平面向量講義-學生版

1、平面向量講義學生版第二章平面向量1從位移、速度.力到向量JI學習目標】1 能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認 識向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別2會用有向線段作向量的幾 何表示，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別，會用字母表示 向量3理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等 向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關(guān)的概念.H問題導學 知識點一向量的概念思考1在日常生活中有很多量，如面積、質(zhì)量、速度、位移等，這些量有什么區(qū)別？思考2兩個數(shù)量可以比較大小，那么兩個向量能比較大小嗎？梳理向量與數(shù)量向量:既有又有的量統(tǒng)稱為向量(2)數(shù)量:只有沒有的量稱為數(shù)量知識點二向量的表示方法思考1向量既有大小

2、又有方向，那么如何形象、直觀地表示出來？ 思考2 0的模長是多少？ 0有方向嗎?思考3單位向量的模長是多少?(1)向量的表示和長度的線段叫作有向線段,以A為起點,以B為終點的有向線段記作,線段的長度也叫作有向線段知的長度,記作向畳可以用來表示有向線段的長度表示,即長度（也稱模）.箭頭所指的方向表示向量也可以用黑體小寫字母如a ,b ,來表示，書寫來表7K的向量叫作零向量，記作的向量，叫作a方向上的單位向量,記作。0知識點三相等向量與共線向量 思考1已知為平面上不同兩點,那么向量如和向量陽 相等嗎？它們共線嗎？思考2向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段平行、共線相同嗎？思考3若b/c9那么一定

3、有ac嗎?梳理（1）相等向量:且的向量叫作相等向量（2）平行向量：如果表示兩個向量的有向線段所在的直線則稱這兩個向量平行或共線 記法：a與平行或共線，記作規(guī)定：零向量與平行題型探究類型一向量的概念例1下列說法正確的是（）A.向量與向量勸的長度相等B.兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同C.零向量沒有方向D.任意兩個單位向量都相等反思與感悟 解決向量概念問題一定要緊扣定義，對單位向 與零向量要特別注意方向問題跟蹤訓練1下列說法正確的有 若lai = 161,則 a=b 或 a = b； 向量勸與CD是共線向量，則A、B、C、D四點必在同一 條直線上; 向量如與陽是平行向量.類型二共線

4、向量與相等向量如圖所不,三邊均不相等，E、F、分別是AC、AB.BC的中點.寫岀與EF共線的向量;寫出與EF的模大小相等的向量;寫出與EF相等的向量.反思與感悟 非零向量共線是指向量的方向相同或相反(2)共線的向量不一定相等，但相等的向量一定共線 跟蹤訓練2如圖所示,O是正六邊形ABCDEF /VA 的中心.與處的模相等的向量有多少個？(2)是否存在與龍長度相等、方向相反的向量？若存在，有幾 個？與龍共線的向量有哪些？類型三向量的表示及應(yīng)用例3 輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了 100 km到達B點， 然后又改變方向，向西偏北50啲方向走了 200 km到達C點, 最后又改變方向，向東行駛了 100

5、 km到達D點.(1)作出向量加、Ct)；求LWl反思與感悟 準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再 確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點跟蹤訓練3在如圖的方格紙上，已知向量,每個小正方形 的邊長為1.（1）試以B為終點畫一個向量方，使b=a；在圖中畫一個以A為起點的向量c,使1也=書，并說出向 量c的終點的軌跡是什么？當堂訓練1.下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；向量的模是一個正實數(shù)；向量a與方不共線，則a與都是非零向量;若lall洌,則 ab.A. 0B 1C2D32.下列說法錯誤的是（）A.若a = 0,則lal = O B.零向量是沒有方向的C

6、零向量與任一向量平行D.零向量的方向是任意的3.如圖所示，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量曲與皿的關(guān)系是（)J- DB.勵I(lǐng) = QC1CXBDUD血4.如圖所示，在以1X2方格紙中的格點（各線段的交點）為起點和終點的向量中ABC（1）寫出與”血相等的向量;寫出與勸的模相等的向量.1向量是既有大小又有方向的量，從其定義可以看出向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向,我們可以將某 些代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，又將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題， 故向量能起到數(shù)形結(jié)合的橋梁作用2 共線向量與平行向量是一組等價的概念兩個共線向量不 一定要在一條直線上當然，同一直線上的向畳也是平行向3 注意兩個特殊向

7、量零向和單位向量，零向量與任何 向量都平行，單位向量有無窮多個，起點相同的所有單位向量的終點在平面內(nèi)形成一個單位圓第二章平面向量2從位移的合成到向量的加法21向量的加法【學習目標】1 理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的 物理意義及其幾何意義2掌握向量加法的三角形法則和平行 四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法 運算3了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能依據(jù)幾何意義 作圖解釋向量加法運算律的合理性.If問題導學知識點一向量加法的定義及其運算法則分析下列實例：（1）飛機從廣州飛往上海，再從上海）飛往北京（如圖），K這兩次位移的結(jié)果與飛機從廣州直接飛往北京的位移是相同的.（2）有

