解析幾何中的定點和定值問題講課稿

1、精品文檔解析幾何中的定點定值問題考綱解讀： 定點定值問題是解析幾何解答題的考查重點。此類問題定中有動，動中有定，并且常與軌跡問題，曲線系問題等相結(jié)合，深入考查直線的圓，圓錐曲線，直線和圓錐曲線位置關(guān)系等相關(guān)知識?？疾閿?shù)形結(jié)合，分類討論，化歸與轉(zhuǎn)化，函數(shù)和方程等數(shù)學(xué)思想方法。一、定點問題解題的關(guān)健在于尋找題中用來聯(lián)系已知量，未知量的垂直關(guān)系、中點關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關(guān)系，通過整理，變形轉(zhuǎn)化為過定點的直線系、曲線系來解決。例 1、已知 A、 B 是拋物線y2=2px ( p0) 上異于原點O的兩個不同點，直線OA和 OB的傾斜角分別為和，當(dāng) 、 變化且 +=時，證明直線

2、AB恒過定點，并求出該定點的坐標。yB4AxO例 2已知橢圓 C ：x2y2b0) 的離心率為3，以原點為圓心，22 1(a2ab橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線xy2 0 相切求橢圓 C 的方程；設(shè) P(4, 0) ， M 、 N 是橢圓 C 上關(guān)于 x 軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié)PN 交橢圓 C 于另一點 E ，求直線 PN 的斜率的取值范圍；在的條件下，證明直線ME 與 x 軸相交于定點【針對性練習(xí) 1】 在直角坐標系xOy 中，點 M 到點 F13,0 ，F(xiàn)23 , 0 的距離之和是 4，點 M 的軌跡是 C 與 x 軸的負半軸交于點A ，不過點 A 的直線 l : ykx b 與軌

3、跡 C 交于不同的兩點P和Quuuruuur0 時，求 k 與 b 的關(guān)系，并證明直線l 過定點求軌跡 C 的方程；當(dāng) AP AQ【針對性練習(xí)2】在平面直角坐標系xoy 中，如圖，已知橢圓x2y 2A 、B，右焦點91的左、右頂點為5為 F。設(shè)過點 T（ t, m ）的直線 TA 、TB 與橢圓分別交于點M (x1 , y1 ) 、N (x2 , y2 ) ，其中 m0, y10, y20 。（ 1）設(shè)動點 P 滿足 PF 2PB 24 ,求點 P 的軌跡；（ 2）設(shè) x12, x21，求點 T 的坐標；3（ 3）設(shè) t 9,求證：直線 MN 必過 x 軸上的一定點（其坐標與m 無關(guān)）。精品文

4、檔精品文檔【針對性練習(xí) 3】已知橢圓 C 中心在原點，焦點在x 軸上，焦距為2，短軸長為 2 3 （）求橢圓C 的標準方程；（）若直線 l ： y kxm k 0 與橢圓交于不同的兩點M、N （ M 、N 不是橢圓的左、右頂點），且以 MN 為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點A 求證：直線 l 過定點，并求出定點的坐標例 3、已知橢圓的焦點在 x 軸上，它的一個頂點恰好是拋物線x24 y 的焦點，離心率 e2，過橢圓的右焦點 F 作與坐標軸不垂直的直線l ，交橢圓于 A 、 B 兩點。（ I ）求橢圓的標準方程；5（）設(shè)點 M ( m,0) 是線段 OF 上的一個動點，且uuuruuuruuur(MA

5、MB )AB ，求 m 的取值范圍；（）設(shè)點 C 是點 A 關(guān)于 x 軸的對稱點，在 x 軸上是否存在一個定點N，使得 C、B、N三點共線？若存在，求出定點N 的坐標，若不存在，請說明理由。二、定值問題在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題，解決這類問題時，要善于運用辯證的觀點去思考分析，在動點的“變”中尋求定值的“不變”性，一種思路是進行一般計算推理求出其結(jié)果，選定一個適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質(zhì)，再用韋達定理，點差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡整理求出結(jié)果，；另一種思路是通過考查極端位置，探索出

6、“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口，將該問題涉及的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的。同時有許多定值問題，通過特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索。如果試題是客觀題形式出現(xiàn)，特珠化方法往往比較奏效。例 4、已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x 軸上，斜率為1 且過橢圓右焦點的直線交橢圓于A 、 B 兩點， OAOB與a(3, 1) 共線。（ 1）求橢圓的離心率；（ 2）設(shè) M 為橢圓上任意一點，且 OMOA OB ( ,R)

