絕對值與相反數(shù)（提高）知識(shí)講解

1、學(xué)霸在路上：精品資料，持續(xù)更新，學(xué)生教師上課必備。絕對值與相反數(shù)（提高）責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1借助數(shù)軸理解絕對值和相反數(shù)的概念； 2知道|a|的絕對值的含義以及互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系； 3會(huì)求一個(gè)數(shù)的絕對值和相反數(shù)，并會(huì)用絕對值比較兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大?。?通過應(yīng)用絕對值解決實(shí)際問題，體會(huì)絕對值的意義和作用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相反數(shù)1定義：如果兩個(gè)數(shù)只有符號不同，那么稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)特別地，0的相反數(shù)是0要點(diǎn)詮釋：（1）“只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同（2）“0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分，不能漏掉（

2、3）相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能說是相反數(shù)（4）求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上“-”號即可2性質(zhì)：（1）互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等（這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱）（2）互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0要點(diǎn)二、多重符號的化簡多重符號的化簡，由數(shù)字前面“-”號的個(gè)數(shù)來確定，若有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡結(jié)果為正，如-(-4)=4 ；若有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡結(jié)果為負(fù)，如-+-(-4)=-4 要點(diǎn)詮釋：（1）在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“”，仍然與原數(shù)相同，如55，（5）5（2）在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“”，就成為原數(shù)的相反數(shù)如（3）就是3的相反數(shù)，因此，（3）3要點(diǎn)三、絕對值 1定義：在數(shù)軸上，一個(gè)

3、數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值，例如+2的絕對值等于2，記作|+2|=2；-3的絕對值等于3，記作|-3|=3要點(diǎn)詮釋：（1）絕對值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0即對于任何有理數(shù)a都有： （2）絕對值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，絕對值越大；離原點(diǎn)的距離越近，絕對值越?。?）一個(gè)有理數(shù)是由符號和絕對值兩個(gè)方面來確定的2性質(zhì)：（1）0除外，絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)（2）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)（0除外）的絕對值相等.（3）絕對值具有非負(fù)性，即任何一個(gè)數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0要點(diǎn)四

4、、有理數(shù)的大小比較 1數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出這兩個(gè)有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小 如：a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則ab2法則比較法：兩個(gè)數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號分類，情況如下：兩數(shù)同號同為正號：絕對值大的數(shù)大同為負(fù)號：絕對值大的反而小兩數(shù)異號正數(shù)大于負(fù)數(shù)數(shù)為0正數(shù)與0：正數(shù)大于0負(fù)數(shù)與0：負(fù)數(shù)小于0要點(diǎn)詮釋：利用絕對值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟：（1）分別計(jì)算兩數(shù)的絕對值；（2）比較絕對值的大小：（3）判定兩數(shù)的大小3 作差法：設(shè)a、b為任意數(shù)，若a-b0，則ab；若a-b0，則ab；若a-b0，ab；反之成立4 求商法：設(shè)a、b為任意正數(shù)，若，則；若，則；若，則；反之也成立若a、b為任意

5、負(fù)數(shù)，則與上述結(jié)論相反5 倒數(shù)比較法：如果兩個(gè)數(shù)都大于零，那么倒數(shù)大的反而小【典型例題】類型一、相反數(shù)的概念1（2014常德一模）若m與n互為相反數(shù)，則|m+n2|= 【答案】2【解析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的性質(zhì)，可知，代入上式可得：|m+n2|=|02|=2【總結(jié)升華】若互為相反數(shù)，則或舉一反三：【變式】（2014秋監(jiān)利縣期末）若|x2|與（y+3）2互為相反數(shù)，則x+y= 【答案】-1.|x2|與（y+3）2互為相反數(shù)，|x2|+（y+3）2=0，x2=0，y+3=0，解得x=2，y=3，x+y=2+（3）=1故答案為：1類型二、多重符號的化簡 2化簡下列各數(shù)； ； ；【答案】6； ；6