8、兩條拖輪牽引一艘輪船,它們的牽引力分別是Fi=3 000N,F2=2 000 N,牽引繩之間的夾角為0=60。（如圖），如果只用一條拖輪來牽引，也能產(chǎn)生跟原來相同的效果.思考1從物理學的角度來講，上面實例中位移、牽引力說 明了什么？體現(xiàn)了向量的什么運算？思考2上述實例中位移的和運算、力的和運算分別用了什么法則?梳理（1）向量加法的定義求的運算，叫作向量的加法 向量加法的法則已知向量a ,b，在平面 上任取一點A，作如二a 9BV = b ,再作向量At ,則向量猶叫作向C量。與的和，記作+ BV-已知向量a ,b，在平面D a CA a B內(nèi)任取一點A，作加=a ,At）-b，再作平行于AD

9、的= b，連接 DC ,則四邊形ABCD為平行四邊形向量壯叫作向與的和，表示為向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實際上就是向量加 法的幾何意義知識點二向量加法的運算律思考1實數(shù)加法有哪些運算律?思考2根據(jù)圖中的平行四邊形ABCD,驗證向量加法是否 滿足交換律.（注：B=a9 AD=b）A a 5思考3根據(jù)圖中的四邊形ABCD,驗證向量加法是否滿足 結(jié)合律.(注：兀&=。，BtJ=b9 CD=c)向量加法的運算律D題型探究交換律a + b =結(jié)合律()+c=a+()類型一向量加法的三角形法則和平行四邊形法則例1如圖(1)(2),已知向量a, b, c,求作向量a+b和a+方反思與感悟 向量加法

10、的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系 區(qū)別：(1)三角形法則中強調(diào)“首尾相接”,平行四邊形法則 中強調(diào)的是“共起點”(2)三角形法則適用于任意兩個非零向量求和,而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和 聯(lián)系：當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平 行四邊形法則是統(tǒng)一的(2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半.跟蹤訓練1如圖所示，O為正六邊形ABCDEF的中心，化簡下列向量.龍+7t=； (2)EU+F=；處+皿=類型二 向量加法運算律的應(yīng)用例2化簡：肚+加；(2)加+CD+昭(3)如+血+6+乩+血反思與感悟(1)根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾連接, 再運用向

11、的結(jié)合律調(diào)整向量順序后相加(2)向量求和的多邊形法則：如2 +A玄3 +曲4 +如-1AW =A匚九.特別地，當如和Ai重合時,A2 + A處3 +A丸4 + An.iAi = O.跟蹤訓練2已知正方形ABCD的邊長等于1,則浙+AD+r+pti=類型三向量加法的實際應(yīng)用例3在靜水中船的速度為20 m/min,水流的速度為10m/min,如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達對岸，求船行進的方向.引申探究1.若本例中條件不變，則經(jīng)過lh,該船的實際航程是多少？2若本例中其他條件不變，改為若船沿垂直水流的方向航行,求船實際行進的方向與岸方向的夾角的正切值反思與感悟 向量既有大小又有方向的特性在實

12、際生活中有 很多應(yīng)用，準確作出圖像是解題關(guān)鍵 跟蹤訓練3如圖，用兩根繩子把重10 N的物體W吊在水 平桿子 上，ZACW= 150, ZBCW= 120,求 A 和 B 處 所受力的大小.（繩子的重量忽略不計）ABIV當堂訓練1 如圖，在正A W ABCDEF 中，BA+CD+EP等于（）A 0C.AZ）DC片2如圖，D, E, F分別是AABC的邊AB, BC, A CA 的中點，貝!IAA下列等式中錯誤的是（）AFt）+DA+D=OBQ+朋+cf=oC.FD+IXE+AT）=BT）AD+Et：+FD=BD3.（加+皿）+（勸+血）+沏等于（）A.BtJ4如圖所示，在四邊形ABCD中，At=

13、A+AD, zD（口A則四邊形為（）A.矩形B.正方形C.平行四邊形RD.菱形5.小船以10羽km/h的靜水速度沿垂直于對岸的方向行駛, 同時河水的流速為10 km/h,則小船的實際航行速度的大小為km/h.廠規(guī)律與方法 1三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法,兩個法則是統(tǒng)一的,當兩個向量首尾相連時常選用三角形法ni則,當兩個向量共起點時,常選用平行四邊形法則2 向量的加法滿足交換律，因此在進行多個向量的加法運算 時,可以按照任意的次序和任意的組合去進行3在使用向量加法的三角形法則時要特別注意“首尾相接”和向量的特征是從第一個向量的起點指向第二個向量 的終點.向量相加的結(jié)果是向,如

