北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)中考真題分類（解答題）專練：特殊的平行四邊形（含答案）

1、中考真題分類（解答題）專練：特殊的平行四邊形1（2020濱州）如圖，過abcd對角線ac與bd的交點(diǎn)e作兩條互相垂直的直線，分別交邊ab、bc、cd、da于點(diǎn)p、m、q、n（1）求證：pbeqde；（2）順次連接點(diǎn)p、m、q、n，求證：四邊形pmqn是菱形2（2020遂寧）如圖，在abc中，abac，點(diǎn)d、e分別是線段bc、ad的中點(diǎn)，過點(diǎn)a作bc的平行線交be的延長線于點(diǎn)f，連接cf（1）求證：bdefae；（2）求證：四邊形adcf為矩形3（2020遵義）如圖，在邊長為4的正方形abcd中，點(diǎn)e為對角線ac上一動點(diǎn)（點(diǎn)e與點(diǎn)a、c不重合），連接de，作efde交射線ba于點(diǎn)f，過點(diǎn)e作mn

2、bc分別交cd、ab于點(diǎn)m、n，作射線df交射線ca于點(diǎn)g（1）求證：efde；（2）當(dāng)af2時，求ge的長4（2019青海）如圖，在abc中，bac90，d是bc的中點(diǎn)，e是ad的中點(diǎn)，過點(diǎn)a作afbc交be的延長線于點(diǎn)f，連接cf（1）求證：aefdeb；（2）證明：四邊形adcf是菱形5（2019大慶）如圖，在矩形abcd中，ab3，bc4m、n在對角線ac上，且amcn，e、f分別是ad、bc的中點(diǎn)（1）求證：abmcdn；（2）點(diǎn)g是對角線ac上的點(diǎn)，egf90，求ag的長6（2019百色）如圖，菱形abcd中，作bead、cfab，分別交ad、ab的延長線于點(diǎn)e、f（1）求證：ae

3、bf；（2）若點(diǎn)e恰好是ad的中點(diǎn)，ab2，求bd的值7（2019內(nèi)江）如圖，在正方形abcd中，點(diǎn)e是bc上的一點(diǎn)，點(diǎn)f是cd延長線上的一點(diǎn)，且bedf，連結(jié)ae、af、ef（1）求證：abeadf；（2）若ae5，請求出ef的長8（2019哈爾濱）已知：在矩形abcd中，bd是對角線，aebd于點(diǎn)e，cfbd于點(diǎn)f（1）如圖1，求證：aecf；（2）如圖2，當(dāng)adb30時，連接af、ce，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于矩形abcd面積的9（2020德陽）如圖，四邊形abcd為矩形，g是對角線bd的中點(diǎn)連接gc并延長至f，使cfgc，以

4、dc，cf為鄰邊作菱形dcfe，連接ce（1）判斷四邊形cedg的形狀，并證明你的結(jié)論（2）連接df，若bc，求df的長10（2020呼倫貝爾）已知：如圖，在正方形abcd中，對角線ac，bd相交于點(diǎn)o，點(diǎn)e，f分別是邊bc，cd上的點(diǎn)，且eof90求證：cedf11（2020大慶）如圖，在矩形abcd中，o為對角線ac的中點(diǎn)，過點(diǎn)o作直線分別與矩形的邊ad，bc交于m，n兩點(diǎn)，連接cm，an（1）求證：四邊形ancm為平行四邊形；（2）若ad4，ab2，且mnac，求dm的長12（2020呼和浩特）如圖，正方形abcd，g是bc邊上任意一點(diǎn)（不與b、c重合），deag于點(diǎn)e，bfde，且交a

5、g于點(diǎn)f（1）求證：afbfef；（2）四邊形bfde是否可能是平行四邊形，如果可能，請指出此時點(diǎn)g的位置，如不可能，請說明理由13（2020云南）如圖，四邊形abcd是菱形，點(diǎn)h為對角線ac的中點(diǎn)，點(diǎn)e在ab的延長線上，ceab，垂足為e，點(diǎn)f在ad的延長線上，cfad，垂足為f，（1）若bad60，求證：四邊形cehf是菱形；（2）若ce4，ace的面積為16，求菱形abcd的面積14（2019鄂州）如圖，矩形abcd中，ab8，ad6，點(diǎn)o是對角線bd的中點(diǎn)，過點(diǎn)o的直線分別交ab、cd邊于點(diǎn)e、f（1）求證：四邊形debf是平行四邊形；（2）當(dāng)dedf時，求ef的長15（2019杭州）

6、如圖，已知正方形abcd的邊長為1，正方形cefg的面積為s1，點(diǎn)e在dc邊上，點(diǎn)g在bc的延長線上，設(shè)以線段ad和de為鄰邊的矩形的面積為s2，且s1s2（1）求線段ce的長；（2）若點(diǎn)h為bc邊的中點(diǎn)，連接hd，求證：hdhg16（2018畢節(jié)市）如圖，在平行四邊形abcd中，p是對角線bd上的一點(diǎn)，過點(diǎn)c作cqdb，且cqdp，連接ap、bq、pq（1）求證：apdbqc；（2）若abp+bqc180，求證：四邊形abqp為菱形17（2018北京）如圖，在四邊形abcd中，abdc，abad，對角線ac，bd交于點(diǎn)o，ac平分bad，過點(diǎn)c作ceab交ab的延長線于點(diǎn)e，連接oe（1）求

