高考文科數(shù)學函數(shù)專題講解及高考真題精選(含問題詳解)

1、實用標準文案函 數(shù)【 1.2.1 】函數(shù)的概念（ 1）函數(shù)的概念設 A 、 B 是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應法則f ，對于集合 A 中任何一個數(shù)x ，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù)f ( x) 和它對應，那么這樣的對應（包括集合A ， B 以及 A 到 B 的對應法則f ）叫做集合 A 到 B 的一個函數(shù)，記作f : AB 函數(shù)的三要素: 定義域、值域和對應法則只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)（ 2）區(qū)間的概念及表示法設 a, b 是兩個實數(shù)， 且 ab ，滿足 axb 的實數(shù) x 的集合叫做閉區(qū)間， 記做 a,b ；滿足 axb的實數(shù) x的集合叫做開區(qū)間，記做(a

2、, b) ；滿足 axb ，或 axb 的實數(shù) x 的集合叫做半開半閉區(qū) 間 ， 分 別 記 做 a, b) ， (a, b ； 滿 足 xa, xa, xb, xb 的 實 數(shù) x 的 集 合 分 別 記 做 a,),( a,),(,b,(,b) 注意： 對于集合 x | axb 與區(qū)間 (a,b) ，前者 a 可以大于或等于b ，而后者必須ab （ 3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則： f ( x) 是整式時，定義域是全體實數(shù) f ( x) 是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù) f ( x) 是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指

3、數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1 y tan x 中， x k(k Z) 2零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零若 f ( x) 是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f ( x) 的定義域為 a, b ，其復合函數(shù) f g( x) 的定義域應由不等式 a g( x)b 解出對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義（ 4）求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同

4、的事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲狄虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法：文檔大全實用標準文案觀察法：利用常見函數(shù)的值域來求一次函數(shù) y=ax+b(a0) 的定義域為 R，值域為 R；反比例函數(shù) yk ( k0)的定義域為 x|x0 ，值域為 y|y0 ；x二次函數(shù)2) ；( )ax2bx(a0)的定義域為 R，當 a0 時，值域為 y | y(4ac bf xc4a當 a0 時，值域為 y | y( 4acb 2 ) 4a配方法：判別式法：若函數(shù)yf ( x) 可以化成一個系數(shù)含有y 的關(guān)于 x 的二次

5、 a( y)x2b( y)x c( y) 0 ，則在 a( y)0 時，由于 x, y 為實數(shù)， 故必須有b2 ( y) 4a( y)c( y)0 ，從而確定函數(shù)的值域或最值不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值轉(zhuǎn)化成型如：yxk (k0) ，利用平均值x不等式公式來求值域；換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調(diào)性法【 1.2.2 】函數(shù)的表示法（ 5）函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用

6、的有解析法、列表法、圖象法三種解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關(guān)系列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關(guān)系圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關(guān)系（ 6）映射的概念設 A 、 B 是兩個集合，如果按照某種對應法則f ，對于集合 A 中任何一個元素，在集合B 中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應 （包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的對應法則 f ）叫做集合 A 到 B的映射，記作f : AB 給定一個集合A 到集合 B 的映射， 且 a A, bB 如果元素 a 和元素 b 對應，那么我們把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象（ 7）

7、求函數(shù)解析式的題型有：1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法； 2）已知 f ( x) 求 f g(x) 或已知f g( x) 求 f ( x) ：換元法、配湊法； 3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；4） f ( x) 滿足某個等式，這個等式除f (x) 外還有其他未知量，需構(gòu)造另個等式解方程組法；5）應用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等文檔大全實用標準文案 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)【 1.3.1 】單調(diào)性與最大（小）值（ 1）函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象如果對于屬于定義域I 內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個yy=f(X)f(x2 )自變量的值121x 、x, 當 xx2 時，都

8、有 f(x1)f(x2) ，f(x1 )那么就說f(x)在這個區(qū)ox1x2x間上是 增函數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性如果對于屬于定義域I 內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個yy=f(X)自變量的值 x 、x ，當 xf(x2) ，2)f(x那么就說f(x)在這個區(qū)ox 1x 2x間上是 減函數(shù) 判定方法（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（ 3）利用函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖象上升為增）（ 4）利用復合函數(shù)（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（ 3）利用函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖象下降為減）（ 4）利用復合函數(shù)在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)

