VAR模型與向量VECM模型.doc

1、第7章 向量自回歸模型（VAR）與向量誤差修正模型（VEC） 7.1 向量自回歸模型（VAR(p)） 傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)聯(lián)立方程模型建摸方法, 是以經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)來描述經(jīng)濟(jì)變量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，采用的是結(jié)構(gòu)方法來建立模型，所建立的就是聯(lián)立方程結(jié)構(gòu)式模型。這種模型其優(yōu)點(diǎn)是具有明顯的經(jīng)濟(jì)理論含義。但是，從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)建摸理論而言，也存在許多弊端而受到質(zhì)疑。一是在模型建立之處，首先需要明確哪些是內(nèi)生變量，哪些是外生變量，盡管可以根據(jù)研究問題和目的來確定，但有時(shí)也并不容易；二是所設(shè)定的模型，每一結(jié)構(gòu)方程都含有內(nèi)生多個(gè)內(nèi)生變量，當(dāng)將某一內(nèi)生變量作為被解釋變量出現(xiàn)在方程左邊時(shí)，右邊將會(huì)含有多個(gè)其余內(nèi)生變量，由于

2、它們與擾動(dòng)項(xiàng)相關(guān)， 從而使模型參數(shù)估計(jì)變得十分復(fù)雜，在未估計(jì)前，就需要討論識(shí)別性；三是結(jié)構(gòu)式模型不能很好地反映出變量間的動(dòng)態(tài)聯(lián)系。為了解決這一問題，經(jīng)過一些現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家門的研究，就給出了一種非結(jié)構(gòu)性建立經(jīng)濟(jì)變量之間關(guān)系模型的方法，這就是所謂向量自回歸模型（Vector Autoregression Model）。VAR模型最早是1980年，由C.A.Sims引入到計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，它實(shí)質(zhì)上是多元AR模型在經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)中的應(yīng)用，VAR模型不是以經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)描述經(jīng)濟(jì)變量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系來建立模型的，它是以數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)為基礎(chǔ)，把某一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的每一變量作為所有變量的滯后變量的函數(shù)來構(gòu)造模型的。它是一種

3、處理具有相關(guān)關(guān)系的多變量的分析和預(yù)測(cè)、隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)沖擊的最方便的方法。而且在一定條件下，多元MA模型、ARMA模型，也可化為VAR模型來處理，這為研究具有相關(guān)關(guān)系的多變量的分析和預(yù)測(cè)帶來很大方便。 7.1.1 VAR模型的一般形式 1、非限制性VAR模型（高斯VAR模型）,或簡(jiǎn)化式非限制性VAR模型設(shè)為一維隨機(jī)時(shí)間序列，為滯后階數(shù)，為一維隨機(jī)擾動(dòng)的時(shí)間序列，且有結(jié)構(gòu)關(guān)系 （711） 若引入矩陣符號(hào)，記 可寫成 ， （712） 進(jìn)一步，若引入滯后算子，則又可表示成 （7. 1. 3）其中: ,為滯后算子多項(xiàng)式. 如果模型滿足的條件: 參數(shù)陣特征方程 的根全在單位園外；，即 相互獨(dú)立，同服

4、從以為期望向量、為方差協(xié)方差陣的維正態(tài)分布。這時(shí)，是維白噪聲向量序列，由于沒有結(jié)構(gòu)性經(jīng)濟(jì)含義，也被稱為沖擊向量；，即與及各滯后期不相關(guān)。則稱上述模型為非限制性VAR模型（高斯VAR模型）,或簡(jiǎn)化式非限制性VAR模型。 2、受限制性VAR模型，或簡(jiǎn)化式受限制性VAR模型 如果將做為一維內(nèi)生的隨機(jī)時(shí)間序列，受維外生的時(shí)間序列影響（限制），則VAR模型為 ， （714）或利用滯后算子表示成 （7. 1. 5） 其中： 此時(shí)稱該模型為受限制性VAR模型，簡(jiǎn)化式受限制性VAR模型。對(duì)于受限制性VAR模型，可通過對(duì)作OLS回歸，得到殘差估計(jì)，從而將變換成（15.1.2）或（15.1.3）形式的非限制性VA