7、 ，證明22為定值。例 5、已知，橢圓 C 過點 A (1,3 ) ，兩個焦點為（1，0），（ 1，0）。（ 1）求橢圓 C 的方程；2（ 2） E,F 是橢圓 C 上的兩個動點，如果直線AE 的斜率與 AF 的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF 的斜率為定值，并求出這個定值。將第二問的結(jié)論進行如下推廣：結(jié)論 1.過橢圓 x2 +y2 = 1(a 0, b 0) 上任一點A( x0 , y0 ) 任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于a2b2E、 F 兩點，則直線EF 的斜率為定值b2 x0（常數(shù)）。a2 y0精品文檔精品文檔x2y2結(jié)論 2.過雙曲線 a2 - b2 = 1(a 0, b 0) 上

8、任一點 A( x0, y0 ) 任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于 E、 F 兩點，則直線 EF 的斜率為定值 - b2 x0 （常數(shù)）。a2 y0結(jié)論 3.過拋物線 y2 = 2 px( p 0) 上任一點 A(x0 , y0 ) 任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F 兩p（常數(shù)）。點，則直線 EF 的斜率為定值 -y0例 6、已知橢圓的中心在原點，焦點F 在 y 軸的非負半軸上，點F 到短軸端點的距離是 4，橢圓上的點到焦點 F 距離的最大值是 6.( )求橢圓的標準方程和離心率e ；( )若 F 為焦點 F 關(guān)于直線 y3M 滿足MFe ，問是否存在一個定點A，使M到的對稱點

9、， 動點2MF點 A 的距離為定值？若存在，求出點A 的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.例 7、已知拋物線 C 的頂點在坐標原點，焦點在 x ( )若點 P 為拋物線的焦點，求拋物線 C 的方程；軸上， P(2， 0)為定點( )若動圓 M 過點 P，且圓心 M 在拋物線 C 上運動，點 A 、B 是圓 M 與 y 軸的兩交點，試推斷是否存在一條拋物線 C，使 |AB| 為定值？若存在，求這個定值；若不存在，說明理由例 8、已知橢圓 E 的中心在原點，焦點在 x 軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為2 1 ，離心率為e2x 軸上是否存在（）求橢圓 E 的方程；（）過點 1, 0 作直線

10、l 交 E 于 P 、 Q 兩點，試問：在2uuuruuuurM 的坐標；若不存在，請說明理由一個定點 M ， MP MQ 為定值？若存在，求出這個定點三、定直線問題例 9、設(shè)橢圓 C :x2y22,0) （）求橢圓 C 的方程；a2b2 1(a b 0) 過點 M ( 2,1) ，且焦點為 F1 (（ ） 當(dāng)過 點 P(4,1)的 動直 線 l 與 橢圓 C 相 交 與兩 不同 點 A, B 時 ，在 線段 AB 上 取 點 Q ， 滿足uuuruuuruuurguuur，證明：點 Q 總在某定直線上APgAQPBQB例 10、已知橢圓 C 的離心率 e3A1 2,0 ，A2 2,0 。（）

11、求橢圓C 的方，長軸的左右端點分別為2程；（）設(shè)直線xmy1 與橢圓 C 交于 P、Q 兩點，直線 A 1 P 與 A 2 Q 交于點 S。試問：當(dāng) m 變化時，點S 是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由。精品文檔精品文檔四、其它定值問題例 11、已知雙曲線C :x2y20,b0) 的離心率為3 ，右準線方程為 x3 （）求雙曲線 Ca22 1(ab3的方程；（）設(shè)直線 l 是圓 O : x2y22上動點 P( x0 , y0 )( x0 y0 0) 處的切線， l 與雙曲線 C 交于不同的兩點 A, B ，證明AOB 的大小為定值 .例 12、己

12、知橢圓 x2y 21（ ab0） ,過其中心 O 的任意兩條互相垂直的直徑是1 2a2b 2P P 、Q1Q2，求證：以兩條直徑的四個端點所成的四邊形P1Q1P2Q2 與一定圓相切。y探索定圓 ：取橢圓長軸和短軸為兩直徑，則A2 B2 的方程為P2B 2xy1 ，原點 O到直線 A2 B2 的距離為 rab，aba 2b 2OA 1則與菱形A1 B1 A2 B2 內(nèi)切的圓方程為 x2y2a 2 b2。Q2B 1a 2b2例 13、已知 P (x0 , y0 ) 是雙曲線xya2 (a0) 上的一個定點，過點P 作兩條互相垂直的直線分別交雙曲線于P1 、P2 兩點（異于P 點），求證：直線P1P