14、果結(jié)果是零向，一定 要寫成0 ,而不應(yīng)寫成0.2.2向量的減法【學習目標】1 理解相反向量的含義，向量減法的意義及減法 法則2 掌握向量減法的幾何意義.3 能熟練地進行向量的加、 減運算.DT問題導學 知識點一相反向量 思考 實數(shù)Q的相反數(shù)為一o,向量a與一a的關(guān)系應(yīng)叫作什 么？梳理 與的向量，叫作a的相反向量,記作.規(guī)定：零向量的相反向量仍是(3)a + ( a) = 若a與方互為相反向量,則a a + b = 知識點二向量的減法思考1根據(jù)向量的加法，如何求作。一方?思考2向量減法的三角形法則是什么?梳理 定義：向量。加上，叫作。與方的差,即X.求兩個向的運算，叫作向的減法.(2)幾何意義：

15、在平面內(nèi)任取一點O ,作OA=a , OBb ,則,如所示文字敘述：如果把向量a與方的起點放在O點，那么由向 量方的終點B指向被減向量a的終點A，得到的向量勵就是 ab知識點三a-b, ab, a + b三者的關(guān)系思考在三角形中有兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第 三邊，結(jié)合這一性質(zhì)及向量加、減法的幾何意義，一切， ab, a+b三者關(guān)系是怎樣的？梳理當向量b不共線時,作OA=a，勸=幾則a + b(1),根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,則有11創(chuàng)-ba +b1勿,作法同上(3),此時a+b = a - 1勿1故對于任意向量a , b ,總有l(wèi)lal IbllWla +方iWlal + 1方1因為 la

16、 - ZfI = la + (- b) ,所以llal I -洌iWla ZdWlal + I 兒IPlItzl - IbllWla 勿Wlal +仇將兩式結(jié)合起來即為llal - baba + b.2題型探究類型一向量減法的幾何作 例1如圖，已知向量a, b, c不共線，求作向量a+bc.y/-引申探究 若本例條件不變，則abc如何作?反思與感悟 在求作兩個向量的差向量時,當兩個向量有共 同始點,直接連接兩個向量的終點，并指向被減向量，就得 到兩個向量的差向；若兩個向量的始點不重合，先通過平移使它們的始點重合，再作出差向量 跟蹤訓練1如圖所示，已知向量a, b, c9 d9求作向量b, cd

17、.反思與感悟 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，若勸=ci , Al) = b ,則A1 = a + b , Dli = a b.(2)在公式101 I勿lWla +方lWlal + 1勿中,當a與方向相反且ab時 Jal - 161 = la+ 61 ;當 與方方向相同時,la + ftl = lal + 11.(3)在公式101 - IlWla iWlal + I勿中，當a與方方向相同且ab時，lai I洌=la 勿；當a與方方向相反時,la - ftl = lai跟蹤訓練3在四邊形ABCD中，設(shè)勸=,勸=瓦且猶= a+b,若la+洌=血一乩貝！|四邊形ABCD的形狀是()A.梯形B.矩形

18、 C.菱形 D.正方形當堂訓練1 如圖所示，在ABCD中，勸=c a, Ab=b,則用a, b表示 向量猶和勸分別是（）A a+b abB a+b 0 baCab和baD ba b+aC. S?2.化簡龍一曠+FS+SP的結(jié)果等于（）B. 012D起3若菱形ABCD的邊長為2,則XB-（B+CD=4.若向量a與b滿足lal=5, lftl=12,則血+引的最小值為, ab的最大值為.5如圖，在五W ABCDE中，若四 W ACDE是平行四邊形，且勸=a, AtJ=b9 XE=c,試用a, b9 c表示向量勸,血CD及E1向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算利用相反向量的定義，如二陽就可以把減法轉(zhuǎn)化

19、為加法即減去一個向量 等于加上這個向量的相反向量如a-b=a + (-b)2 在用三角形法則作向量減法時，要注意“差向量連接兩向 量的終點,箭頭指向被減向量”解題時要結(jié)合圖形,準確 判斷，防止混淆3平行四邊形ABCD的兩鄰邊40分別為勸二a , AD=b，則兩條對角線表示的向為AUa + b ,BD = ba 網(wǎng)ab 9這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)該加強理解并掌握.二章平面向量3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量3. 1數(shù)乘向量I學習目標】1 了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運算的幾何 意義2理解并掌握向量數(shù)乘的運算律，會運用向量數(shù)乘運算 律進行向量運算3 理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及其判定方 法，并能熟