5、R模型，即 ， （716） （7. 1. 7）這說明受限制性VAR模型可化為非限制性VAR模型。 簡(jiǎn)化式非限制、受限制VAR模型，皆簡(jiǎn)記為。 3、結(jié)構(gòu)式非限制性VAR模型 如果中的每一分量受其它分量當(dāng)期影響, 無維外生的時(shí)間序列影響（限制）,則模型化為 ， （718）或利用滯后算子表示成 （7. 1. 9）其中： ,這時(shí)的此時(shí)稱該模型為結(jié)構(gòu)式非限制性VAR模型。 如果可逆，既逆陣存在，則結(jié)構(gòu)式非限制性VAR模型可化為簡(jiǎn)化式非限制性VAR模型， （7110）或利用滯后算子表示成 （7. 1. 11） 這時(shí)，其中的 4、結(jié)構(gòu)式受限制性VAR模型 如果將做為一維內(nèi)生的隨機(jī)時(shí)間序列，其中每一分量受其它

6、分量當(dāng)期影響,且還受維外生的時(shí)間序列影響（限制），則VAR模型為 ， （7112）或利用滯后算子表示成 （7. 1. 13）此時(shí)稱該模型為結(jié)構(gòu)式受限制性VAR模型。如果可逆，既逆陣存在，則結(jié)構(gòu)式受限制性VAR模型可化為簡(jiǎn)化式受限制性VAR模型， （7114）或利用滯后算子表示成 （7. 1. 15）這時(shí)，其中的結(jié)構(gòu)式非限制、受限制VAR模型，皆簡(jiǎn)記為。 7.1.2 簡(jiǎn)化式VAR模型的參數(shù)估計(jì) VAR模型參數(shù)估計(jì), 簡(jiǎn)化式VAR模型比較簡(jiǎn)單可采用Yule-Walker估計(jì)、OLS估計(jì)、極大似然估計(jì)法等進(jìn)行估計(jì),且可獲得具有良好統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的估計(jì)量。結(jié)構(gòu)式VAR模型參數(shù)估計(jì)比較復(fù)雜，可有兩種途徑：一種

7、是化成簡(jiǎn)化式，直接估計(jì)簡(jiǎn)化式模型參數(shù)，然后再通過簡(jiǎn)化式模型參數(shù)與結(jié)構(gòu)式模型參數(shù)的關(guān)系，求得結(jié)構(gòu)式模型參數(shù)估計(jì)，但這存在一個(gè)問題是否可行，什么情況下可行，這與結(jié)構(gòu)式模型的識(shí)別性有關(guān)。另一種途徑是直接對(duì)結(jié)構(gòu)式模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，但這也存在一個(gè)問題，上述方法不可應(yīng)用，原因是每一方程含有眾多內(nèi)生的與擾動(dòng)項(xiàng)相關(guān)變量，那么，如何估計(jì)？這也與結(jié)構(gòu)式模型的識(shí)別性有關(guān)。對(duì)于簡(jiǎn)化式VAR模型（15.1.1）（15.1.3），在沖擊向量滿足假設(shè)，即 相互獨(dú)立，同服從以為期望向量、為方差協(xié)方差陣的維正態(tài)分布。這時(shí)，是維白噪聲向量序列的條件下，模型參數(shù)陣及也可采用Yule-Walker估計(jì)、OLS估計(jì)、極大似然估計(jì)。設(shè),

8、為長(zhǎng)度為的樣本向量 1、Yule-Walker估計(jì) 在充分大時(shí), 首先估計(jì)自協(xié)方差陣 (7.1.16)令 ,則可得模型參數(shù)陣的Yule-Walker估計(jì)(矩估計(jì))為 （7.1.17）2、估計(jì)模型參數(shù)陣的OLS估計(jì)，即求使下的作為估計(jì)。 記 (7.1.18)由此可推得 （7.1.19）由此可見, 模型參數(shù)陣的OLS估計(jì)(7.1.15)與Yule-Walker估計(jì)(7.1.13)形式相同, 但式中的的計(jì)算不同. 但是, 當(dāng)充分大時(shí),(7.1.16)與(7.1.18)相差很小, 這時(shí)(7.1.17)與(7.1.19)相差也很小,這時(shí)二者的估計(jì)及估計(jì)量的性質(zhì)等價(jià)。因此，在充分大時(shí), 可直接采用Yule

9、-Walker估計(jì)比較簡(jiǎn)單方便。 而的估計(jì)為 （7.1.20）其中： 3、極大似然估計(jì)可證明, 模型參數(shù)陣的極大似然估計(jì)與OLS估計(jì)完全等價(jià)。除此之外，還有遞推估計(jì)法（參見：馬樹才，經(jīng)濟(jì)時(shí)序分析，遼寧大學(xué)出版社，1997.1.pp199）,這里不在贅述。7.1.3 簡(jiǎn)化式VAR模型的預(yù)測(cè) 在已知時(shí)，對(duì)的一步線性預(yù)測(cè) （7.1.21） 其一步預(yù)測(cè)誤差為 一步預(yù)測(cè)誤差的方差陣為的估計(jì)為 （7.1.22）在已知時(shí)，如果利用模型參數(shù)的估計(jì)量，對(duì)進(jìn)行一步線性預(yù)測(cè)，則的實(shí)際一步線性預(yù)測(cè)為 （7.1.23）其一步預(yù)測(cè)誤差為 一步預(yù)測(cè)誤差的方差陣為的估計(jì)為 （7.1.24） 7.1.4 VAR模型階數(shù)p的確定