13、2 的方向不變。探索定值： 取 P (x0 , a 2 ) ，過 P 點且互相垂直的直線中有一條過原點，則這一條直線x0與曲線的另一個交點P1 (x0 ,a 2) ，其斜率 k PPa 2yx01x 02k PP2x 02PP2 的方程為 yy0x02(x x0 )a 2a 2OPa 2a4x03x02P1把 y,)k P1代入解得 P2 (3a2P2a2（定值）xx0證明 ：設(shè) PP1的斜率為 k21 ，則 PP的斜率為 kQ1A 2xP1P2x PP1的方程為y y0k( xx0 )21( x x0 ) ，與拋物xya2PP 的方程為y y0聯(lián)立解得kP1(y0a 2 k)、 P2( ky

14、0a2a 2x02（定值）k,) ，從而 kP Py02a 2y0ky01 2精品文檔精品文檔EX：過拋物線y2=2px（ P0）上一定點（x0,y 0）作兩條直線分別交拋物線于A， B 兩點，滿足直線PA、 PB斜率存在且傾斜角互補，則AB的斜率為定值。推廣：拋物線推廣到橢圓或雙雙曲線均可。五、練習(xí)21、橢圓中心在原點，焦點在x 軸上，離心率為，三角形 ABM的三個頂點都在橢圓上，其中M點為（ 1，1），且直線 MA、MB的斜率之和為0。（1）求橢圓的方程。（2）求證：直線 AB的斜率是定值。分析：（ 1） x2 +2y2=3（ 2） 122、 已知定點 C (1，0) 及橢圓 x23y25

15、 ，過點 C 的動直線與橢圓相交于A，B 兩點 . （）若線段 AB中點的橫坐標是1 ，求直線 AB 的方程；2（）在 x 軸上是否存在點M ，使MAMB 為常數(shù)？若存在， 求出點 M 的坐標； 若不存在， 請說明理由 .分析： M（7 ，0）4393、已知不垂直于 x 軸的動直線 l 交拋物線 y2=2mx（m0）于若其中 Q點坐標為（ -4 ，0），原點 O為 PQ中點。（ 1）證明：A、B 兩點，若 A、 B 兩點滿足 AQP=BQP，A、 P、B 三點線；（2）當(dāng) m=2時，是否存在垂直于 x 軸的直線l ，使得 l 被以 PA為直徑的圓所截得的弦長為定值？如果存在求出l 的方程。分析

16、：設(shè)點AB的坐標（ 2） l ：x=3.4、 已知橢圓 x2y 21(ab 0) 的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸的兩個端點為A、B，且四邊形 F1AF2Ba2b2是邊長為 2的正方形。（ 1）求橢圓的方程。 （2）若 C、 D 分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M 滿足uuuur uuur）的條件下，試問軸上是否存在異MD CD,連結(jié) CM交橢圓于點 P，證明： OM OP 為值。（ ）在（2xg3于 C 的定點 Q，使得以 MP為直徑的圓過直線 DP， MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標。分析：（ 1） x2y2142（ 2）由 O、 M、 P 三點共線，得ymy puuuur uuur，

17、所以 OM OP4x p2g=4uuuuruuur0 ，得（ 3）設(shè) Q點（ a， 0），由 QMDPa=0.g精品文檔精品文檔5、設(shè) P 為雙曲線x2y21(a,b 0) 上任意一點， F1，F(xiàn)2 是雙曲線的左右焦點，若uuur uuuur22PF1 gPF2 的最小值ab是 -1 ，雙曲線的離心率是23 。（ 1）求雙曲線 C 的方程；（ 2）過雙曲線 C 的右焦點F2 的直線交雙曲線于3A、 B 兩點，過作右準線的垂線，垂足為C，求證：直線AC恒過定點。分析：（ 1） x2y21（ 2）先猜再證：（7 ，0）y1y2 換掉 x1 代入韋達定理得證。方法二：34x17144設(shè) AB：代入方

