2019-2020版高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習(xí)課 第4課時(shí) 利用向量解決平行與垂直、夾角問(wèn)題課件 新人教A版選修2-1

1、-1- 第4課時(shí)利用向量解決平行與垂直、 夾角問(wèn)題 課前篇基礎(chǔ)梳理 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理 課前篇基礎(chǔ)梳理 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理 課前篇基礎(chǔ)梳理 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理 1.空間向量的有關(guān)概念 課前篇基礎(chǔ)梳理 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理 2.空間向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律 (2)運(yùn)算律:a.加法交換律:a+b=b+a; b.加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c); c.數(shù)乘分配律:(a+b)=a+b. 課前篇基礎(chǔ)梳理 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理 3.空間向量的有關(guān)定理 課前篇基礎(chǔ)梳理 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理 4.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 (1)數(shù)量積及相關(guān)概念 兩向量的夾角 兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個(gè)非零向量a,b,則|a|b|co

2、s叫做向量a,b的數(shù) 量積,記作ab,即ab=|a|b|cos. (2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 結(jié)合律:(a)b=(ab); 交換律:ab=ba; 分配律:a(b+c)=ab+ac. 課前篇基礎(chǔ)梳理 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理 5.向量的坐標(biāo)運(yùn)算 課前篇基礎(chǔ)梳理 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)梳理 b.如圖,n1,n2分別是二面角-l-的兩個(gè)半平面,的法向量, 則二面角的大小滿足cos =cos或-cos. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 專題一空間向量概念及運(yùn)算 (2)求向量a與向量b的夾角的余弦值; (3)若ka+b與ka-2b互相垂直,求實(shí)數(shù)k的值. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) (2)a=(1,1,0),b

3、=(-1,0,2), ab=(1,1,0)(-1,0,2)=-1. (3)法一:ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b與ka-2b互相垂 直,(k-1,k,2)(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 反思感悟數(shù)量積的應(yīng)用 (1)求夾角:設(shè)向量a,b所成的角為,則cos = ,進(jìn)而可求兩異 面直線所成的角. (2)求長(zhǎng)度(距離):運(yùn)用公式|a|2=aa,可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題. (3)解決垂直問(wèn)題:利用abab=0(a0,b0),可將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化 為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題. 課堂篇

4、專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 跟蹤訓(xùn)練1已知空間向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0). (1)若(ka-b)b,則k=. (2)若|a+b|= ,且0,則的值為. 解析(1)因?yàn)?ka-b)b,所以(ka-b)b=0, 即kab-|b|2=0, 因此-k-17=0,解得k=-17. (2)因?yàn)閍=(0,-1,1),b=(4,1,0), 所以a+b=(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-,). 因?yàn)閨a+b|= ,所以42+(1-)2+2=29, 整理得2-6=0,解得=3或=-2, 又因?yàn)?,故=3. 答案(1)-17(2)3 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 專題二利用空間向量證

5、明位置關(guān)系 例2 如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,ABC=90,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分別為CC1,B1C1,A1C1的 中點(diǎn),EF與B1D相交于點(diǎn)H. 求證:(1)B1D平面ABD; (2)平面EGF平面ABD. 思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合線面垂直,面 面平行的判定定理進(jìn)行證明. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 證明(1)如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)A1(a,0,0), 則B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G 課堂篇專題整合 專題歸納高

6、考體驗(yàn) 反思感悟向量法證明空間中的位置關(guān)系 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 跟蹤訓(xùn)練2如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形, 側(cè)棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EFPB于點(diǎn)F. 求證:(1)PA平面EDB; (2)平面PBD平面EFD. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 證明以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 所在的方向?yàn)閤,y,z軸建立空 間直角坐標(biāo)系D-xyz(如圖所示).設(shè)DC=a. (1)連接AC,交BD于G,連接EG. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 由已知EFPB,且EFDE=E, 所以PB平面EFD.又因?yàn)镻B平面PBD, 所以平面PBD平面EFD. 課堂

7、篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 專題三利用空間向量求空間角 例3 (2018全國(guó)高考)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為 AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且 PFBF. (1)證明:平面PEF平面ABFD; (2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值. 解(1)由已知可得,BFPF,BFEF, 所以BF平面PEF. 又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) (2)作PHEF,垂足為H.由(1)得,PH平面ABFD. 以H為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)閥軸正方向,| |為單位長(zhǎng),建立如 圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz. 課