10、VAR模型的定階是一個(gè)矛盾過程，階數(shù)p的確定，既不能太大，又不能太小，必須兼顧。因?yàn)椋环矫?，希望滯后階數(shù)p要大一些，以便使模型能更好地反映出動(dòng)態(tài)特征，但另一方面，又不希望太大，否則，階數(shù)p太大，會(huì)造成需要估計(jì)的模型參數(shù)過多，而使模型自由度減少。因此，在定階時(shí)需要綜合考慮，以既要有足夠大的滯后項(xiàng)，又能有足夠大的自由度為原則確定階數(shù)。VAR模型的定階方法有多種：1、FPE準(zhǔn)則(最小最終預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則)FPE準(zhǔn)則(最小最終預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則)，即利用一步預(yù)測(cè)誤差方差進(jìn)行定階。因?yàn)?，如果模型階數(shù)合適，則模型對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)擬合優(yōu)度必然會(huì)高，其一步預(yù)測(cè)誤差方差也必然會(huì)??；反之，則相反。設(shè)給定時(shí)間序列向量長(zhǎng)度為的樣本

11、向量為,，則其一步預(yù)測(cè)誤差方差陣的估計(jì)量為（7.1.24）式,它是一個(gè)階陣,因此可定義其最終預(yù)測(cè)誤差為 （7.1.25）顯然, 是的函數(shù)。所謂最小最終預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則，就是分別取=1，2,，M, 來計(jì)算, 使值所對(duì)應(yīng)的, 為模型合適階數(shù)。相應(yīng)的模型參數(shù)估計(jì)為最佳模型參數(shù)估計(jì)。其中，M為預(yù)先選定的階數(shù)上界,一般取之間。 在實(shí)際計(jì)算過程中，可如下判斷： 如果的值，隨著從1開始逐漸增大就一直上升，則可判定=1； 如果的值，隨著從1開始逐漸增大就一直下降，則可判定該隨機(jī)時(shí)間序列不能用AR（p）模型來描述； 如果的值，在某一值下降很快，而后又緩慢下降，則可判定該值為所確定的階數(shù)； 如果的值，隨著從1開始逐漸

12、增大而上下劇烈跳動(dòng)，難以找到最小值，這可能由于樣本數(shù)據(jù)長(zhǎng)度T太小造成的，應(yīng)增大樣本長(zhǎng)度，重新進(jìn)行定階、估計(jì)模型參數(shù)，建立模型。利用FPE信息準(zhǔn)則還可以用來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕⑹欠窨捎刹糠址至浚热缜皞€(gè)分量，來進(jìn)行，方法如下：記（7.1.21）式中的階矩陣的左上角階子方陣為, 則前個(gè)分量，的最終預(yù)測(cè)誤差為 （7.1.26）當(dāng)時(shí)，（7.1.26）為(7.1.25)式。 如果，則可認(rèn)為僅用前個(gè)分量，建立模型即可，沒有必要采用維隨機(jī)時(shí)間序列建立模型，因?yàn)閺淖钚∽罱K預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則角度，用維隨機(jī)時(shí)間序列建立模型比僅采前個(gè)分量，建立模型，帶來擬合優(yōu)度的顯著改善；反之，則相反。2、AIC(Akaike Informa

13、tion Criterion)與SC（Bayes Information Criterion）信息準(zhǔn)則AIC、SC信息準(zhǔn)則，也稱最小信息準(zhǔn)則，定義 ， （7.1.27）其中：為模型需要估計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)，對(duì)（7.1.1）,；對(duì)于(7.1.4),；對(duì)于（7.1.8), ；對(duì)于（7.1.12），。所謂最小信息準(zhǔn)則，就是分別取=1，2, 來計(jì)算AIC或者SC, 使AIC或SC值所對(duì)應(yīng)的, 為模型合適階數(shù)。相應(yīng)的模型參數(shù)估計(jì)為最佳模型參數(shù)估計(jì)。3、似然比檢驗(yàn)法（Likelihood Ratio,LR檢驗(yàn)）： 由于，即 相互獨(dú)立，同服從以為期望向量、為方差協(xié)方差陣的維正態(tài)分布。因此，記，則在給的條件下，的條件