18、程得：（） y1y24mm23故1y1 y2m23AC： yy1y2(x3)y2 = y1y2x3( y1 y2 )2my1 y2y2 又 2my1y2=- 1 （ y1+y2 ）然后代入韋達3x12my112my1 1222定理得。6、在平面直角坐標系xOy 中,Rt ABC的斜邊 BC恰在 x 軸上，點 B( 2,0) ，C（ 2， 0），且 AD為 BC邊上的高。(I) 求 AD中點 G 的軌跡方程； (II)若過點 (1,0)的直線 l 與 (I) 中 G 的軌跡交于兩不同點 P、 Q，試問在 xuuuruuur求出點 E 的坐標及實數(shù)的值； 若不存在，軸上是否存在定點E(m,0) ，

19、使 PE QE 恒為定值？若存在，請說明理由。分析：（ 1）x2y21(y 0)17定值為33不容易先猜出，只能是化簡求出。4（ 2） m=6487、已知直線 l 過橢圓 E： x22 y22 的右焦點 F, 且與 E 相交于 P， Q兩點。（ 1）uuur1uuuruuur設(shè) OR2(OPOQ) ，求點 R的軌跡方程。（ 2）若直線 l 的傾斜角為60 ，求1111|PF |的值。（當(dāng) l 的傾斜角不定時，可證|PF |是|QF |QF |定值。）分析： x22 y2x 0（ 2）可先猜再證 : 2 2精品文檔精品文檔解析幾何中的定點定值問題考綱解讀： 定點定值問題是解析幾何解答題的考查重點

20、。此類問題定中有動，動中有定，并且常與軌跡問題，曲線系問題等相結(jié)合，深入考查直線的圓，圓錐曲線，直線和圓錐曲線位置關(guān)系等相關(guān)知識?？疾閿?shù)形結(jié)合，分類討論，化歸與轉(zhuǎn)化，函數(shù)和方程等數(shù)學(xué)思想方法。四、定點問題解題的關(guān)健在于尋找題中用來聯(lián)系已知量，未知量的垂直關(guān)系、中點關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關(guān)系，通過整理，變形轉(zhuǎn)化為過定點的直線系、曲線系來解決。例 1、已知 A、B 是拋物線2p( p0) 上異于原點 O 的兩個不同點，直線OA和 OB的傾斜角分別為y =2 x和 ，當(dāng) 、 變化且 +=時，證明直線AB 恒過定點，并求出該定點的坐標。4yB解析 ： 設(shè) A（ y12y1 ）

21、， B（ y22, y2 ），則A2 p2 pxtan2 ptan2 p，代入 tan()1O,y2y1得 2 p( y1y2 ) y1 y24 p2（ 1）又設(shè)直線AB的方程為 ykxb ，則ykxbky22 py2 pb0y22 px y1 y22 pb ,y1y22 p ，代入（ 1）式得 b2 p 2 pkkk直線 AB 的方程為 y2 pk (x2 p)直線 AB 過定點（ - 2 p,2 p)說明 ：本題在特殊條件下很難探索出定點，因此要從已知出發(fā)，把所求的定點問題轉(zhuǎn)化為求直線AB ，再從 AB 直線系中看出定點。22例 2【 2010東城一?！恳阎獧E圓 C ： xy1(a b0)

22、 的離心率為3，以原點為圓心，橢圓的a2b22短半軸長為半徑的圓與直線xy20 相切求橢圓 C 的方程；設(shè) P(4,0) ， M 、 N 是橢圓 C 上關(guān)于 x 軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié)PN 交橢圓 C 于另一點 E ，求直線 PN 的斜率的取值范圍；在的條件下，證明直線ME 與 x 軸相交于定點精品文檔精品文檔2222解析： 由題意知 ec3 ，所以2cab3 ，即24b2，又因為 b1，所以ea1a2a2a 241a24,b21 ，故橢圓 C 的方程為 C ： x2y21 4由題意知直線PN 的斜率存在，設(shè)直線PN 的方程為 yk( x4)yk( x4)聯(lián)立x2消去 y 得：(4 k

23、21)x232k2x4(16k21)0，y214由(32k 2 )24(4 k21)(64k24)0 得 12k210 ，又 k0不合題意，所以直線 PN 的斜率的取值范圍是3k0或0 k3 66設(shè)點 N ( x1 , y1 ),E (x2 , y2 ) ，則 M ( x1 ,y1 ) ，直線 ME 的方程為 yy2y2y1 ( x x2 ) ，x2x1令 y0 ，得 xx2y2 ( x2x1 ) ，將 y1k( x14),y2k (x24)代入整理，得 x2 x1 x24( x1x2 ) y2y1x1x28由得 x1x232k 2, x1 x264k24代入整理，得x1，4k22114k所以