7、證：四邊形abcd是菱形；（2）若ab，bd2，求oe的長18（2018北京）如圖，在正方形abcd中，e是邊ab上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)a、b重合），連接de，點(diǎn)a關(guān)于直線de的對稱點(diǎn)為f，連接ef并延長交bc于點(diǎn)g，連接dg，過點(diǎn)e作ehde交dg的延長線于點(diǎn)h，連接bh（1）求證：gfgc；（2）用等式表示線段bh與ae的數(shù)量關(guān)系，并證明19（2019青島）如圖，在abcd中，對角線ac與bd相交于點(diǎn)o，點(diǎn)e，f分別為ob，od的中點(diǎn)，延長ae至g，使egae，連接cg（1）求證：abecdf；（2）當(dāng)ab與ac滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形egcf是矩形？請說明理由20（2019寧波）如圖，矩形

8、efgh的頂點(diǎn)e，g分別在菱形abcd的邊ad，bc上，頂點(diǎn)f，h在菱形abcd的對角線bd上（1）求證：bgde；（2）若e為ad中點(diǎn)，fh2，求菱形abcd的周長參考答案1（1）證明：四邊形abcd是平行四邊形，ebed，abcd，ebpedq，在pbe和qde中，pbeqde（asa）；（2）證明：如圖所示：pbeqde，epeq，同理：bmedne（asa），emen，四邊形pmqn是平行四邊形，pqmn，四邊形pmqn是菱形2證明：（1）afbc，afedbe，e是線段ad的中點(diǎn)，aede，aefdeb，bdefae（aas）；（2）bdefae，afbd，d是線段bc的中點(diǎn)，bdc

9、d，afcd，afcd，四邊形adcf是平行四邊形，abac，adbc，adc90，四邊形adcf為矩形3（1）證明：四邊形abcd是正方形，ac是對角線，ecm45，mnbc，bcm90，nmc+bcm180，mnb+b180，nmc90，mnb90，mecmce45，dmeenf90，mcme，cdmn，dmen，deef，edm+dem90，def90，dem+fen90，edmfen，在dme和enf中，dmeenf（asa），efde；（2）解：如圖1所示，由（1）知，dmeenf，menf，四邊形mnbc是矩形，mcbn，又memc，ab4，af2，bnmcnf1，emc90，ce

10、，afcd，dgcfga，abbc4，b90，ac4，acag+gc，ag，cg，gegcce；如圖2所示，同理可得，fnbn，af2，ab4，an1，abbc4，b90，ac4，afcd，gafgcd，即，解得，ag4，anne1，ena90，ae，gega+ae5綜上所述：ge的長為：，54證明：（1）afbc，afedbeabc是直角三角形，ad是bc邊上的中線，e是ad的中點(diǎn)，aede，bdcd在afe和dbe中，afedbe（aas）（2）由（1）知，afbd，且bdcd，afcd，且afbc，四邊形adcf是平行四邊形bac90，d是bc的中點(diǎn)，adbccd，四邊形adcf是菱形5

11、（1）證明四邊形abcd是矩形，abcd，mabncd在abm和cdn中，abmcdn（sas）；（2）解：如圖，連接ef，交ac于點(diǎn)o四邊形abcd是矩形，adbc，abc90，ac5，e、f分別是ad、bc的中點(diǎn)，aebf，四邊形abfe是矩形，efab3，在aeo和cfo中，aeocfo（aas），eofo，aoco，o為ef、ac中點(diǎn)egf90，ogef，agoaog1或agoa+og4，ag的長為1或46（1）證明：四邊形abcd是菱形abbc，adbcacbfbead、cfabaebbfc90aebbfc（aas）aebf（2）e是ad中點(diǎn)，且bead直線be為ad的垂直平分線bd

12、ab27（1）證明：四邊形abcd是正方形，abad，abcadcadf90，在abe和adf中，abeadf（sas）；（2）解：abeadf，aeaf，baedaf，bae+ead90，daf+ead90，即eaf90，efae58（1）證明：四邊形abcd是矩形，abcd，abcd，adbc，abecdf，aebd于點(diǎn)e，cfbd于點(diǎn)f，aebcfd90，在abe和cdf中，abecdf（aas），aecf；（2）解：abe的面積cdf的面積bce的面積adf的面積矩形abcd面積的理由如下：adbc，cbdadb30，abc90，abe60，aebd，bae30，beab，aead，a