14、分布為 于是，在給的條件下，的聯(lián)合分布密度，即似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 將參數(shù)估計(jì)代入，則有， 又 因此，有 （7.1.28） 現(xiàn)在，欲檢驗(yàn)假設(shè) 樣本數(shù)據(jù)是由滯后階數(shù)為的VAR模型生成；樣本數(shù)據(jù)是由滯后階數(shù)為的VAR模型生成 取似然比統(tǒng)計(jì)量為 分布 （7.1.29）在給定的顯著性水平下，當(dāng)，則拒絕，表明增加滯后階數(shù)，可顯著增大似然函數(shù)值；否則，則相反。檢驗(yàn)在小樣本下，可取似然比統(tǒng)計(jì)量為分布 （7.1.30）其中,. 7.1.5 VAR模型的Granger因果關(guān)系檢驗(yàn) VAR模型的另一重要應(yīng)用是可用來檢驗(yàn)一個(gè)變量與另一變量間是否存在Granger因果關(guān)系，這也是建立VAR模型所需要的。1、 Gr

15、anger因果關(guān)系的涵義 設(shè)為一維隨機(jī)時(shí)間序列，如果在給定的滯后值下的條件分布與僅在給定的的滯后值下的條件分布相同，即 則稱對(duì)存在Granger非因果性關(guān)系，否則，對(duì)存在Granger因果性關(guān)系。 Granger因果性關(guān)系涵義的另一表述：在其條件不變下，如果加上的滯后值，并不對(duì)只由的滯后值下對(duì)進(jìn)行預(yù)測(cè)有顯著改善，則稱對(duì)存在Granger非因果性關(guān)系，否則，對(duì)存在Granger因果性關(guān)系。2、 Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)設(shè)為一維隨機(jī)時(shí)間序列，為滯后階數(shù)，為一維隨機(jī)擾動(dòng)的時(shí)間序列，則有2元VAR模型為 （7131）顯然，欲檢驗(yàn)對(duì)是否存在Granger非因果性關(guān)系，等價(jià)地，檢驗(yàn)假設(shè)；中至少有一個(gè)不為

16、0。其用于檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為 （7132）其中，為模型（7.1.31）中第1方程殘差平方和, 為模型（7.1.31）中第1方程去掉各期滯后項(xiàng)后擬合殘差平方和。 在給定的顯著性水平下，當(dāng)時(shí)，拒絕。如果模型（7131）滿足，即 相互獨(dú)立，同服從以為期望向量、為方差協(xié)方差陣的維正態(tài)分布條件，則 也可采用如下統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn) （7133）在給定的顯著性水平下，當(dāng)時(shí)，拒絕，上述Granger因果性關(guān)系檢驗(yàn)，可推廣到對(duì)任意維VAR模型以及SVAR模型中的某一或某幾個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列（包括內(nèi)生、外生變量）是否對(duì)另一時(shí)間序列具有Granger因果性的檢驗(yàn)上去。 7.2 VAR（p）模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)與方差分解在實(shí)際應(yīng)用

17、中，由于通常所設(shè)定的VAR模型都是非經(jīng)濟(jì)理論性的簡(jiǎn)化式模型，出它無需對(duì)變量作任何先驗(yàn)性約束，因此，在分析應(yīng)用中，往往并不利用VAR模型去分析某一變量的變化對(duì)另一變量的影響如何，而是分析當(dāng)某一擾動(dòng)項(xiàng)發(fā)生變化，或者說模型受到某種沖擊時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)影響，這鐘分析方法稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)方法（Impulse Response Function,IRF）。 7.2.1 脈沖響應(yīng)函數(shù)基本思想對(duì)VAR模型采用脈沖響應(yīng)函數(shù)分析擾動(dòng)項(xiàng)發(fā)生變化，或者說模型受到某種沖擊時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)影響，就是分析擾動(dòng)項(xiàng)發(fā)生變化是如何傳播到各變量的。設(shè)為一維隨機(jī)時(shí)間序列，滯后階數(shù)=2，為一維隨機(jī)擾動(dòng)的時(shí)間序列，則有2元VAR模型為

