華中師范大學(xué)常微分方程試卷整理

1、常微分方程整理版！試卷一：1、 形如_的方程，稱為變量分離方程，這里.分別為x.y的連續(xù)函數(shù)。2、 形如_的方程，稱為伯努利方程，這里的連續(xù)函數(shù).n3、 如果存在常數(shù)_對于所有函數(shù)稱為在r上關(guān)于滿足利普希茲條件。4、 形如_-的方程，稱為歐拉方程，這里5、 設(shè)的某一解，則它的任一解_-。6、 求方程7、 求方程的通解。8、 求方程的隱式解。 試卷一答案：1 2、 z=34、5、6、這是n=2時的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，這是線性方程，求得它的通解為z=帶回原來的變量y，得到=或者，這就是原方程的解。此外方程還有解y=0.7、解：積分：故通解為：8、解：齊線性方程的特征方程為，故

2、通解為不是特征根，所以方程有形如把代回原方程 于是原方程通解為試卷二：1. 在方程中，已知，在上連續(xù)，且求證：對任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為2. 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)試證明方程 的所有解的存在區(qū)間必為3. 假設(shè)方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理條件，且，是定義在區(qū)間i上的兩個解求證：若，則在區(qū)間i上必有（=不可能出現(xiàn)，否則與解惟一矛盾令=-，那么 =- 0 由連續(xù)函數(shù)介值定理，存在，使得 =-= 0 即 = 這與解惟一矛盾 試卷三：1 設(shè)在整個平面上連續(xù)可微，且求證：方程 的非常數(shù)解，當(dāng)時，有，那么必為或2設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的任意解均有3設(shè)方程中，在上連續(xù)可微，且，求證：該方程的

3、任一滿足初值條件的解必在區(qū)間上存在 試卷三答案：1.證明 由已知條件，方程在整個平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件，因此，它的任一解都可延展到平面的無窮遠(yuǎn)。 （2分） 又由已知條件，知是方程的一個解。 （4分） 假如方程的非常數(shù)解對有限值有，那么由已知條件，該解在點處可向的右側(cè)（或左側(cè)）延展這樣，過點就有兩個不同解和這與解的唯一性矛盾，因此不能是有限值 2證明 設(shè)為方程任一解滿足，由常數(shù)變易法有于是 = 0 + 3證明 由已知條件，方程在整個平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件，因此，它的任一解都可延展到平面的無窮遠(yuǎn) 又由已知條件，知是方程的一個解 且在上半平面，有； 在下半平面，有

4、 現(xiàn)不妨取點屬于上半平面，并記過該點的解為由上面分析可知，一方面在上半平面單調(diào)遞減向平面無窮遠(yuǎn)延展；另一方面又不能穿過軸，否則與唯一性矛盾故解存在區(qū)間必為試卷四1、方程有只含的積分因子的充要條件是（）。有只含的積分因子的充要條件是_。、_稱為黎卡提方程，它有積分因子_。、_稱為伯努利方程，它有積分因子_。、若為階齊線性方程的個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是_。、形如_的方程稱為歐拉方程。、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是_。7、8、9、若試求方程組的解并求expat10、11.求的奇點,并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性.、 、 、7、解：因為，所以此方程不是恰當(dāng)方程，方程有積分因子，兩邊同乘得所以

5、解為 即另外y=0也是解8、線性方程的特征方程故特征根 是特征單根，原方程有特解代入原方程a=- b=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程 b=0 所以原方程的解為9、解：解得此時 k=1 由公式expat= 得10、解：方程可化為令則有（*）（*）兩邊對y求導(dǎo)：即由得即將y代入（*）即方程的 含參數(shù)形式的通解為： p為參數(shù)又由得代入（*）得：也是方程的解 11、解：由解得奇點（3，-2）令x=x-3,y=y+2則因為=1+1 0故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）為穩(wěn)定焦點。計算題匯總版2 ， n為常數(shù).解：原方程可化為： 是原方程的解.3、解：令，則， 從而， 于是求得方程參數(shù)形式得

6、通解為.4、解：令，則，即，從而 ，于是求得方程參數(shù)形式得通解為.5、解：令，則，從而 = ，于是求得方程參數(shù)形式的通解為,另外，y=0也是方程的解.6、, 為常數(shù)解：令，則，從而 ，于是求得方程參數(shù)形式的通解為.7、1解：令，則，從而 ，于是求得方程參數(shù)形式的通解為.8、解：令，則，得，所以，從而，于是求得方程參數(shù)形式的通解為，因此方程的通解為.9 . 求初值問題： r：1，1的解的存在區(qū)間，并求解第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計；解： 因為 m=max=4 則h=min(a,)= 則解的存在區(qū)間為= 令 =0 ;=y+dx=x+; =y+dx=x-+ 又 =l則：誤差估計為：=1

7、0. 假設(shè)函數(shù)f(x,y)于（x,y）的領(lǐng)域內(nèi)是y的 不增函數(shù)，試證方程= f(x,y)滿足條件y(x)= y的解于x x一側(cè)最多只有一個解；證明：假設(shè)滿足條件y(x)= y的解于x x一側(cè)有兩個(x),(x) 則滿足： (x)= y+dx (x)= y+dx不妨假設(shè)(x)(x)，則(x)- (x)0而(x)- (x)= dx-dx =dx又因為 f(x,y)在（x,y）的領(lǐng)域內(nèi)是y的 增函數(shù)，則： f(x, (x)-f(x, (x)0則(x)- (x)= dx0則(x)- (x)0所以 (x)- (x)=0， 即 (x)= (x)則原命題方程滿足條件y(x)= y的解于x x一側(cè)最多只有一個解；11. 解：特征方程有根-2,1故齊線性方程的通解為x=因為+-2i不是特征根取特解行如代入原方程解得a=故通解為x=12.解：特征方程有根-1,-5故齊線性方程的通解為x=2不是特征方程的根，故代入原方程解得a=故通解為x=+13.解：特征方程有根-1+i,-1-i故齊線性方程的通解為不是特征方程的根, 取特解行如代入原方程解得a=故通解為+14. 解：特征方程有根i,- i故齊線性方程的通解為,i,是方程的解 代入原方程解得a= b=0 故 代入原方程解得a= b=0 故故通解為注意：求曲線族滿足的微分方程，其中為任意常數(shù).解 求曲線族所滿足的