8、堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 反思感悟向量法求解空間角 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 跟蹤訓(xùn)練3如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱BB1的中點(diǎn). (1)求直線A1M與平面AMC1所成角的正弦值. (2)求二面角A-MC1-A1的余弦值. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 解以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC,BA,BB1所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立 空間直角坐標(biāo)系, 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 考點(diǎn)一空間向量及其運(yùn)算 1.(2018全國(guó)高考)已知向量a,b滿足|a|=1,ab=-1,則a(2a-b)=( ) A.4B.3C.2D.0 解析a

9、(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3. 答案B 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 考點(diǎn)二利用空間向量求空間角 A.30B.45 C.60D.120 答案A 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 3.(2019全國(guó)高考)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱 形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn). (1)證明:MN平面C1DE; (2)求二面角A-MA1-N的正弦值. 解(1)連接B1C,ME. 因?yàn)镸,E分別為BB1,BC的中點(diǎn), 所以MEB1C,且ME= B1C. 又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn),所以ND= A1D. 由題設(shè)知A1B1DC

10、,可得B1CA1D, 故MEND, 因此四邊形MNDE為平行四邊形,MNED. 又MN平面EDC1,所以MN平面C1DE. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) (2)由已知可得DEDA. 以D為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直 角坐標(biāo)系D-xyz, 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 4.(2017課標(biāo)高考)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形 且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90,E是PD的 中點(diǎn). (1)證明:直線CE平面PAB; (2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45,求二面角M

11、- AB-D的余弦值. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 解(1)取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF. 因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),所以EFAD,EF= AD. 由BAD=ABC=90得BCAD, 又BC= AD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊 形,CEBF, 又BF平面PAB,CE平面PAB, 故CE平面PAB. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45, 而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量, 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 5.(2019全國(guó)高考)圖1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC組成 的一個(gè)平面圖形,其中A

12、B=1,BE=BF=2,FBC=60.將其沿AB,BC折 起使得BE與BF重合,連結(jié)DG,如圖2. (1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC平面BCGE; (2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) (1)證明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG, 故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,D四點(diǎn)共面. 由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE. 又因?yàn)锳B平面ABC, 所以平面ABC平面BCGE. (2)解作EHBC,垂足為H. 因?yàn)镋H平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH平面ABC. 由已知,菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2,EB

13、C=60,可求得 以H為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)閤軸的正方向,建立如圖所示的空 間直角坐標(biāo)系H-xyz, 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 6.(2018全國(guó)高考)如圖,在三棱錐P-ABC 中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn). (1)證明:PO平面ABC; (2)若點(diǎn)M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30,求PC與平面PAM所成 角的正弦值. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 解(1)因?yàn)锳P=CP=AC=4,O為AC的中點(diǎn),所以O(shè)PAC,且 由OP2+OB2=PB2知POOB. 由OPOB,OPAC知PO平面ABC. (2)如圖,

14、以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角 坐標(biāo)系O-xyz. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 7.(2018北京高考)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面 ABC,D,E,F,G分別為AA1,AC,A1C1,BB1的中 點(diǎn),AB=BC= ,AC=AA1=2. (1)求證:AC平面BEF; (2)求二面角B-CD-C1的余弦值; (3)證明:直線FG與平面BCD相交. (1)證明在三棱柱ABC-A1B1C1中, CC1平面ABC, 四邊形A1ACC1為矩形. 又E,F分別為AC,A1C1的中點(diǎn), ACEF

15、.AB=BC, ACBE,AC平面BEF. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) (2)解由(1)知ACEF,ACBE,EFCC1. CC1平面ABC,EF平面ABC. BE平面ABC,EFBE. 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 考點(diǎn)三利用空間向量解決綜合問(wèn)題 8.(2018天津高考)如圖,ADBC且AD=2BC,ADCD,EGAD且 EG=AD,CDFG且CD=2FG,DG平面ABCD,DA=DC=DG=2. (1)若M為CF的中點(diǎn),N為EG的中點(diǎn),求證:MN平面CDE; (2)求二面角E-BC-F的正弦值; (3)若點(diǎn)P在線段DG上,且直線BP與平面ADGE所成的角為60,求線 段DP的長(zhǎng). 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) 9.(2019北京高考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面 ABCD,ADCD,ADBC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點(diǎn),點(diǎn)F 在PC上,且 . (1)求證:CD平面PAD; (2)求二面角F-AE-P的余弦值; (3)設(shè)點(diǎn)G在PB上,且 ,判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi),說(shuō)明理 由. 課堂篇專題整合 專題歸納高考體驗(yàn) (1)證明因?yàn)镻A平面ABCD,所以PAC