18、（721）擾動(dòng)項(xiàng)滿足白噪聲假設(shè)條件，即； 現(xiàn)在假設(shè)上述VAR模型系統(tǒng)從時(shí)期開始運(yùn)行，并設(shè)，在時(shí)給定擾動(dòng)項(xiàng) 并且其后，即在時(shí)給定一脈沖，我們來討論的響應(yīng)。 由于 由（721），在時(shí)，于是有，； 將上述結(jié)果再代入（721），在時(shí)，于是有，； 再將上述結(jié)果代入（1521），在2時(shí)，于是有，如此下去，可求得結(jié)果，稱此結(jié)果為由的沖脈沖引起的的響應(yīng)函數(shù)；所求得的，稱為由的沖脈沖引起的的響應(yīng)函數(shù)。 反過來，也可求得在時(shí)，給定擾動(dòng)項(xiàng)并且其后，即在給定一脈沖時(shí)，由的沖脈沖引起的、的響應(yīng)函數(shù)。7.2.2 VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)假設(shè)有VAR(p)模型 ， （722）引入滯后算子，表示成 （7.2. 3）其中: ,

19、為滯后算子多項(xiàng)式. 在滿足特征方程 的根全在單位園外條件下，則VAR(p)是可逆的，即可將表示成白噪聲滑動(dòng)和形式 （7.2. 4）其中：階單位陣） （7.2. 4）中第方程為 （7. 2. 5） 當(dāng)時(shí), (7.2.4)為 （726）現(xiàn)在假定在基期給一個(gè)單位脈沖, 即 而 則可求得由的脈沖引起的響應(yīng)函數(shù)為： 由此可看出，對(duì)于（7.2. 4）式的一般情形，由的脈沖引起的響應(yīng)函數(shù)為：由的脈沖引起的累積響應(yīng)函數(shù)為： 由（7. 2. 4）式, 其中的 中的第行、第列元素可表示為 （7. 2. 7）作為的函數(shù)，它描述了在時(shí)期，其他變量和早期變量不變的情況下，對(duì)的一個(gè)沖擊的反應(yīng)，稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。 用矩陣可

20、表示為 = （7. 2. 8）即 中的第行、第列元素等于時(shí)期的第變量擾動(dòng)項(xiàng)增加一個(gè)單位，其它時(shí)期擾動(dòng)項(xiàng)為常數(shù)時(shí)，對(duì)時(shí)期的第個(gè)變量值的影響。723 方差分解VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)是用來描述VAR模型中一個(gè)內(nèi)生變量的沖擊給其它內(nèi)生變量所帶來的影響的，它是隨時(shí)間的推移，觀察模型中各變量對(duì)于沖擊是如何反應(yīng)的。而方差分解是要通過分析每一結(jié)構(gòu)沖擊對(duì)內(nèi)生變量變化（通常用方差來度量）的貢獻(xiàn)度，進(jìn)一步評(píng)價(jià)不同結(jié)構(gòu)沖擊的重要性的，與脈沖響應(yīng)函數(shù)相比，方差分解是一種比較粗糙的把握變量間關(guān)系的方法，它給出的是對(duì)VAR模型中的變量產(chǎn)生影響的每個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)的相對(duì)重要信息。方差分解的基本思想是：由（7. 2. 5）式 （7.

21、 2. 9）可知，左邊括號(hào)內(nèi)為是第擾動(dòng)項(xiàng)從過去無限遠(yuǎn)至現(xiàn)在時(shí)點(diǎn)對(duì)第內(nèi)生變量影響的總和。在，無序列相關(guān)的假設(shè)下，對(duì)其求方差，可得 （7. 2. 10）它是把第擾動(dòng)項(xiàng)從過去無限遠(yuǎn)至現(xiàn)在時(shí)點(diǎn)對(duì)第內(nèi)生變量影響總和，用方差加以評(píng)價(jià)的結(jié)果。如果為對(duì)角陣，則的方差為 （7. 2. 11）由此可知，的方差可分解成個(gè)不相關(guān)的（）的影響。 由此，可測(cè)定出各個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)方差的相對(duì)方差貢獻(xiàn)率為 （7. 2. 12） 在實(shí)際應(yīng)用計(jì)算中，不可能從過去無限遠(yuǎn)的來評(píng)價(jià)。在模型滿足平穩(wěn)性條件下，由于隨著的增大是按幾何級(jí)數(shù)衰減的，故只要取前有限項(xiàng)計(jì)算即可。其近似相對(duì)方差貢獻(xiàn)率為 ， （7. 2. 13） 有如下性質(zhì)： （7. 2.