20、練地運用這些知識處理有關(guān)共線向量問題.If問題導學 知識點一向量數(shù)乘的定義實數(shù)與向量相乘的結(jié)果是實數(shù)還是向量?思考2向量, %與。從長度和方向上分析具有怎樣的 關(guān)系?思考3加的幾何意義是什么?梳理數(shù)乘向量一般地，實數(shù)久與向。的積是一個向量，記作它的長度為I加I = lilial它的方向：當久0時，加與a的方向相 同；當2v0時，加與a的方向相反；當2 = 0時,z = 0 ,方 向任意.知識點二向量數(shù)乘的運算律 思考 類比實數(shù)的運算律，向量數(shù)乘有怎樣的運算律?向數(shù)乘運算律(l) 2(/za) = (2“)a(2) (2 + “)a =2a + “a(3) 2(a +b)=2a+2b 知識點三向

21、量共線定理思考若b=2a9方與a共線嗎?梳理（1）向量共線的判定定理a是一個向量,若存在一個實數(shù)x ,使得則向量與非零向量共線（2）向it共線的性質(zhì)定理若向量b與非需向量a共線，則存在一個實數(shù)2 ,使得方二知識點四向量的線性運算向量的加法、減法和實數(shù)與向量積的綜合運算，通常稱為向量的線性運算（或線性組合）.題型探究類型一向量數(shù)乘的基本運算例1 化簡:*2（勿+4方）一4（52方）（2）已知向量為a, b,未知向量為兀，向量兒兀，丿滿 足關(guān)系式3x2y=a9 4x+3y=b9求向量兀，y反思與感悟(1)向的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算, 例如實數(shù)運算中的去括號.移項.合并同類項.提取公因式 等

22、變形手段在實數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”、“公因式”是指向，實數(shù)看作是向量的系數(shù).(2)向量也可以通過列方程和方程組求解，同時在運算過程中多注意觀察,恰當?shù)倪\用運算律，簡化運算跟蹤訓練1 (l)(a+方)一3(方)一=f 1)1(2)若 2ya-(c+b3y)+b=Q9 其中 a, b, c 為已知向則未知向量丿=類型二向量共線的判定及應(yīng)用 命題角度1判定向量共線或三點共線例2已知非零向量e” e2不共線.若a=i卜，方=3“一2d 判斷向量是否共線.(2)若勸=勺+侖2, Bt?=2ei+8e2, 6=3(“一2),求證：AB、D三點共線.反思與感悟向量共線的判斷（證明）是

23、把兩向用共同的已知向量來表示,進而互相表示,從而判斷共線（2）利用向量共線定理證明三點共線,一般先任取兩點構(gòu)造向 量，從而將問題轉(zhuǎn)化為證明兩向量共線，需注意的是，在證 明三點共線時，不但要利用方=加（。工0），還要說明向量a、b 有公共點.跟蹤訓練2已知非零向量s,侖2不共線，如果加=侖1+2侖2, Bt=-5ei + 6e2, CD = lex- lei,則共線的三個點是命題角度2利用向量共線求參數(shù)值例3已知非零向量ei,侖2不共線，欲使ke+e2和s+辰2 共線，試確定氐的值.反思與感悟 利用向量共線定理，即與aHO)共線= 加,既可以證明點共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.跟蹤

24、訓練3已知A, B, P三點共線，O為直線外任意一點,若O?=xOA +丿05,則兀+丿=類型三用已知向量表示其他向量例4在AABC中，若點D滿足勸=2DT,貝|勿等于()b.|a-|ac反思與感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先結(jié)合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形(2)然后結(jié)合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理用已知向量表示未知向量(3)當直接表示比較困難時，可以利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān) 于所求向量的方程 跟蹤訓練4如圖，在AABC中，D, E為邊的兩個三等分點，CA=3af CB=2b9 求CD, ES當

25、堂訓練1. 已知 a=5e9 b = 3e、c=4e,則 2a3b+c 等于()A. 5eB 5eC. 23eD. 23e2.在AABC中，M是BC的中點，則砂+猶等于()BMC. 2AMD伽3設(shè)勺心是兩個不共線的向量，若向量m = ei+ke2 (kR) 與向量n=e22ei共線，貝！|()A氐=0B k=lC k=2D4.已知AABC的三個頂點A, B9 C及平面內(nèi)一點P,且皿+皿+円7=宓貝！|()A. PEAABC 內(nèi)部BPbAABC夕卜部C. P在AB邊上或其延長線上DP在AC邊上5.如圖所示，已知打=折，用處，皿表示龍.規(guī)律與方法1實數(shù)與向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，例

26、如A + a , 2 a是沒有意義的2加的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴大 或縮小為原來的I刃倍.向量盒表示與向同向的單位向.3.向量共線定理是證明三點共線的重要工具.即三點共線問 題通常轉(zhuǎn)化為向量共線問題.4已知O , A , B是不共線的三點，且OP = mOA + n(/B(m , hGR) , A ,P ,B 三點共線3. 2平面向量基本定理【學習目標】1 理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含義2在平面內(nèi)，當一組基底選定后，會用這組基 底來表示其他向量3會應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面 向量的綜合問題.知識點平面向量基本定理 思考1如果，侖2是兩個不共線的確