24、直線 ME 與 x 軸相交于定點 (1,0) 【針對性練習(xí)1】 在直角坐標系xOy 中，點M到點13 , 0，23 , 0的距離之和是4，點M的軌FF跡是 C 與 x 軸的負半軸交于點A ，不過點 A 的直線 l : ykxb 與軌跡 C 交于不同的兩點P和Q求軌跡 C 的方程；uuuruuur0 時，求 k 與 b 的關(guān)系，并證明直線l 過定點當(dāng) APAQ解：點 M 到3 , 0，3 , 0的距離之和是4 ， M 的軌跡 C 是長軸為4 ，焦點在 x 軸上焦中為2 32的橢圓，其方程為x214yyPOxQ將 y kxb ，代入曲線C的方程，整理得 (14k 2 )x282kx40，因為直線

25、l 與曲線 C 交于不同的兩點 P 和 Q ，所以64k2b24(14k2 )(4 b24) 16(4k 2b 21)0設(shè) P x1 , y1， Q x2 , y2 ，則 x1 x28 2k， x1 x2141 4 k24k2精品文檔精品文檔且 y1 y2(kx1b)( kx2b)(k2 x1 x2 ) kb(x1x2 )b 2 ，顯然，曲線 C 與 x 軸的負半軸交于點A2,0 ，所uuuruuuruuuruuur以AP11 ，AQ22由 APAQ 0，得(x12)( x22) y1 y20 x 2 , yx 2 , y將、 代入上式， 整理得 12k216kb5b20 所以 (2 k b)

26、 (6k 5b)0 ，即 b2k或 b6k 經(jīng)檢驗，5都符合條件，當(dāng) b2k 時，直線 l 的方程為 ykx 2 k 顯然，此時直線l 經(jīng)過定點2 ,0 點即直線 l經(jīng)過點 A ，與題意不符當(dāng)b6時，直線 l 的方程為 y kx65kk k x655顯然，此時直線l 經(jīng)過定點6, 0點，且不過點A 綜上， k 與 b 的關(guān)系是： b6k ，且直線 l 經(jīng)過定點556點, 05【針對性練習(xí)2】在平面直角坐標系xoy 中，如圖，已知橢圓x2y 2A 、B，右焦點91的左、右頂點為5為 F。設(shè)過點 T（ t, m ）的直線 TA 、TB 與橢圓分別交于點M (x1 , y1 ) 、N (x2 , y

27、2 ) ，其中 m0, y10, y20 。（ 1）設(shè)動點 P 滿足 PF 2PB 24 ,求點 P 的軌跡；（ 2）設(shè) x12, x21，求點 T 的坐標；3（ 3）設(shè) t 9,求證：直線 MN 必過 x 軸上的一定點（其坐標與m 無關(guān)）?！窘馕觥勘拘☆}主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識?？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。解：（ 1）設(shè)點 P（ x， y），則： F（ 2， 0）、 B（ 3， 0）、 A（ -3， 0）。由 PF2PB24 ，得 ( x 2)2y2( x3)2y2 4,化簡得 x9。92故所求點 P 的軌跡為直線。x125）、N（1，20（ 2）將

28、x12, x2分別代入橢圓方程，以及y10, y20得： M（2，）3339直線 MTA 方程為： y0x3 ，即 y1x1 ，502333y0x3 ，即 y55直線 NTB方程為：x。200136293精品文檔精品文檔x7聯(lián)立方程組，解得：10 ，y3所以點 T 的坐標為 (7, 10) 。3（ 3）點 T 的坐標為 (9, m)直線 MTA 方程為：直線 NTB方程為：y 0 x3 ，即 ym (x 3) ，m09312y0x 3 ，即 ym ( x 3) 。m 09 36分別與橢圓 x2y21 聯(lián)立方程組，同時考慮到x13, x23 ，953(80m2 )40 m3(m220)20m2 )解得： M(m2,m2)、 N(2,m。808020 m20y20mx3(m220)（方法一）當(dāng) x1x2時，直線 MN 方程為：20m220m240m20m3(80m2 )3(m220)80m220 m280m220m2令 y0，解得： x