22、 14） （7. 2. 15）如果大，則意味著第變量（第擾動(dòng)項(xiàng)）對(duì)第變量影響大，反之，則相反。7.3 Johansen協(xié)整檢驗(yàn)與向量誤差修正模型(VEC) 前面我們已經(jīng)介紹了單方程的協(xié)整檢驗(yàn)與誤差修正模型。且其協(xié)整檢驗(yàn)方法是以回歸模型為基礎(chǔ)的基于回歸殘差序列的ADF檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)的?，F(xiàn)在我們把它推廣到VAR模型上去，并給出以VAR模型為基礎(chǔ)基于回歸系數(shù)的協(xié)整檢驗(yàn)方法。 在單方程協(xié)整檢驗(yàn)中，由于是基于回歸殘差序列進(jìn)行，故在第一階段需要采用OLS進(jìn)行回歸分析，應(yīng)用很不方便。為此，Johansen（1988）及Juselius(1990)提出了一個(gè)以VAR模型為基礎(chǔ)的基于回歸系數(shù)的特別適合于多變量的

23、協(xié)整檢驗(yàn)法。731 Johansen協(xié)整檢驗(yàn) 1、協(xié)整定義：設(shè)為一維隨機(jī)時(shí)間序列，如果 且每一， 存在非零向量=，使則稱為協(xié)整，記為，為協(xié)整向量。若為協(xié)整，則最多存在個(gè)線性無關(guān)的協(xié)整向量。即若記由的所有協(xié)整向量組成的矩陣為，則秩，。例如，=2，若有使，按照上述，最多存在個(gè)線性無關(guān)的協(xié)整向量，則協(xié)整向量唯一。因?yàn)槿粲?這與已知矛盾，故，即唯一。2、Johansen協(xié)整檢驗(yàn)基本思想設(shè)為一維隨機(jī)時(shí)間序列，且 即每一，受維外生的時(shí)間序列影響（限制），則首先可建立VAR模型 ， （731）將上式進(jìn)行差分變換，也稱為協(xié)整變換，可寫成 （732）其中， （733）在（732）中，由于 所以、，因此，只要 則

24、，亦即之間具有協(xié)整關(guān)系，而之間是否具有協(xié)整關(guān)系取決于階矩陣的秩。因?yàn)?，與模型全部參數(shù)陣有關(guān)，故稱為壓縮矩陣（影響矩陣）。設(shè)，則有3種情況：如果，這意味著是一列滿秩陣，則只有當(dāng)時(shí)，才能保證 但這與已知相矛盾，故如果，則 由（732），這時(shí)用不著討論之間是否具有有協(xié)整關(guān)系。除上述兩種極端情形外，一般情況是：如果，這意味著中一定存在個(gè)協(xié)整關(guān)系（協(xié)整組合），其余個(gè)關(guān)系仍然為關(guān)系。在這種情況下，可將分解成兩個(gè)階陣的乘積 且、。 將其代入到（742）式中，有 （734）上式要求，向量，其每一行都是變量，即的每一列都是一協(xié)整向量， 所以決定了之間協(xié)整向量的個(gè)數(shù)和形式，故稱稱為協(xié)整向量陣，為協(xié)整向量個(gè)數(shù)。的每

25、一行是出現(xiàn)在上述每一方程中的個(gè)協(xié)整組合的一組權(quán)數(shù)，故稱為調(diào)整參數(shù)陣，或修正參數(shù)陣。顯然，在假定條件下，最大可能，這就是對(duì)于維向量最大可能存在個(gè)線性無關(guān)的協(xié)整向量的道理。根據(jù)上述分析，可知欲檢驗(yàn)是否具有協(xié)整關(guān)系，就轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣的秩數(shù)的檢驗(yàn)，由于=的非零特征根的個(gè)數(shù)，因此，就可以通過檢驗(yàn)的非零特征根的個(gè)數(shù)，來檢驗(yàn)，從而來判定是否具有協(xié)整關(guān)系。這就是Johansen協(xié)整檢驗(yàn)的基本思想。3、 Johansen協(xié)整檢驗(yàn)現(xiàn)在假設(shè)的個(gè)特征根為。Johansen協(xié)整檢驗(yàn)有兩種方法： 1、特征根跡檢驗(yàn)（trace檢驗(yàn)）由于個(gè)最大特征根可得到個(gè)協(xié)整向量，而對(duì)于其余個(gè)非協(xié)整組合而言，應(yīng)該有，因此，檢驗(yàn)是否等于，等價(jià)

