關于蹦極的受力分析及數(shù)學建模

1、關于蹦極的受力分析及數(shù)學建模王競楠 北京市第五中學 高一（8）班 （手指導老師 ：王紅潔（物理）、范方兵（數(shù)學）摘要本文對人在蹦極跳過程中受到的重力、拉力和空氣阻力等，分階段進行了詳細的受力分析，并根據(jù)牛頓第二定律，利用微分的理念證明了在人的質量和彈簧繩長度確定的條件下，蹦極者能夠達到的最大速度和彈簧繩最大拉伸長度是一定的（選擇不同的繩長可以獲得不同的最大速度，得到不同的刺激體驗）。 其次，分別在忽略或考慮空氣阻力影響（數(shù)據(jù)借鑒自華東師大研究生數(shù)學建模比賽題目的條件）的基礎上，探討了蹦極過程中質量，繩長和最大速度，彈簧繩最大伸長量之間的關系。利用這個模型，蹦極活動經(jīng)營

2、者可以改進服務，讓消費者可以根據(jù)自身體重選擇合適的彈簧繩長度，得到自己能夠接受的最大速度和下跳深度，讓蹦極運動成為一種可“自選式的”刺激體驗。讓更多的消費者接受。關鍵詞數(shù)學建模 matlab 蹦極 前言蹦極（bungee jumping）是從國外開始流行、傳入我國的一項運動, 由于蹦極時失重、速度與加速度帶給人感官的極度體驗, 使得這項運動深受喜歡刺激和冒險的青年的青睞。目前的蹦極塔多選在懸崖或水庫上，讓跳蹦極的人在跳下后第一次能“差一點兒”碰到水面，帶給人最大的感官刺激。雖然保證安全，但是能夠享受這樣強烈刺激的人畢竟是很少數(shù)，所以至今蹦極也還被歸類為極限運動，一定程度上限制了其推廣。本文根據(jù)

3、牛頓第二定律，對蹦極者在運動過程中受到的重力、拉力和空氣阻力等進行受力分析，找到最大速度vmax和蹦極者質量m、彈簧繩長度l之間的關系。根據(jù)分析建立起來的數(shù)學模型，可以指導蹦極經(jīng)營者對現(xiàn)有設施稍作修改，讓蹦極者可以“自選”能夠接受的最大速度和下跳深度，讓更廣大的消費者人群能夠體驗蹦極運動帶給人的刺激和樂趣。忽略空氣阻力條件下，在蹦極者下落過程中，其受力與運動情況在不同的階段下是不相同的：第一階段，彈簧繩沒有全部展開，蹦極者所受彈簧拉力為零，做自由落體運動；第二階段，彈簧繩開始被拉伸，蹦極者開始受到向上的彈力，蹦極者下落速度雖仍在增加，但加速度減小；第三階段，彈簧繩拉力和重力相等，此時加速度為零

4、，蹦極者速度達到最大值；第四階段，彈簧繩繼續(xù)被拉伸，彈力開始大于重力。蹦極者下落速度減小，直到為零時，達到最低位置。之后蹦極者會在彈力作用下回升并再次下落，經(jīng)過幾個來回后靜止下來。但最大速度和彈簧繩伸長量都不會超過初次下落。所以計算蹦極者的最大速度，就考慮初次下落即可。分析及推導一、不考慮空氣阻力時推導蹦極者的最大速度和下跳深度設蹦極繩長為l，初速度，則 蹦極繩長全部展開時人的速度為 ： 之后，人不僅受到重力，還受到繩的拉力，加速度在減小，速度仍在增加，直至加速度為0時，速度最大。 設加速度為0時，蹦極繩被拉長量l，此時 ，即 （ k=7.4408 千克/米 1) 為了求解最大速度，將平均分成

5、n小份，每一小份中，認為繩的拉力相同，人的加速度相同。 在第一小份中，認為，則， 其中為繩子第一次拉長所需的時間，對上式求解得到： 所以，繩子拉長時的速度為： 。在第二小份中，同樣認為人的加速度也相同，由，得 則， 其中為繩子第二次拉長所需的時間，對上式求解得到： 所以，繩子拉長時的速度為： 。以此類推，繩子拉長時的速度為： ，其中。就是蹦極人能夠達到的最大速度vmax。 蹦極人達到最大速度之后，繼續(xù)下落時，繩子繼續(xù)拉長，拉力大于重力，人受到的合力向上。因此蹦極人達到最大速度之后，加速度向上，速度開始下降，速度降為0時，蹦極人下落到最低點。為了求得這一最低點，仍然可以將蹦極人達到最大速度之后的