6、；-6；6【解析】表示-6的相反數(shù)，所以；表示+6的相反數(shù)，所以； 前面共有2個(gè)“-”號，為偶數(shù)個(gè)，而“+”可以省略，所以；中共有3個(gè)“-”號，即奇數(shù)個(gè)，而“+”可以省略，所以=-6；中共有4個(gè)“-”號，即偶數(shù)個(gè)，而 “+”可以省略，所以【總結(jié)升華】多重符號化簡的規(guī)律解決這類問題較為簡單即數(shù)一下數(shù)字前面有多少個(gè)負(fù)號若有偶數(shù)個(gè)，則結(jié)果為正；若有奇數(shù)個(gè)，則結(jié)果為負(fù)類型三、絕對值的概念3如果|x|6，|y|4，且xy試求x、y的值【思路點(diǎn)撥】6和-6的絕對值都等于6，4和-4的絕對值都等于4，所以要注意分類討論【答案與解析】因?yàn)閨x|6，所以x6或x-6； 因?yàn)閨y|4，所以y4或y-4； 由于xy

7、，故x只能是-6，因此x-6，y4【總結(jié)升華】已知絕對值求原數(shù)的方法：(1)利用概念；(2)利用數(shù)形結(jié)合法在數(shù)軸上表示出來無論哪種方法但要注意若一個(gè)數(shù)的絕對值是正數(shù)，則此數(shù)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)此外，此題x-6，y4，就是x-6，y4或x-6，y-4舉一反三：【變式】如果數(shù)軸上的點(diǎn)a到原點(diǎn)的距離是6，則點(diǎn)a表示的數(shù)為 如果x21，那么x ； 如果x3，那么x的范圍是 【答案】6或-6；1或3；或類型四、比較大小 4 比較下列每組數(shù)的大?。?(1)-(-5)與-|-5|；(2)-(+3)與0；(3)與；(4)與【思路點(diǎn)撥】先化簡符號，去掉絕對值號再分清是“正數(shù)與零、負(fù)數(shù)與零、正數(shù)與負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)還

8、是兩個(gè)負(fù)數(shù)”，然后比較【答案與解析】 (1)化簡得：-(-5)5，-|-5|-5 因?yàn)檎龜?shù)大于一切負(fù)數(shù)，所以-(-5)-|-5|(2)化簡得：-(+3)-3因?yàn)樨?fù)數(shù)小于零，所以-(+3)0(3)化簡得：這是兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，因?yàn)椋宜?(4)化簡得：-|-3.14|-3.14，這是兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，因?yàn)?|-|，|-3.14|3.14，而3.14，所以-|-3.14|【總結(jié)升華】在比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小時(shí)，可按下列步驟進(jìn)行：先求兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值，再比較兩個(gè)絕對值的大小，最后根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確的判斷類型五、含有字母的絕對值的化簡 5（2016春都勻市校級月考）若1x4，則|

9、x+1|x4|= 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)絕對值的性質(zhì)：當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對值是它本身a； 當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對值是它的相反數(shù)a,可得|x+1|=x+1，|x4|=x+4，然后再合并同類項(xiàng)即可【答案】2x3【解析】解：原式=x+1（x+4），=x+1+x4，=2x3.【總結(jié)升華】此題主要考查了絕對值，關(guān)鍵是掌握絕對值的性質(zhì)，正確判斷出x+1，x4的正負(fù)性舉一反三：【變式】已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示：化簡：【答案】由圖所示，可得 ， 原式類型六、絕對值非負(fù)性的應(yīng)用 6 已知a、b為有理數(shù)，且滿足：，則a=_，b=_【答案與解析】由，可得 【總結(jié)升華】由于任何一個(gè)數(shù)的絕

10、對值大于或等于0，要使這兩個(gè)數(shù)的和為0，需要這兩個(gè)數(shù)都為0幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)數(shù)均為0舉一反三：【變式】已知b為正整數(shù)，且a、b滿足，求的值【答案】 由題意得 所以，類型七、絕對值的實(shí)際應(yīng)用7一只可愛的小蟲從點(diǎn)o出發(fā)在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記為負(fù)數(shù)，小蟲爬行的各段路程(單位：cm)依次記為：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行過程中，如果小蟲每爬行1cm就獎(jiǎng)勵(lì)2粒芝麻，那么小蟲一共可以得到多少粒芝麻?【思路點(diǎn)撥】總路程應(yīng)該為小蟲爬行的距離和，和方向無關(guān).【答案與解析】小蟲爬行的總路程為：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|5+3+1