26、地檢驗(yàn)假設(shè)可用于檢驗(yàn)的特征根跡統(tǒng)計(jì)量為 （735）具體顯著性檢驗(yàn)程序如下：當(dāng)某一顯著性水平下的Johansen分布臨界值，即不顯著時(shí)，接受，表明有個(gè)特征根，0個(gè)協(xié)整向量，即不存在協(xié)整關(guān)系。當(dāng)某一顯著性水平下的Johansen分布臨界值，即顯著時(shí)，拒絕，表明至少有1協(xié)整向量。這時(shí)必須接著檢驗(yàn)。當(dāng)某一顯著性水平下的Johansen分布臨界值，即不顯著時(shí)，接受，表明只有1個(gè)協(xié)整向量。依次進(jìn)行下去，直到接受，說明存在個(gè)協(xié)整向量時(shí)為止。這時(shí)，這個(gè)協(xié)整向量就是最大的個(gè)特征根所對(duì)應(yīng)的經(jīng)過正規(guī)化的特征向量。顯然整個(gè)檢驗(yàn)過程應(yīng)該是序貫進(jìn)行的，整個(gè)序貫檢驗(yàn)過程如下：當(dāng)某一顯著性水平下的Johansen分布臨界值，

27、即不顯著時(shí)，接受，表明只有0個(gè)協(xié)整向量（即不存在協(xié)整關(guān)系）。當(dāng)某一顯著性水平下的Johansen分布臨界值，即顯著時(shí)，拒絕，表明至少有1協(xié)整向量。這時(shí)必須接著檢驗(yàn)。當(dāng)某一顯著性水平下的Johansen分布臨界值，即不顯著時(shí)，接受，表明只有1個(gè)協(xié)整向量。當(dāng)某一顯著性水平下的Johansen分布臨界值，即顯著時(shí)，拒絕，表明只少2個(gè)協(xié)整向量。當(dāng)某一顯著性水平下的Johansen分布臨界值，即不顯著時(shí)，接受，表明只有個(gè)協(xié)整向量。2、最大特征根檢驗(yàn)由于個(gè)最大特征根可得到個(gè)協(xié)整向量，而對(duì)于其余個(gè)非協(xié)整組合而言，應(yīng)該有，因此，最大特征根檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)假設(shè) 用于檢驗(yàn)的最大特征根檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為 （736）具體顯著

28、性檢驗(yàn)程序如下：當(dāng)臨界值，不顯著時(shí)，接受，表明最大特征根為0，無協(xié)整向量；當(dāng)臨界值，顯著時(shí)，拒絕，接受，表明至少有1個(gè)最大特征根不為0，至少有1個(gè)協(xié)整向量。須接著檢驗(yàn)。當(dāng)臨界值，不顯著時(shí)，接受，表明最大特征根不為0，其余特征根皆為0，只有1個(gè)協(xié)整向量；檢驗(yàn)截止。當(dāng)臨界值，顯著時(shí)，拒絕，接受，表明至少有兩個(gè)最大特征根不為0，至少有2個(gè)協(xié)整向量。須接著檢驗(yàn)。依次進(jìn)行下去，直到接受，共有個(gè)協(xié)整向量時(shí)為止。4、協(xié)整方程形式732 向量誤差修正模型(VEC)由（7.3.1）式可知，設(shè)為一維隨機(jī)時(shí)間序列，且 即每一，如果不受維外生的時(shí)間序列影響（限制），VAR模型變?yōu)?， （737）將上式進(jìn)行協(xié)整變換，可

29、寫成 （738）其中， （739） 如果存在協(xié)整關(guān)系，則（7.3.8）的這時(shí)可寫成 (7310）其中, 即為誤差修正項(xiàng), 反映的是變量之間的長(zhǎng)期均衡關(guān)系。即，上式可寫成 (7311）(7.3.11)即為向量誤差修正模型（VEC）,其中每一方程都是一個(gè)誤差修正模型（ECM）。VEC模型中的參數(shù)向量，反映的是變量之間的均衡關(guān)系偏離長(zhǎng)期均衡狀態(tài)時(shí)，將其調(diào)整到均衡狀態(tài)的調(diào)整速度，故稱其為調(diào)整參數(shù)陣，或修正參數(shù)陣。所有作為解釋變量的差分項(xiàng)的系數(shù)向量，反映的是各變量的短期波動(dòng)對(duì)作為被解釋變量的短期變化的影響。在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于影響不顯著的那些短期波動(dòng)的項(xiàng)可以從模型中剔除。上述只是討論了簡(jiǎn)單的VEC模型，我

30、們也可以象VAR模型那樣構(gòu)造結(jié)構(gòu)式VEC模型，也可以對(duì)VEC模型討論Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)、脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解等等。關(guān)于這些更詳細(xì)的內(nèi)容，可參見Davidson和Mackinnon(1993)以及漢蜜而頓（1999）的著作。Davidson,Russell and James G.Mackinnon.Estimation and Inference in Econometrics.Oxford:Oxford University Press,1993,715-730.詹姆。漢密爾頓：時(shí)間序列分析（劉明志譯），中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社，1999，第19章。7.4 SVAR(p)模型 741 S