13、be的面積beaeabadabad矩形abcd的面積，abecdf，cdf的面積矩形abcd的面積；作egbc于g，如圖所示：cbd30，egbeabab，bce的面積bcegbcabbcab矩形abcd的面積，同理：adf的面積矩形abcd的面積9解：（1）四邊形cedg是菱形，理由如下：四邊形abcd為矩形，g是對角線bd的中點(diǎn)，gbgcgd，cfgc，gbgcgdcf，四邊形dcfe是菱形，cdcfde，decg，degc，四邊形cedg是平行四邊形，gdgc，四邊形cedg是菱形；（2）過點(diǎn)g作ghbc于h，設(shè)df交ce于點(diǎn)n，如圖所示：cdcf，gbgdgccf，chbhbc，cdg

14、是等邊三角形，gcd60，dcf180gcd18060120，四邊形abcd為矩形，bcd90，gch906030，cg1，cd1，四邊形dcfe是菱形，dnfn，cndf，dcefcedcf12060，在rtcnd中，dncdsindce1sin601，df2dn210證明：四邊形abcd為正方形，odoc，odfoce45，cod90，dof+cof90，eof90，即coe+cof90，coedof，coedof（asa），cedf11（1）證明：在矩形abcd中，o為對角線ac的中點(diǎn)，adbc，aoco，oamocn，omaonc，在aom和con中，aomcon（aas），amcn，

15、amcn，四邊形ancm為平行四邊形；（2）解：在矩形abcd中，adbc，由（1）知：amcn，dmbn，四邊形ancm為平行四邊形，mnac，平行四邊形ancm為菱形，amanncaddm，在rtabn中，根據(jù)勾股定理，得an2ab2+bn2，（4dm）222+dm2，解得dm12解：（1）證明：四邊形abcd是正方形，abad，baf+dae90，deag，dae+ade90，adebaf，又bfde，bfa90aed，abfdae（aas），aebf，afbfafaeef；（2）不可能，理由是：如圖，若要四邊形bfde是平行四邊形，已知debf，則當(dāng)debf時，四邊形bfde為平行四邊

16、形，deaf，bfaf，即此時baf45，而點(diǎn)g不與b和c重合，baf45，矛盾，四邊形bfde不能是平行四邊形13解：（1）四邊形abcd是菱形，bad60，eacfac30，又ceab，cfad，cecfac，點(diǎn)h為對角線ac的中點(diǎn)，ehfhac，cecfehfh，四邊形cehf是菱形；（2）ceab，ce4，ace的面積為16，ae8，ac4，連接bd，則bdac，ahac2，點(diǎn)h為對角線ac的中點(diǎn)，d、h、b在同一直線上，ahbaec90，baheac，abhace，bh，bd2bh2，菱形abcd的面積acbd2014（1）證明：四邊形abcd是矩形，abcd，dfobeo，又因?yàn)閐

17、ofboe，odob，dofboe（asa），dfbe，又因?yàn)閐fbe，四邊形bedf是平行四邊形；（2）解：dedf，四邊形bedf是平行四邊形四邊形bedf是菱形，debe，efbd，oeof，設(shè)aex，則debe8x在rtade中，根據(jù)勾股定理，有ae2+ad2de2x2+62（8x）2，解之得：x，de8，在rtabd中，根據(jù)勾股定理，有ab2+ad2bd2bd，od bd5，在rtdoe中，根據(jù)勾股定理，有de2 od2oe2，oe，ef2oe15解：（1）設(shè)正方形cefg的邊長為a，正方形abcd的邊長為1，de1a，s1s2，a21（1a），解得，（舍去），即線段ce的長是；（2

18、）證明：點(diǎn)h為bc邊的中點(diǎn)，bc1，ch0.5，dh，ch0.5，cg，hg，hdhg16（1）證明：四邊形abcd是平行四邊形，adbc，adbc，adbdbc，cqdb，bcqdbc，adbbcqdpcq，adpbcq（2）證明：cqdb，且cqdp，四邊形cqpd是平行四邊形，cdpq，cdpq，四邊形abcd是平行四邊形，abcd，abcd，abpq，abpq，四邊形abqp是平行四邊形，adpbcq，apdbqc，apd+apb180，abp+bqc180，abpapb，abap，四邊形abqp是菱形17解：（1）abcd，oabdca，ac為dab的平分線，oabdac，dcada

19、c，cdadab，abcd，四邊形abcd是平行四邊形，adab，abcd是菱形；（2）四邊形abcd是菱形，oaoc，bdac，ceab，oeoaoc，bd2，obbd1，在rtaob中，ab，ob1，oa2，oeoa218證明：（1）如圖1，連接df，四邊形abcd是正方形，dadc，ac90，點(diǎn)a關(guān)于直線de的對稱點(diǎn)為f，adefde，dadfdc，dfea90，dfg90，在rtdfg和rtdcg中，rtdfgrtdcg（hl），gfgc；（2）bhae，理由是：證法一：如圖2，在線段ad上截取am，使amae，adab，dmbe，由（1）知：12，34，adc90，1+2+3+490，22+2390，2+345，即edg45，ehde，deh90，deh是等腰直角三角形