9、減去一個增函數(shù)為減函數(shù)對于復合函數(shù)yf g( x) ，令 ug( x) ，若 yf (u) 為增， ug (x) 為增， 則 yf g ( x) 為增；若 yf (u) 為減， ug( x) 為減，則yf g( x) 為增；若yf (u) 為增，ug(x) 為減，則yyf g ( x) 為減；若yf (u) 為減， ug(x) 為增，則 yf g ( x) 為減（ 2）打“”函數(shù)f (x)xa ( a 0) 的圖象與性質(zhì)xf ( x) 分別在 (,a 、 a,) 上為增函數(shù)，分別在 a ,0)、 (0,a 上為減函數(shù)ox（ 3）最大（?。┲刀x一般地，設函數(shù)yf ( x) 的定義域為 I ，如

10、果存在實數(shù)M 滿足：（ 1）對于任意的 xI ，都有f ( x)M ；（ 2）存在 x0I ，使得f (x0 )M 那么，我們稱M 是函數(shù)f ( x)的最大值，記作f max ( x)M 一般地，設函數(shù)yf (x) 的定義域為I ，如果存在實數(shù)m 滿足：（ 1）對于任意的xI ，都有文檔大全實用標準文案f (x)m ；（2）存在 x0I ，使得 f ( x0 )m 那么，我們稱 m是函數(shù) f (x) 的最小值，記作 fmax (x)m 1（ 4）證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法:定義法：設x1, x2A且 x1x2 ；作差 f ( x1 )f ( x2 ) ，判斷正負號用導數(shù)證明：若 f ( x) 在

11、某個區(qū)間A 內(nèi)有導數(shù)，則f ( x)0，（ xA)f (x) 在 A 內(nèi)為增函數(shù)；f ( x)0，（ xA)f (x) 在 A 內(nèi)為減函數(shù)（ 5）求單調(diào)區(qū)間的方法：定義法、導數(shù)法、圖象法（ 6）復合函數(shù) y f g(x) 在公共定義域上的單調(diào)性：若 f 與 g 的單調(diào)性相同，則f g( x) 為增函數(shù)；若f 與 g 的單調(diào)性相反，則f g(x) 為減函數(shù)注意：先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集（ 7）一些有用的結(jié)論：奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)f ( x)增函數(shù)f ( x)增函數(shù) g(x)減函數(shù) g(x)是增函數(shù)；減函數(shù)f ( x)

12、是增函數(shù)；減函數(shù)f ( x)減函數(shù) g( x)增函數(shù) g( x)是減函數(shù)；是減函數(shù)函數(shù) y axb (a 0,b0) 在,b或b ,上單調(diào)遞增；在b ,0 或0， b上xaaaa是單調(diào)遞減【 1.3.2】奇偶性定義及判定方法函數(shù)的定義圖象判定方法性 質(zhì)如果對于函數(shù)f(x)定義（ 1）利用定義（要域內(nèi)任意一個x ，都有先判斷定義域是否f( x)= f(x) , 那么函關(guān)于原點對稱）（ 2）利用圖象（圖數(shù) f(x) 叫做奇函數(shù) 象關(guān)于原點對稱）函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義（ 1）利用定義（要域內(nèi)任意一個x ，都有先判斷定義域是否f( x)= f(x),那么函數(shù)關(guān)于原點對稱）（ 2）利用圖象

13、（圖f(x) 叫做 偶函數(shù) 象關(guān)于 y 軸對稱）文檔大全實用標準文案若奇函數(shù) f ( x) 的定義域包含 0 ，則 f (0)0 f (x) 為偶函數(shù)f (x)f (| x |)奇函數(shù)在 y 軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y 軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內(nèi)， 奇 +奇 =奇，奇 奇 =偶，偶 +偶=偶，偶偶 =偶，奇 偶 =奇判斷函數(shù)的奇偶性有時可以用定義的等價形式：f ( x)f (x)0 ， f ( x)1f (x)函數(shù)周期性定義：若 T 為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使 f ( xT )f ( x) 恒成立，則f(x) 叫做周期函數(shù)， T叫做這個函數(shù)的一個周期補充

14、知識函數(shù)的圖象（ 1）作圖利用描點法作圖：確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；畫出函數(shù)的圖象利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象平移變換yf (x)伸縮變換h 0,左移 h個單位y f (x h) y f (x)k 0,上移 k個單位y f ( x) kh 0,右移 | h|個單位k 0,下移 | k|個單位yf (x)對稱變換01,伸y f ( x)y f ( x)0A1,縮y Af ( x)1,縮A 1,伸y f (x) y f (x)x軸原點yf ( x)yf()