27、定向量，那么與e2在同一平面內(nèi)的任一向量Q能否用eif e2表示？依據(jù)是什 么？思考2如果ei,侖2是共線向量，那么向量。能否用ei, e2 表示？為什么？思考 3 若存在“1, “2GR,且a =“曲+“2纟2,那么21, “1, 22, “2有何關(guān)系？梳理（1）平面向量基本定理如果ei ,侖2是同一平面內(nèi)的兩個向量,那么對于這平面內(nèi)的向量a ,存在唯對實數(shù)2i , h ,使a基底平面內(nèi)的向量S ,侖2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底題型探究類型一對基底概念的理解例1如果ei, e2是平面a內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列 說法中不正確的是（） 加1+“侖2（入“WR）可以表示平面a內(nèi)的所有

28、向量； 對于平面仏內(nèi)任一向量a,使a=Aei+fie2的實數(shù)對（2, “） 有無窮多個； 若向量2iei+“ie2與22ei+“2e2共線，則有且只有一個實數(shù) 幾 使得2疋1+“疋2=2（久2侖1+“2侖2）； 若存在實數(shù)2, “使得為1+“侖2=0,貝!|2=“=0A.B.C.D.反思與感悟 考查兩個向量是否能構(gòu)成基底,主要看兩向: 是否非零且不共線此外，一個平面的基底一旦確定,那么 平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來.跟蹤訓練1若侖2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向 量能作為平面向量的基底的是（）A. ei2, 02B 2eiez9 eei C lei3ei,6ei42D

29、s+2, Sci類型二平面向量基本定理的應(yīng)用例2如圖所示，在口ABCD中，E, F分別是BC, DC邊上 的中點，若血=a, AD=b,試以a,方為基底表示加，曲.引申探究 若本例中其他條件不變，設(shè)龐,B = b ,試以a 為基 底表示勸,應(yīng)）反思與感悟 將不共線的向量作為基底表示其他向量的方法 有兩種：一種是利用向量的線性運算及法則對所求向量不斷 轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止；另一種是列向量方程組,利 用基底表示向量的唯一性求解跟蹤訓練2如圖所示，在ZkAOB中，OA=a9 （TB=b, M, N分別是邊OA, OB上的點，且O7W=*a, O?V=p,設(shè)A7V與血相交于點幾用基底a, b表示

30、沖0當堂訓練1下列關(guān)于基底的說法正確的是（）平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底;基底中的向量可以是零向:iij平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性 分解形式也是唯一確定的.AB.C.D.ABD C用 a.2如圖，已知A歹=a, At=方,b表示?It）,則妣）等于（）3已知向量s,侖2不共線，實數(shù)兀，y滿足(2x3刃勺+(3兀勿）02=61+3侖2,則工=, y=4如圖所示，在正方形ABCD中，設(shè)勸 R / =a9 AD = b9 BD=c9則當以a, 為基底時，At 可表示為A%,當以a, c為基底時，猶可表示為5.已知在梯形ABCD中，AB/DC,且AB=2CD9 E

31、, F分 別是DC, 的中點，設(shè)應(yīng))=a,勸=6試用、方為基底 表示ZJt BtJ9 EP.廠規(guī)律與方法1.對基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個主要特征：基底是兩個不共線向量;基底的選擇是不唯一的平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個向量可以 作為這個平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件 需向量與任意向量共線，故不能作為基底2準確理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的實質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式,且 分解是唯一的(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想,用向解決幾何問題時，我們可以選擇適當?shù)幕?將問題中涉及 的向量向基底化歸，使問題得以解

32、決4. 1平面向量的坐標表示4. 2平面向量線性運算的坐標表示【學習目標】1了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標表示2掌握兩個向量和、差及數(shù)乘向量的坐標運算法則3正確理解向量坐標的概念，要把點的坐標與向量的坐標區(qū)分開來.知識點一 平面向量的正交分解 思考 如果向量a與方的夾角是90。，則稱向量a與方垂直, 記作。丄方互相垂直的兩個向量能否作為平面內(nèi)所有向量的 一組基底？梳理把一個向量分解為的向量,叫作把 向量正交分解知識點二平面向量的坐標表示思考1如圖，向量/是兩個互相垂直的單位向量，向量a 與的夾角是30。，且lal=4,以向量i, /為基底，如何表示 向量a?思考2在平面直角坐標系內(nèi)，給

33、定點A的坐標為A(14)， 則A點位置確定了嗎？給定向量a的坐標為a =則向 量。的位置確定了嗎?思考3設(shè)向量處=(1，1), O為坐標原點，若將向量處平移到力，則處的坐標是多少？ A點坐標是多少？梳理(1)平面向量的坐標 在平面直角坐標系中，分別取與兀軸.y軸方向相同的兩八丿作為基底對于平面內(nèi)的任意向量a ,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù)兀防，使得a xi +刃我們把實數(shù)對(兀，丿)叫作向量a的坐標，記作a = (xT). 在平面直角坐標平面中i = (1,0) ,J = (O4) , 0 = (0,0).(2)點的坐標與向量坐標的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)表向B = (x , y)中間用等號連

