一元二次方程復(fù)習(xí)知識點和習(xí)題包括答案

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備元二次方程復(fù)習(xí)一)一元二次方程的定義2ax + bx + c = 0(a H 0)是一元二次方程的一般式，只含有一個末知數(shù)、且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。ax2+bx =0； ax2+c = 0； ax2 = 0這三個方程都是一元二次方程。求根公式為X = b 士 b 4ac (b2 - 4ac工0)2a二) ax2 +bx + C =0(a hO) 。 a是二次項系數(shù)；b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項，注意的是系數(shù)連同符號的概念。這些系數(shù)與一元次方程的根之間有什么樣的關(guān)系呢?21、= b -4ac當(dāng) 0時方程有2個不相等的實數(shù)根;2、當(dāng)= 0時方程有兩個相

2、等的實數(shù)根；3、當(dāng) 0時方程無實數(shù)根.4、當(dāng)0時方程有兩個實數(shù)根(方程有實數(shù)根)5、ac 0這個條件，否則解題就會出錯。cX1 X2 =(注意在使用根系關(guān)系式求待定的系數(shù)時必須滿足a) 例：已知關(guān)于X的方程X2 -2(m-2X +m2 =0,問：是否存在實數(shù) m使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于56,若存在，求出 m的值，若不存在，請說明理由。一元二次方程ax2 +bx+ c = 0(aH0)可變形為a(x+x1)(x + x2)=0的形式?？梢杂们蟾椒ǚ纸舛稳検?。9、以兩個數(shù)X1 X2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是：X2- ( X1+X2)X+ Xi X2= 0 10幾種常見的關(guān)

3、于 Xi , X2的對稱式的恒等變形X122+ x2= (xx2)2xix2Xi33+ X2= (xx2時xg +X22 )= (xj +X2 屁 +X2 f -3x1x2Xi2（XiX2 +x1 X2 = xi x2 (xx2 )2丄+丄=口2 XiX2Xl X2 Xii2J2X22.2=Xi +X2 2 2Xi X2=(Xi +X2 f -2X1X2 (Xi X2 fXl X2= J(Xi -X2F = J(Xi +X2 f -4X1X2+ a)(x2 +a) = Xi X2 +a(xi +X2 ) +a三）例題1如果方程x2-3x+c=0有一個根為1，求另一個根及常數(shù)項的值。解法一）用方

4、程根的定義解：解法二）用根系數(shù)關(guān)系解:2用十字相乘法解一元二次方程（一元二次方程的左邊是一個二次三項式右邊是0,這樣的題型若能用十字相乘法解題的、要盡量使用十字相乘法、因為他比用公式法解題方便得多） o十字相乘法的口訣是： 右豎乘等于常數(shù)項，左豎乘等于二次項系數(shù)，對角積之和等于一次項系數(shù)。三個條件都符合，結(jié)論添字母橫寫（看成是關(guān)于誰的二次三項式就添誰）-65Y5-45= -1101-65解下面一道一元二次方程 x2-110x+2925=0四）與根的關(guān)系的綜合運用（ax2+bx+c=0, a工0）ax2+bx+c=0,(a0)C0b0有兩個負根不相等兩根同號b0有兩個正根不相等C0負根絕對值較大

5、（正根絕對值較?。゜0有兩個 不相等的實 數(shù)根A =0有兩個 相等的實數(shù) 根b =0兩根絕對值相等C=0一根為零b0一根為0另一個根為負根b0有兩個相等的負根b01.X 20l+X201.X 20I X1+X20r A 03負根的絕對值大于正根的絕對值J X 1.X 2 0I X1+X204兩個異號根正的絕對值較大X 1.X 20A 05兩根異號，但絕對值相等1.X 20X1.X 2=0X1 +X201.X 2= 0X1 +X208有兩個相等的負根=01.X 20L Xi+X20-Xi+X20A = 010有兩個相等的根都為零1.X 2= 0Xi+X2= 0 011兩根互為倒數(shù) X 1.X2=

6、 1 12兩根互為相反數(shù) J 014兩根同號J 0L 1.x 20I x 1+X2= 0 13兩根異號J 0L 1.x 201.x 2= 016有一根為-1 f 0a-b+c=017無實數(shù)根 018兩根一個根大于 m另一個小于 m (m R)(xj m )(x2 m XO219 ax +bx+c (aM 0)這個二次三項式是完全平方式=0 (aM 0) (a、b、c都是有理數(shù))的根為有理根，則是一個完全20 方程 ax2+bx+c 平方式。21 方程 ax2+bx+c=0 (aM 0)的兩根之差的絕對值為：X1 X222 = 0,方程ax2+bx+c = 0 (aM 0)有相等的兩個實數(shù)根。2