15、y軸f(x)xyyf ( x)yf ( x)直線 y xyf1( x)y f (x)去掉 y軸左邊圖象yf (| x |)保留 y軸右邊圖象，并作其關(guān)于 y軸對稱圖象y f ( x)保留 x軸上方圖象y | f (x) |將 x軸下方圖象翻折上去x軸y軸直線 x a y=f(x)y=f(x); y=f(x)y=f( x); y=f(x)y=f(2a x); y=f(x)直線 y xy=f 1(x);原點 y=f(x)y=f( x)（ 2）識圖對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系（ 3）

16、用圖文檔大全實用標準文案函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法第二章基本初等函數(shù)( ) 2.1 指數(shù)函數(shù)【 2.1.1 】指數(shù)與指數(shù)冪的運算（ 1）根式的概念如果 xna, aR, x R, n1，且 nN ，那么 x 叫做 a的 n 次方根 當 n 是奇數(shù)時， a 的n 次方根用符號 na 表示；當 n 是偶數(shù)時，正數(shù) a 的正的 n 次方根用符號n a 表示，負的 n次方根用符號n a表示； 0 的 n 次方根是0；負數(shù) a 沒有 n 次方根式子 na 叫做根式， 這里 n 叫做根指數(shù)，

17、a 叫做被開方數(shù) 當 n 為奇數(shù)時， a 為任意實數(shù)； 當 n 為偶數(shù)時， a0 根 式 的 性 質(zhì) ： ( n a )na ； 當 n 為 奇 數(shù) 時 ， n ana ； 當 n 為 偶 數(shù) 時 ，n an | a |a(a0)a(a0)（ 2）分數(shù)指數(shù)冪的概念mn am (a正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：a n0, m,nN , 且 n1) 0 的正分數(shù)指數(shù)冪等于 0mmn ( 1 )m (a正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：a n( 1 ) n0, m, nN , 且 n 1) 0 的負分數(shù)指數(shù)冪沒aa有意義注意口訣： 底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)（ 3）分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) ar asar s(

18、a0, r , s R) (ar ) sars ( a 0, r , s R) (ab )rar br (a0,b 0, r R)【 2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（ 4）指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù) yax ( a0 且 a1) 叫做指數(shù)函數(shù)圖象a10a1文檔大全實用標準文案yy axyy a xy 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定義域R值域(0, )過定點圖象過定點(0,1) ，即當 x0 時， y 1奇偶性非奇非偶單調(diào)性在 R 上是增函數(shù)在 R上是減函數(shù)ax1 ( x 0)a x1 ( x 0)函數(shù)值的ax1 ( x 0)a x1 ( x 0)變化情況axa x1 (x 0)1

19、( x 0)a 變化對 圖象的影響在第一象限內(nèi)，a 越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a 越大圖象越低 2.2 對數(shù)函數(shù)【 2.2.1 】對數(shù)與對數(shù)運算（ 1）對數(shù)的定義若 axN (a 0,且 a1) ，則 x 叫做以 a 為底 N 的對數(shù)，記作 xloga N ，其中 a 叫做底數(shù)， N 叫做真數(shù)負數(shù)和零沒有對數(shù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x log a Na xN (a 0, a1,N0) （ 2）幾個重要的對數(shù)恒等式loga 10 ， log a a1， log a abb （ 3）常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)： lg N ，即 log 10N ；自然對數(shù)： ln N ，即 log e N （其中

20、e2.71828 ）（ 4）對數(shù)的運算性質(zhì)如果 a0, a1, M0, N0 ，那么加法： log a Mlog a Nlog a (MN )減法： log a Mlog aN log aMN數(shù)乘： n log a Mlog a M n (nR) alog a NN文檔大全實用標準文案 logbMnn loga M(b0,n)log a Nlog b NabR換底公式：(b 0,且 b 1)log b a【 2.2.2 】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（ 5）對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù) y loga x(a0 且 a1) 叫做對數(shù)函數(shù)a10a 1x1x1yy log a xyy log a x圖象(1

