理論力學-動力學：d-ch6 剛體動力學(二)A

1、第六章第六章- -剛體動力學剛體動力學( (二二) ) 剛體的定點運動與一般運動剛體的定點運動與一般運動 作業(yè)：思考題作業(yè)：思考題6-16-1、6-36-3，習題，習題6-16-1 2021-5-41 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 問題：問題：什么是剛體的定點運動什么是剛體的定點運動? 2021-5-42 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 剛體定點運動剛體定點運動( fixed-point motion of rigid body)： 若剛體在運動過程中其上或其延展體上有一點保持不動。若剛體在運動過程中其上或其延展體上有一點保持不動。 則稱剛體作

2、定點運動則稱剛體作定點運動 問題：問題：用什么方法分析和研究剛體的定點運動？用什么方法分析和研究剛體的定點運動？ 2021-5-43 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 一、剛體定點運動的運動學方程一、剛體定點運動的運動學方程 x y z x o z y Oxyz為固定參考系為固定參考系 Oxyz為固連在剛體上的隨體參考系為固連在剛體上的隨體參考系 問題：問題：1：定點運動剛體有幾個自由度？定點運動剛體有幾個自由度？ 2：如何描述剛體的定點運動？如何描述剛體的定點運動？ 用隨體參考系相對固定參考系位用隨體參考系相對固定參考系位 置的變化來描述剛體的定點運動。置的變化來描述剛

3、體的定點運動。 2021-5-44 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 用歐拉角描述定點運動剛體的位置用歐拉角描述定點運動剛體的位置 123 ( )( )( )f tf tf t 2021-5-45 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 x y z x y z 進動角進動角 (angle of precession) x y z x y z 章動角章動角 (angle nutation) x y z x y z N 自旋角自旋角 (spin angle) x y z x y z 歐拉角歐拉角 (Euler angle) 節(jié)線節(jié)線 kkN N 歐拉角：歐拉角

4、：繞繞z軸、軸、z軸和節(jié)線軸和節(jié)線N 的三個轉角的三個轉角 2021-5-46 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 )()()( 321 tftftf運動方程：運動方程： 2021-5-47 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 x y z z 例題：例題：試用歐拉角確定陀螺的位置試用歐拉角確定陀螺的位置 x y z x y z N 歐拉角歐拉角 節(jié)線節(jié)線 節(jié)線節(jié)線 確定歐拉角的三個轉軸確定歐拉角的三個轉軸 kkN 2021-5-48 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 例題：例題：試用歐拉角確定碾盤的位置試用歐拉角確定碾盤的位置 節(jié)線

5、節(jié)線 x y z x y z N 歐拉角歐拉角 x y z z 2021-5-49 6 61 1 剛體定點運動的運動剛體定點運動的運動 學學 神州飛船神州飛船 z 節(jié)線節(jié)線 繞三個軸的轉角為歐拉角繞三個軸的轉角為歐拉角 z 例：例：試用歐拉角確定飛船的姿態(tài)試用歐拉角確定飛船的姿態(tài) 2021-5-410 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 思考題：思考題：試用歐拉角確定汽車的姿態(tài)。試用歐拉角確定汽車的姿態(tài)。 2021-5-411 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 x y z P O x y z x y z P O x y z 問題：問題：當定點運動剛體運

6、動時，如何研究其上當定點運動剛體運動時，如何研究其上 P點的隨體坐標點的隨體坐標 x、y、z 與定坐標與定坐標x、y、z間的關系。間的關系。 設正方體棱長為設正方體棱長為L kjirLLL kjirLLL kjirLLL kjirLLL kjirzyxkjirzyx 當剛體繞當剛體繞 z 軸轉軸轉-900后：后： 2021-5-412 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 問題：問題：如何用歐拉角確定定點運動剛體上某一點在空間的位置如何用歐拉角確定定點運動剛體上某一點在空間的位置 x y z x o z y r kjirzyx kjirzyx x y z x y z N ,

7、, zyx給定：給定： 如何確定：如何確定：xyx, 2021-5-413 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 x y z 1 x 1 y 1 z 進動角進動角 100 0cossin 0sincos 111 111 111 zyxz zyxy zyxx x y z 1 x 1 y 1 z 1 1 1 )( z y x z y x A 100 0cossin 0sincos )( A 正交矩陣正交矩陣 x y 1 x 1 y P 2021-5-414 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 x y z 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 2 y 2 z

8、)( cossin0 sincos0 001 2 2 2 1 1 1 A z y x z y x x y z 1 x 2 y 2 z 2 x 1 y 1 z 2021-5-415 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 x y 1 zz 1 x 2 y 2 z 2 x 1 y x y z x y z 1 x 1 y 2 y 2 x 2 z 2 x x 2 y y )( 100 0cossin 0sincos 2 2 2 A z y x z y x 2021-5-416 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 )()()( z y x z y x AAA ) 1

