 A，B，C 三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；3P是拋物線對(duì)稱軸上且在x 軸下方的動(dòng)點(diǎn)，是否存在PAB 是等腰三角形若存在，求（ ）探究：若點(diǎn)出所有符合條件的點(diǎn)P 坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說明理由三、因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的直角三角形問題例 5：如圖 12， 四邊形 OABC

6、 為直角梯形， A（ 4， 0）， B（3， 4）， C（ 0，4）點(diǎn) M 從 O 出發(fā)以每秒 2 個(gè)單位長度的速度向 A 運(yùn)動(dòng)；點(diǎn) N 從 B 同時(shí)出發(fā)，以每秒 1 個(gè)單位長度的速度向C 運(yùn)動(dòng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)過點(diǎn)N 作 NP 垂直 x 軸于點(diǎn) P ，連結(jié) AC 交 NP 于 Q，連結(jié) MQ yNBC（ 1）點(diǎn)（填 M 或 N）能到達(dá)終點(diǎn)；（ 2）求 AQM 的面積 S 與運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t 的Q取值范圍，當(dāng) t 為何值時(shí)， S 的值最大；（ 3）是否存在點(diǎn) M，使得 AQM 為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M 的 OM PA x第-2- 頁

7、共 4 頁圖 12初中數(shù)學(xué)函數(shù)與圖象問題動(dòng)點(diǎn)問題坐標(biāo)，若不存在，說明理由四、 因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的相似形問題例 6：設(shè)拋物線yax2bx2 與 x 軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A( 一 1， 0)、 B(m ， 0)，與 y 軸交于點(diǎn)C. 且 ACB=90 (1)求 m 的值和拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn) D(1 ，n )在拋物線上，過點(diǎn)A 的直線 yx1 交拋物線于另一點(diǎn)E若點(diǎn) P 在 x 軸上，以點(diǎn) P、 B、 D 為頂點(diǎn)的三角形與AEB 相似，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)(3)在 (2)的條件下，BDP 的外接圓半徑等于_ 五、因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的平行四邊問題例 7：如圖，已知拋物線 C1 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是A( 4，0

8、) ，B( 2，0)， E(0，8) （ 1）求拋物線C1 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線C2 的解析式；（ 2）設(shè)拋物線C1 的頂點(diǎn)為 M ，拋物線 C2 與 x 軸分別交于C，D 兩點(diǎn)（點(diǎn)C 在點(diǎn) D 的左側(cè)），頂點(diǎn)為N ，四邊形MDNA 的面積為 S 若點(diǎn) A ，點(diǎn) D 同時(shí)以每秒1 個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)M ，點(diǎn)N 同時(shí)以每秒2 個(gè)單位的速度沿堅(jiān)直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn) A 與點(diǎn) D 重合為止求出四邊形 MDNA 的面積 S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 之間的關(guān)系式，并寫出自變量t 的取值范圍；（ 3）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 MDNA 的面積 S 有最大值，并求出此最

9、大值；（ 4）在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形 MDNA 能否形成矩形？若能，求出此時(shí) t 的值；若不能，請(qǐng)說明理由例 8、如圖，拋物線 y x22x 3 與 x 軸交 A、 B 兩點(diǎn)（ A點(diǎn)在 B點(diǎn)左側(cè)），直線l 與拋物線交于A、C 兩點(diǎn)，其中C 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2（ 1）求 A 、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線 AC 的函數(shù)表達(dá)式；（ 2）P 是線段 AC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P 點(diǎn)作 y 軸的平行線交拋 物 線于 E 點(diǎn)，求線段 PE 長度的最大值；（ 3）點(diǎn) G 拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在 x 軸上是否存在點(diǎn) F，使 A、 C、 F、 G 這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F 點(diǎn)坐標(biāo)；如

10、果不存在，請(qǐng)說明理由第-3- 頁共 4 頁初中數(shù)學(xué)函數(shù)與圖象問題動(dòng)點(diǎn)問題六、 因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的梯形問題例 9：已知，在Rt OAB 中， OAB 900， BOA 300，AB 2。若以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， OA 所在直線為x 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B 在第一象限內(nèi)。將RtOAB 沿 OB 折疊后，點(diǎn) A 落在第一象限內(nèi)的點(diǎn) C 處。y（ 1）求點(diǎn) C 的坐標(biāo)；C（ 2）若拋物線 y ax 2bx （ a 0）經(jīng)過 C、A 兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；B（ 3）若拋物線的對(duì)稱軸與OB 交于點(diǎn) D ，點(diǎn) P 為線段 DB 上一點(diǎn)，過 P 作 y 軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M。問：是否存在這

11、樣的點(diǎn) P，使得四邊形CDPM 為等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。OAx28題 圖七、 因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的線段和（差）問題例 10：如圖，點(diǎn) M（ 4，0），以點(diǎn) M 為圓心、 2 為半徑的圓與x 軸交于點(diǎn) A、B已知拋物線 y1x2bx c6過點(diǎn) A 和 B，與 y 軸交于點(diǎn)C（ 1）求點(diǎn) C 的坐標(biāo)，并畫出拋物線的大致圖象（ 2）點(diǎn) Q（ 8，m）在拋物線y1 x2 bx c 上，點(diǎn) P 為此拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PQ PB 的最6小值（ 3） CE 是過點(diǎn) C 的 M 的切線，點(diǎn)E 是切點(diǎn)，求OE 所在直線的解析式y(tǒng)CAMxODBE例 11、已知拋物線y=ax2+bx+c 與 y 軸交于點(diǎn)A(0， 3)，與 x 軸分別交于B(1， 0)、 C(5， 0)兩點(diǎn)。（ 1）求此拋物線的解析式；（ 2）若點(diǎn) D 為線段 OA 的一個(gè)三等分點(diǎn)，求直線DC 的解析式；（ 3）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P 自 OA 的中點(diǎn) M 出發(fā)，先到達(dá) x 軸上的某點(diǎn) (設(shè)為點(diǎn) E) ，再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn) ( 設(shè)為點(diǎn) F)，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A。求使點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn) F 的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長。例 12：拋物線 y=ax2+bx+c 交 x 軸于 A 、B