34、別示接，而點A(x 9y沖間沒有等意義不同聯(lián)系點A& ,刃的坐標（兀,刃表示 點A在平面直角坐標系中的位置,a = （x , y）的坐標（兀,j） 既表示向量的大小，也表示向 量的方向.另外（x ,J）既可以 表示點，也可以表示向量，敘 述時應(yīng)指明點（兀J）或向（兀, J）當平面向量的始點在原點時平面向的坐標與向量終點的坐標相同知識點三平面向量的坐標運算思考 設(shè)i、j是分別與兀軸、y軸同向的兩個單位向量，若 設(shè) a=(xi, ji), b = (x2, yi)9 貝!l a=Xii+yy9 方=血+曲，根 據(jù)向量的線性運算性質(zhì)，向量+兒ab,加(2WR)如何分 別用基底i、丿表示？梳理 設(shè) a

35、 =(兀1 , ji)、b = (x2 , J2) , A(xi , ji) , B(x2 , yi)數(shù)學公式文字語言表述向量ab =向和與差的坐標加、減(X1X2 ,分別等于各向量相法jiy2)應(yīng)坐標的和與差向量la = (2xi ,實數(shù)與向積的坐數(shù)乘勿1)標分別等于實數(shù)與向量的相應(yīng)坐標的乘積向量坐標AS =（X2 兀1 ,丿2 yi）一個向的坐標等于其終點的坐標減去始點的相應(yīng)坐標題型探究平面向量的坐標表示例1如圖，在平面直角坐標AB=3fZAO兀=45。，ZOAB=1059系兀Oy中，OA=4,四邊形OABC為平行四邊形.求向量a, 的坐標;求向量豳的坐標;求點B的坐標.反思與感悟在表示點

36、.向的坐標時，可利用向量的相等. 加減法運算等求坐標，也可以利用向量、點的坐標的定義求 坐標.一般利用不等式思想求解，即把問題條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于 參數(shù)的不等式（組），再解不等式（組）就可以求得參數(shù)的取值范E3匕跟蹤訓練1已知邊長為2的正三角形ABC,頂點A在坐標 原點，邊在兀軸上，點C在第一象限，D為AC的中點, 分別求向量如，At,勸的坐標.類型二平面向量的坐標運算例 2 已知 A(-2,4), B(3, -1), C(-3, -4).設(shè)勸=a, BtJ=b9 CA=c.求 3a-b3c；求滿足a=mb+nc的實數(shù)加，兀的值.反思與感悟向畳坐標運算的方法(1)若已知向量的坐標，則直接應(yīng)用兩個向量

37、和.差及向量數(shù)乘的運算法則進行(2)若已知有向線段兩端點的坐標,則可先求出向量的坐標,然后再進行向量的坐標運算(3)向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行 跟蹤訓練2已知a = (1，2), = (2，1),求： (1)勿+3；(2)a3方；(3)切一如.類型三平面向量坐標運算的應(yīng)用例3 已知點A(2,3), B(5,4), C(7，10)若處=加+2猶(2GR),試求當2為何值時：點P在第一、三象限的角平分線上;(2)點P在第三象限內(nèi).反思與感悟(1)待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學方法之一，實質(zhì) 是先將未知量設(shè)出來，建立方程(組)求出未知數(shù)的值，是待 定系數(shù)法的基本形式，也是方程思想的一種基本應(yīng)

38、用.坐標形式下向量相等的條件：相等向量的對應(yīng)坐標相等； 對應(yīng)坐標相等的向量是相等向量由此可建立相等關(guān)系求某 些參數(shù)的值跟蹤訓練3已知向量a = (2，l),方=(1, 2),若ma+nb =(9,n GR),則mn的值為當堂訓練1. 設(shè)平面向量 a=(3,5), =(2，1),貝!| a2b 等于()A(7,3) B 7) C(1，7) D(1,3)2. 已知向量力=(3, -2),皿=(5, -1),則向量|尬的 坐標是()f1A.2;B.5 2C(一8，1) D(8，1)3已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2),B(-l, 2),C(3，1),且乩=2AD,則頂點D的坐標為()(71r

39、nA.3 2B.3 2C. (3,2)D. (13)4.已知點A(04)，(3,2),向量猶=(4, -3),貝!|向量貳等于()A. (-7, -4) B. (7,4) C(一1，4) D(1,4)5.如圖，在6X6的方格紙中，若起點和終點均在格點的向1向量的正交分解是把一個向量分解為兩個互相垂直的向B,是向坐標表示的理論依據(jù)向量的坐標表示，溝通了向量“數(shù)”與“形”的特征，使向量運算完全代數(shù)化2 要區(qū)分向終點的坐標與向的坐標由于向量的起點可以任意選取，如果一個向量的起點是坐標原點,這個向量終 點的坐標就是這個向的坐標；若向量的起點不是原點,則 向量的終點坐標不是向量的坐標 此時曲=（XB -