7、23 0a即a、c異號方程必有解。不相等的實數(shù)根；有一根為0；兩根同號；有一個正根一個負根；兩根互為倒數(shù)。22、已知方程X 4x2m+ 8=0的兩根一個大于1，另一個根小于1,求m的值的范圍。3、已知實數(shù)a、b滿足a2 = 2 -2a , b2 = 2 - 2b且a工b求-的值。 a b4、已知關(guān)于X的方程X2 - J2k +4x + k = 0有兩個不相等的實數(shù)根,(1 )求k的取值范圍(2)化簡-k -2 +Jk2-4k +45、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(說明選用的理由) X2 + 2x =19(x -1 2 =4 3y2 -6y+2 =0六）“歸舊”思想在解一元二次方程中的應(yīng)用“歸舊”就

8、是把待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為能用已掌握的舊知識去解決的 問題。一元二次方程有直接開平方法、配方法、因式分解法和公式法，這幾種解法，都是用“歸舊”的數(shù)學(xué)思想方法求解。下面就各種方法分別加以說明。直接開平方法：適用于等號左邊是一個完全平方式，右邊是一個非負實數(shù)的形式，形如（mx+n ） 2=p （m豐0,p 0）的方程。我們可以利用平方根的定義“歸舊”為兩個一元一次方程去解，即有一元一次方程為 mx+ n= 士斤,分別解這兩個一元一次方程就得到原方程的兩個根。用簡明圖表可表示為:直接開平方法：形如（mx+ n ） 2=p （m工0,p0）眾據(jù)平方根的定義兩個一元一次方程。配方法：最適用于

9、二次項系數(shù)為1, 一次項系數(shù)為偶數(shù)的形式的一元二次方程，形2 2如x +2kx+m=0 （當(dāng)然一般的形如 ax +bx+c=00也可用，但不一定是最合適的方法）。這類方程我們可以通過已掌握的配方的手段,把原方程“歸舊”為上述形如（mx+n）2=p （m工0,p 0）的方程，然后再用直接開平方法的方法求解。用簡明圖表可表示為:配方法：一元二次方程 通過配方形如（mx+n） 2=p （m工0,p0）的方程因式分解法：這種方法平時用的最多， 最適用于等式左邊能分解成幾個一次因式的積、而右邊必須為零的形式的一元二次方程方程。這類方程我們可以通過已掌握的因式分解的手段，把原方程轉(zhuǎn)化為形如（aix+ci）

10、（a2X+C2）=0方程，從而“歸舊”為aix+ci=O、a2X+C2=0 ，再分別求出這兩個一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的兩個解。用簡明圖表可表示為:因式分解法：一元二次方程通過歸舊因式.兩個一元一次方程公式法：公式法的實質(zhì)就是配方法，只不過在解題時省去了配方的過程，所以解法簡單。但計算量較大，只有在不便運用上述三種方法，且各項系數(shù)的絕對值為較小的數(shù)值情況下才考慮使用該方法。元二次方程練習(xí)題一、填空1. 一元二次方程（1 +3x）（x -3） =2x2 +1化為一般形式為系數(shù)為:，一次項系數(shù)為:2關(guān)于 x 的方程(m-1)x2 +(m+ 1)x + 3m+ 2 = 0，當(dāng)時為一元二

11、次方程。3 .已知直角三角形三邊長為連續(xù)整數(shù)，則它的三邊長是24. x +3x +2 2= (x+) ; x -+ 2=(Om時為-Or)2 O,常數(shù)項為:元一次方程；當(dāng) m,二次項5直角三角形的兩直角邊是 3 : 4，而斜邊的長是15 cm,那么這個三角形的面積是若方程x? + Px+q =0的兩個根是-2和3,貝y p,q的值分別為若代數(shù)式4x2 -2x-5與2x2 +1的值互為相反數(shù)，則 x的值是2 2方程9x =4與3x =a的解相同，貝U a =時，關(guān)于x的方程X2 -3x +t =0可用公式法求解。22a10 .右實數(shù)a, b滿足a中ab b =0，則一= b11 .若(a +b)

12、(a +b +2) =8，貝U a +b =12 已知2x2 +3x+1的值是10,則代數(shù)式4x2 +6x+1的值是二、選擇1下列方程中，無論取何值，總是關(guān)于x的一元二次方程的是（ax2 +1 -x2 -X(C) (a2+1)x2-(a2-1)x=0X +32若2x+1與2x-1互為倒數(shù)，則實數(shù)x為（(B) 1(C)Q2223.若m是關(guān)于x的一元二次方程 x +nx + m=0的根，且m工0,則m中n的值為（）(A )1(B) 1(C) -224 關(guān)于x的一元二次方程x + nx + m = 0的兩根中只有一個等于0,則下列條件正確的是（(A)m =0, n =0(B) m=0, n h0(C) mH0, n = 0(D) m25 .關(guān)于x的一元二次方程x +k=0有實數(shù)根，則（）(D)(B) k 06 .已知y是實數(shù)，若xy =0，則下列說法正確的是（x一定是0（B） y一定是0(C) X = 0或 y = 0(D) x =27 .若方程 ax +bx +c = 0 (a 工0)中，a,b,c 滿足 a+b+c=0 和 a-b + c = 0 ,則方程的根是（）（A） 1, 0(B) -1 , 0(C) 1