6、下落段分成若干小段，例如設每一小段為d0.01m，在每一小段內仍然認為加速度不變。與上述計算過程類似，可以依次求得每一下落小段的末速度，當末速度小于等于0時，記下此時下落了n小段，即求得蹦極人達到最大速度之后的下落距離為，從而求得蹦極人下落的最大距離為：。 綜上可見，如果人的質量、蹦極繩長、蹦極繩的彈性系數(shù)一定，蹦極人能夠達到的最大速度和下落的最大距離就一定。換言之，消費者可以根據(jù)自己的體重，選擇合適的彈簧繩長度來獲得不同的最大速度，得到不同的刺激感受。二、考慮空氣阻力時計算人的質量、繩長與能夠達到最大速度、下落最大深度的關系 根據(jù)參考資料1 提供的空氣阻力與速度的實測數(shù)據(jù)，利用圖形分析和曲線

7、擬合得到了一個經(jīng)驗公式如下：2，單位：磅英尺/秒2 ，換算成國際單位，則，單位：千克米/秒2 蹦極繩全部放開之前，人受到兩個力的作用，重力和空氣阻力，所以合力為： 空氣阻力隨速度變化而時刻變化，加速度便時刻變化。為了求得蹦極繩長全部放開時人的速度，可以將繩長l分成若干n小段，使每一小段足夠小，在這一小段中，認為人的受力相同，加速度相同，利用這一加速度，由每一小段的初始速度計算該段的末速度。以此類推得到蹦極繩長全部放開時人的速度。計算過程如下： 人的初始速度為0，加速度為g，即 ，人在開始下降的第一小段中，認為加速度不變，為g，所需時間為，則 ，求解，得，由此得人在開始下降第一小段中的末速度為：

8、 人在第二下降小段中的初速度即為：，在這一小段中加速度不變，設為，則： 所以， 設第二下降小段所需時間為，則 ，求解，得，由此得人在第二下降小段中的末速度為：人在第三下降小段中的初速度即為：，在這一小段中加速度不變，設為，則： ， 設第三下降小段所需時間為，則 ，求解，得，由此得人在第三下降小段中的末速度為： 以此類推，蹦極繩長全部放開之前的最后一小段中的初速度為：，在這一小段中加速度不變，設為，則：， 設最后下降小段所需時間為，則 ，求解，得，由此得人在最后下降小段中的末速度為： 即為蹦極繩長全部放開時人的速度。在此之后，人不僅受到重力、空氣阻力，還受到彈簧繩的拉力，加速度繼續(xù)減小，下落速度

9、仍在增加，直至加速度為0時，速度最大。再往后加速度向上，下落速度減小直至為0時，人下落到最低點。為了求得最大速度和下落最大深度，將蹦極繩全部放開后的下落段分成若干小段，例如設每一小段為d0.01m，在每一小段內認為空氣阻力和繩的拉力不變，即加速度不變。 計算繩子拉長過程中每一小段的始末速度和在這一小段中的加速度。設人體運動速度向下時為正，反彈后向上為負。與上述計算過程類似，可以依次求得每一下落小段的加速度，當加速度小于等于0時，記下此時的速度，即為最大速度v max。依次求得每一下落小段的末速度，當末速度小于等于0時，記下此時下落了q小段，即求得蹦極人下落的最大距離為：。 結論基于上述推算出來

10、的數(shù)學模型，借助matlab3 仿真工具軟件，得到如下的圖形：圖1 蹦極者重量、繩長與最大速度的關系圖2 蹦極者重量、繩長與最大下落深度的關系圖3 不同繩長時蹦極者重量與最大下落深度的關系圖4 不同繩長時蹦極者重量與最大速度的關系圖5 不同蹦極者重量時繩長與最大下落深度的關系 圖6 不同蹦極者重量時繩長與最大速度的關系由圖可見，在本文現(xiàn)有的數(shù)據(jù)條件下，空氣阻力對蹦極跳分析的影響不大（如果考慮蹦極者在下落過程中的翻滾等變化因素，空氣阻力對本模型的影響可能會更加復雜些）。一位蹦極者在蹦極過程中能夠獲得的最大速度、下落的最大深度和其本人體重以及彈簧繩長度成一個近似線性的關系。如果希望得到不同的刺激體驗，只需要準備不同長度的彈簧繩即可。而這一點可以通過在做準備工作時，限制彈簧繩可拉伸的長度段實現(xiàn)。因此不需要對現(xiàn)有