31、VAR模型的識(shí)別與約束條件如果中的每一分量受其它分量當(dāng)期影響, 無維外生的時(shí)間序列影響（限制）,則由（718）式，結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR（p）模型為 ， （741）或利用滯后算子表示成 （7. 4. 2）其中： , 這時(shí)的此時(shí)稱該模型為結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型。 結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型，即使在擾動(dòng)項(xiàng)滿足白噪聲條件下也不能采用普通最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)來建立模型，因?yàn)槊恳环匠毯型谙嚓P(guān)的變量。 如果可逆，既逆陣存在，則結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型可化為簡(jiǎn)化式非限制性VAR模型， （743）或利用滯后算子表示成 （7. 4. 4）這時(shí)，其中的若記 （745）則（7. 3. 4）可寫成， （7

32、46）簡(jiǎn)化式非限制性模型VAR所含需要估計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)為 （747）其中，為擾動(dòng)項(xiàng)的方差協(xié)方差陣所含未知待估計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)。在擾動(dòng)項(xiàng)滿足白噪聲條件下，（746）式可采用普通最小二乘法估計(jì)上述模型參數(shù)，來建立其簡(jiǎn)化式非限制性VAR模型。我們知道，結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（741），即使在擾動(dòng)項(xiàng)滿足白噪聲條件下也不能采用普通最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)來建立模型，因?yàn)槊恳环匠毯型谙嚓P(guān)的變量。既然其簡(jiǎn)化式非限制性VAR模型（746）模型參數(shù)可以通過普通最小二乘法估計(jì)，那么，可否根據(jù)上述簡(jiǎn)化式非限制性VAR模型的模型參數(shù)與結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型的模型參數(shù)之間的關(guān)系式（745），通過已估計(jì)的簡(jiǎn)化式非限制性V

33、AR模型參數(shù)，得到相應(yīng)的結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型參數(shù)建立模型？這就涉及到結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（741）的識(shí)別性（關(guān)于識(shí)別性及其方法，可見14章聯(lián)立方程內(nèi)容），或者說取決于對(duì)結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型所施加的約束條件。因?yàn)?，由結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（741）可知，其需要估計(jì)的模型參數(shù)個(gè)數(shù)共 （748），所以，如果不對(duì)結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（741）施加限制條件，其模型參數(shù)不可估計(jì)。那么，對(duì)結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（741）需要施加多少限制或約束條件？需要施加的約束條件數(shù)恰好為 （749）即只要施加個(gè)約束條件，則結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（731）的模型參數(shù)就可估計(jì)。所施加的約束

34、條件既可以是短期（同期）的，也可以是長(zhǎng)期的。1、 短期約束結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（741）式 ， 其中： 在可逆，既逆陣存在時(shí)，可化成簡(jiǎn)化式非限制性VAR模型（746）， 進(jìn)一步，在滿足特征方程 的根全在單位園外條件下，則VAR(p)可逆，從而又可將表示成白噪聲滑動(dòng)和形式 ， 其中， （7.4.10）根據(jù)Cholesky分解基本思想，短期約束可直接施加在矩陣上，只要使成為主對(duì)角線上元素為1的下三角形矩陣，即則結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（741）式就可變成一遞歸形式的結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型，從而為恰好識(shí)別，可直接采用OLS從第1方程開始估計(jì)該結(jié)構(gòu)式模型的模型參數(shù)，建立模型。在實(shí)際中，對(duì)結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型（741）式施加短期約束，也可以不呈下三角形，只要施加約束條件數(shù)，即可。例如，如果我們要建立一個(gè)以（GDP）、（稅收）、（政府支出）為變量的的結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型，則只需施加個(gè)約束條件：，當(dāng)期（GDP）影響當(dāng)期（稅收），不影響當(dāng)期（G政府支出）；，當(dāng)期（稅收）影響當(dāng)期（G政府支出）；，根據(jù)以往研究已得知，稅收關(guān)于產(chǎn)出彈性為1.71, 則所建結(jié)構(gòu)式非限制性SVAR模型即可識(shí)別,從而可估計(jì)。2、 長(zhǎng)期約束所謂長(zhǎng)期約束, 通常是指施加在（7410）式上的約束, 也可是單獨(dú)施加在某一上的約束而言。比較簡(jiǎn)單的是一般都施加在上，與短期約束