9、( ),( z y x z y x A x y z x y z 1 x 1 y 2 y 2 x 2 z )()()(),(AAAA 式式(1)給出了定點運動剛體上某一點在空間的位置與歐拉角的關系給出了定點運動剛體上某一點在空間的位置與歐拉角的關系. 2021-5-417 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 二、剛體定點運動的有限位移和無限小位移二、剛體定點運動的有限位移和無限小位移 1、剛體定點運動的有限位移、剛體定點運動的有限位移 有限位移：有限位移：定點運動剛體從某定點運動剛體從某 一位置到另一位置的變化一位置到另一位置的變化 x y z 問題：問題：定點運動剛體的有限

10、位移的順序是否可交換？定點運動剛體的有限位移的順序是否可交換？ )90()90( : 00 jiA )90()90( : 00 ijB 1 r 2 r 1 r 2 r21 :rrA 12 :rrB x y z o x y z o 點位移的性質：點位移的性質： 2021-5-418 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 x y z x y z x y z x y z x y z x y z )90()90( : 00 ijB 結論：結論：定點運動剛體有限位移的順序定點運動剛體有限位移的順序不可交換不可交換 )90()90( : 00 jiA 2021-5-419 6 61 1

11、剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 2、剛體定點運動的位移定理（達、剛體定點運動的位移定理（達-歐歐 定理）定理） x y z x y z 0 90 x y z 0 180 定理：定理：定點運動剛體的任意有限位定點運動剛體的任意有限位 移，可以繞通過固定點移，可以繞通過固定點O 的某一軸的某一軸 經過一次轉動來實現(xiàn)經過一次轉動來實現(xiàn)。 0 180 )180()90( : 00 jiA)180( : 0 lB l O 2021-5-420 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 x y z x y z 0 90 x y z 0 90 例題：例題：將定點運動的板從位置將定點運

12、動的板從位置(A)轉動到位置轉動到位置(B), (1):通過兩次轉動實現(xiàn)通過兩次轉動實現(xiàn); x y z (A) (B) (2)通過一次轉動實現(xiàn)通過一次轉動實現(xiàn) 正方體 問題：問題：一次轉動軸的方位與轉角如何確定一次轉動軸的方位與轉角如何確定 )90()90( :1 00 ik)90()90( :2 00 kj2021-5-421 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 1 1 1 100 0)90cos()90sin( 0)90sin()90cos( 1 1 1 00 00 1 1 1 )90cos()90sin(0 )90sin()90cos(0 001 1 1 1 00 0

13、0 0122 qAAq x y z 0 90 0 q 1 A 1 q 1 q 2 A 2 q 12A AA 02 Aqq x y z P O x y z 0 90 O P 2021-5-422 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 0 0 0 2 2 2 z y x z y x A 0 0 0 001 100 010 z y x 1 Aqq 1 ,1 ,1 T q )1tr( 2 1 arccosA x y z A x y z 02 Aqq 1 1 1 001 100 010 1 1 1 0 120 2021-5-423 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學

14、 3、剛體定點運動的無限小位移、剛體定點運動的無限小位移 問題：問題：在什么條件下，轉動位移的順序可交換在什么條件下，轉動位移的順序可交換 1cos,sin1 10 1 01 ),( A )()()(),( AAAA可交換可交換 結論：結論：定點運動剛體無限小位移的順序定點運動剛體無限小位移的順序可交換可交換 )()()(),(AAAA x y z x y z N 2021-5-424 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 r o k r k rr 問題：問題：如何確定定點運動剛如何確定定點運動剛 體繞某軸的無限小轉角與剛體繞某軸的無限小轉角與剛 體上點的位移的關系？體上點的

15、位移的關系？ lS l |r S x y z x o z y r 2021-5-425 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 r 1 r 2 r 1 2 1 r 2 r rr1 1 rrrrr 11 1 122 rr r 21 rrr 討論討論: 無限小角位移的合成無限小角位移的合成 121 rrr )( 121 rrrr )( 1221 rrrr rrr 21 rr rr)( 21 0)( 21 r 12 結論：結論： 21 同理同理 結論：結論：無限小角位移滿足矢量加法規(guī)則無限小角位移滿足矢量加法規(guī)則 在定點運動剛體上任意找一點，其矢徑為在定點運動剛體上任意找一點，其矢徑

16、為 r 2021-5-426 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 x y z A x y z A 1 1 0 cos0sin 010 sin0cos cos 1 sin cos 1 sin 100 0cossin 0sincos 2 2 2 z y x cos cossinsin sinsincos 2 2 2 z y x 1 1 充分小時和當 :kjA 2021-5-427 6 61 1 剛體定點運動的運動學剛體定點運動的運動學 kj x y z A 1 cos sin cos0sin 010 sin0cos 2 2 2 z y x 1 1 0 100 0cossin 0sincos 1 cos sin cossinsin cos sincossin 2 2