40、 XA刊 JA）3 .向和、差的坐標就是它們對應(yīng)向量坐標的和、差，數(shù)乘向量的坐標等于這個實數(shù)與原來向量坐標的積4. 3向量平行的坐標表示I學習目標】1.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.2.能根 據(jù)平面向量的坐標，判斷向量是否共線3掌握三點共線的判 斷方法.EI問題導學知識點向量平行 已知下列幾組向量:(2)a = (2,3)= (4,6)；(4)a=(|, 1), b = (- = (0,3)=(0,6)；(3)a = (1，4), = (3, 12)；129 _1)思考1上面幾組向量中，心有什么關(guān)系?思考2以上幾組向量中，a,方共線嗎？思考3當a/b, a, b的坐標成比例嗎？思考4如果

41、兩個非零向量共線，你能通過其坐標判斷它們是同向還是反向嗎？梳理 設(shè)a 是非零向量，且a = (xi , ji) , ft = (x2 , J2)當a/b時，有 當a/b且不平行于坐標軸，即兀2工0 ,丿2工0時，有即若兩個向量（與坐標軸不平行）平行,則它們相應(yīng)的坐標；若兩個向量相對應(yīng)的坐標成比類型一向量共線的判定與證明例1 (1)下列各組向量中，共線的是()A. a = (2,3),方=(4,6)B a = (2,3),方=(3,2)C a = (l9 2),方=(7，14)D a = (3,2), b = (6f-4)(2)已知 A(2，l), B(0,4), C(l，3), D(5, 一3

42、)判斷勸與CD是 否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？反思與感悟 此類題目應(yīng)充分利用向量共線定理或向量共線 坐標的條件進行判斷，特別是當利用向共線坐標的條件進 行判斷時，要注意坐標之間的搭配.跟蹤訓練1已知A, B, C三點的坐標分別為(一1,0), (3,-1), (1,2),血=沁，亦=捉，求證：EF如.類型二利用向量共線求參數(shù)例2已知。=（1，2）,方=（一3, 2）,當E為何值時，ka+b與a3b平行？引申探究1若本例條件不變，判斷當ka + b與平行時，它們是 同向還是反向?2. 在本例中已知條件不變,若問題改為“當k為何值時,a+ kb與3a - b平行？ ”又如何求氐的值？

43、反思與感悟根據(jù)向量共線條件求參數(shù)問題，一般有兩種思 路，一是利用向量共線定理。=肋0工0）列方程組求解，二是利用向:共線的坐標表達式X1J2 - X2J1 = 0求解.跟蹤訓練2設(shè)向量a = （l，2）,方=（2,3）,若向量2a+b與向量c=（4, 7）共線，貝!|2=類型三三點共線問題例3 已知向量龍=(億12),皿=(4,5),況=(10, k).當k為何值時，A, B, C三點共線？反思與感悟(1)三點共線問題的實質(zhì)是向量共線問題，兩個向量共線只需滿足方向相同或相反,兩個向量共線與兩個向t平行是一致的，利用向量平行證明三點共線需分兩步完成:證明向量平行；證明兩個向量有公共點(2)若A

44、, B , C三點共線,即由這三個點組成的任意兩個向量共線.r跟蹤訓練3已知4(1, -3),斗8,辦C(9,l),求證:A, B,C三點共線.當堂訓練1.已知。=(一1，2), b=Q, j),若a山則y的值是()A1 B一1 C4 D一42.與a = (6,8)平行的單位向量為(A.35D.34、或f 345t 5,一5加)共線，則m的值為3. 已知三點 A(l,2), B(2,4), C(3, 4.已知四邊形ABCD的四個頂點A, B, C, D的坐標依次是(3, -1), (1,2), (-14)，(3, 一5)求證：四邊形ABCD 是梯形.5.已知A(3,5), B(6,9), M是

45、直線A上一點，且沏1=31伽I,求點M的坐標.廠規(guī)律與方法11.兩個向量共線條件的表示方法已知 a = (xi , ji) , b =(X2 , yi),(1)當方HO , a =肋.(2)xij2 - xiyi = 0.當池X2工0時，寧= ,即兩向量的相應(yīng)坐標成比例兀2 yi2向量共線的坐標表示的應(yīng)用 (1)已知兩個向量的坐標判定兩向:共線聯(lián)系平面幾何平行.共線知識，可以證明三點共線.直線平行等幾何問題要 注意區(qū)分向量的共線、平行與幾何中的共線.平行 已知兩個向量共線，求點或向量的坐標,求參數(shù)的值，求 軌跡方程要注意方程思想的應(yīng)用，向量共線的條件,向量相等的條件等都可作為列方程的依據(jù).第二