21、,0)O(1,0)xOx定義域(0, )值域R過定點圖象過定點 (1,0) ，即當 x 1時， y0 奇偶性非奇非偶單調(diào)性在 (0,) 上是增函數(shù)在 (0,) 上是減函數(shù)log a x0(x1)log ax0(x1)函數(shù)值的log a x0(x1)log ax0( x1)變化情況log a x0(0x 1)log ax0(0x 1)a 變化對 圖象的影響在第一象限內(nèi)， a 越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a 越大圖象越靠高(6) 反函數(shù)的概念設函數(shù) yf (x) 的定義域為 A ，值域為 C ，從式子 yf (x) 中解出 x ，得式子 x( y) 如果對于 y 在 C 中的任何一個值，通過式子

22、x( y) ， x 在 A 中都有唯一確定的值和它對應，那么式子x( y) 表示 x 是 y 的函數(shù)，函數(shù) x( y) 叫做函數(shù) yf ( x) 的反函數(shù)，記作xf1 ( y) ，習慣上改寫成 y f 1( x) （ 7）反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式y(tǒng)f ( x) 中反解出 xf1 ( y) ；文檔大全實用標準文案將 xf 1 ( y) 改寫成 yf 1 ( x) ，并注明反函數(shù)的定義域（ 8）反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù) yf ( x) 與反函數(shù) yf 1 (x) 的圖象關(guān)于直線y x 對稱函數(shù) yf ( x) 的定義域、值域分別是其反函數(shù)y f1( x) 的值域、定義域

23、若 P(a, b) 在原函數(shù) yf ( x) 的圖象上，則P (b, a) 在反函數(shù) yf 1 (x) 的圖象上一般地，函數(shù) y f ( x) 要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù) 2.3 冪函數(shù)（ 1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)yx 叫做冪函數(shù)，其中x 為自變量，是常數(shù)（ 2）冪函數(shù)的圖象（ 3）冪函數(shù)的性質(zhì) 圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限 ( 圖象關(guān)于 y 軸對稱 ) ；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限( 圖象關(guān)于原點對稱 ) ；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限過定點：所有的冪函數(shù)在 (0,) 都有定義，并且圖象都通過點(1

24、,1)單調(diào)性：如果0 ，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在0,) 上為增函數(shù)如果0，則冪函數(shù)的圖象在 (0,) 上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x 軸與 y 軸奇偶性：當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)當q（其中 p, q 互p文檔大全實用標準文案qq質(zhì)， p 和 qZ ），若 p 為奇數(shù) q 為奇數(shù)時，則yx p 是奇函數(shù)，若p 為奇數(shù) q 為偶數(shù)時，則 y x p 是偶q函數(shù)，若 p 為偶數(shù) q 為奇數(shù)時，則 yx p 是非奇非偶函數(shù)圖象特征：冪函數(shù)y x , x(0,) ，當1 時，若0 x 1，其圖象在直線yx 下方，若 x 1 ，其圖象在直線yx上方，當10x1y

25、 x上方，若x1，其圖象在直線時，若，其圖象在直線y x 下方補充知識二次函數(shù)（ 1）二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f (x)ax2bxc(a0) 頂點式：f ( x)a(xh)2k( a0) 兩根式：f (x)a( xx1 )( xx2 )(a0) （ 2）求二次函數(shù)解析式的方法已知三個點坐標時，宜用一般式已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時，常使用頂點式若已知拋物線與x 軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求f ( x) 更方便（ 3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù) f (x)ax2bxc(a0) 的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為xb, 頂點坐標是2a(b , 4a

26、c b2) 2a4a當 a0 時，拋物線開口向上，函數(shù)在 (,b 上遞減，在 b ,) 上遞增，當 xb 時，2a2a2af min (x)4acb2；當 a0 時，拋物線開口向下，函數(shù)在( ,b 上遞增，在 b ,) 上遞減，4a2a2a當 xb4ac b2時， f max ( x)4a2a二次函數(shù) f (x)ax2bxc(a0) 當b24ac0 時，圖象與 x 軸有兩個交點M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | | x1x2|a|（ 4）一元二次方程2c0(a0) 根的分布ax bx一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達定理）的運用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布文檔大全實用標準文案2bx c0(a0)的兩實根為 x1, x2 ，且 x1x2 令 f (x) ax2設一元二次方程 axbx c ，從以下四個方面來分析此類問題：開口方向：a 對稱軸位置： xb端點函數(shù)判別式：2a值符號（ 5）二次函數(shù) f ( x)ax2bxc(a0) 在閉區(qū)間 p, q 上的最值1設 f (x) 在區(qū)間 p, q 上的 最大值為 M ，最小值為m，令 x0( pq) 2（）當 a0