46、章平面向量5從力做的功到向量的數(shù)量積(一)J【學習目標】1了解平面向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功2掌握平面向量數(shù)量積的定 義和運算律，理解其幾何意義3會用兩個向量的數(shù)量積求兩 個向量的夾角以及判斷兩個向量是否垂直.問題導學知識點一兩向量的夾角思考1平面中的任意兩個向量都可以平移至同一起點，它們存在夾角嗎？若存在，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？思考2 AABC為正三角形，設(shè)和BV=b,則向量a與方的夾角是多少?角（如圖所示）.當兩個向量相等時,a-a =當e = 180時，與方 垂直：如果a與的夾角是90 ,我們說a與方垂直，記作a丄規(guī)定零向量可與任一向量垂直知識點

47、二平面向量數(shù)量積的物理背景及其定義上的射影的乘積一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移矢如圖.思考1如何計算這個力所做的功?思考2力做功的大小與哪些量有關(guān)?梳理（1）數(shù)量積：已知兩個非零向量a與方，它們的夾角為0 ,我們把叫作a與方的數(shù)量積（或內(nèi)積）,記作ab ,即ab = （2）數(shù)量積的特殊情況當兩個向,侖2是單位向量時，eyei =知識點三平面向量數(shù)量積的幾何意義 思考1什么叫作向量在向量。上的射影？什么叫作向量a 在向量上的射影?思考2向量b在向量a上的射影與向量a在向量b上的射影相同嗎?梳理（1）射影：若非零向量,b的夾角為0 ,則叫作向量在a方向上的射影（簡稱為投影）（2）a-b的幾何意義：

48、a與的數(shù)積等于a的長度lai與方在a方向上的射影的乘積,或b的長度|洌與a在方方向知識點四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)思考1向量的數(shù)量積運算的結(jié)果和向量的線性運算的結(jié)果 有什么區(qū)別？思考2非零向量的數(shù)量積是否可為正數(shù)，負數(shù)和零，其數(shù) 量積的符號由什么來決定?梳理向量的數(shù)量積的性質(zhì)若侖是單位向量,則皿=(2) 。丄方0(3) = laa.(4) (0 =爲(1創(chuàng)1洌HO)(5)對任意兩個向 a 9 b 9有l(wèi)a勿ab ,當且僅當a/b 時等號成立題型探究類型一求兩向量的數(shù)量積例1 已知01=4, I勿=5,當a/b； (2)a丄方；(3)a與方的夾角為30。時，分別求a與的數(shù)量積.反思與感悟 求平面向量

49、數(shù):積的步驟：求。與的夾角 0，曰0。, 180 ； (2)分別求lai和血；(3)求數(shù)量積，即刊= lallZlcos 0 ,要特別注意書寫時Q與之間用實心圓點“”連 接，而不能用“ X ”連接，也不能省去.跟蹤訓練1已知菱形ABCD的邊長為a, ZABC=60 , 則勸e等于()A. 12 B. _扌0 C.糸2 D.|a2類型二求向量的模兀例2已知01 = 1方1=5,向量a與方的夾角為亍 求a+b, ab.引申探究若本例中條件不變,求 +勿,a - 2b.反思與感悟 此類求解向量模的問題就是要靈活應(yīng)用。lai2 ,即a =yja ,勿忘記開方跟蹤訓練2已知a = b=5,且13a2勿=

50、5,求I3a+方I的值.類型三求向量的夾角例3設(shè)和加是兩個單位向量，其夾角是60,求向量a=2m+n 與 b=2n3m 的夾角.反思與感悟 當求向夾角時，應(yīng)先根據(jù)公式把涉及到的量 先計算出來再代入公式求角，注意向量夾角的范圍是0 , 7T跟蹤訓練3已知ab = 9, a在方方向上的射影為一3, b在a方向上的射影為一I，求a與方的夾角仇當堂訓練1.已知11=8, IM=4,a, b =120,則向量方在a方向上的射影為（）A. 4 B. -4 C 2 D 一22設(shè)向量a滿足la+方1=寸15, ab=6，則ab等于（）A1 B2 C3 D. 53. 若a丄b, c與a及與方的夾角均為60, 11 = 1, lbl=2,lcl=3,則（a+2方一c）2=.4. 在AABC 中，血 1 = 13, It1=5, IC%I = 12,貝!）加的值是.5. 已知正三角形4BC的邊長為1,求：勸猶；（2）勸昭（3）貳猶規(guī)律與方法1.兩向與方的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是一個向，其值可以為正（當aHO 0工0,0。&90。時），也可以為負（當aHO ,工0,90。&0180。時），還可以為0（當a = 0或方=0或0 = 90。2兩