新第5講(學(xué)生版)勾股定理經(jīng)典例題.0001

1、專項輔導(dǎo)第5講勾股定理經(jīng)典題1、已知直角三角形的兩邊，求第三邊勾股定理 2、求直角三角形周長、面積等問題3、驗證勾股定理成立1、勾股數(shù)的應(yīng)用勾股定理丿勾股定理的逆定理2、判斷三角形的形狀3、求最大、最小角的問題19勾股定理的應(yīng)用1、面積問題2、求長度問題3、最短距離問題4、航海問題5、網(wǎng)格問題 6、圖形問題類型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中，/ C=90(1) 已知 a=6, c=10,求 b, (2)已知 a=40, b=9，求 c;(3)已知 c=25, b=15,求 a.思路點撥：寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用舉一反三 【變式】：如圖

2、/B= / ACD=90 , AD=13,CD=12, BC=3，則AB的長是多少 類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用如圖，已知：在中，二-百，亠川，亠求：BC的長.舉一反三【變式1】如圖，已知:一； 宀二于P.求證：寸-一F 蟲.B【變式 2】已知：如圖，/ B= / D=90,/ A=60 , AB=4 , CD=2 求：四邊形ABCD的面積。c類型三：勾股定理的實際應(yīng)用（一）用勾股定理求兩點之間的距離問題3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東60方向走了(2)I -I.到達B點，然后再沿北偏西30方向走了 500m到達目的地C點。（1）求A、C兩點之間的距離。確定目的地C

3、在營地A的什么方向【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高 2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工 廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門？（二）用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng) 改造，某地有四個村莊 A、B、C、D，且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實線部分.請你幫助計算一下, 哪種架設(shè)方案最省電線.BDECH(4)思路點撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計算線路長，然后進行比較，得出結(jié)論.【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm,高AE

4、為4cm, EC是上底面的直徑.只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點 C,試求出爬行的最短路程.解:類型四：利用勾股定理作長為麗 的線段5、作長為匸、九；、心的線段。思路點撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于 匸，直角邊 為匸和1的直角三角形斜邊長就是 丄，類似地可作宀。8B作法：【變式】在數(shù)軸上表示訂的點類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確（1）.原命題：貓有四只腳.（正確）（2）.原命題：對頂角相等（正確）（3） .原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等.（正確）（4） .原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相

5、等.（正確）7、如果 ABC 的三邊分別為 a、b、c,且滿足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷 ABC的形狀?！咀兪?1】四邊形 ABCD 中，/ B=90, AB=3 , BC=4, CD=12, AD=13，求四邊形ABCD的面積【變式2】已知：AABC的三邊分別為m2 n2,2mn,m2+n2（m,n為正整數(shù)，且m n）, 判斷 ABC是否為直角三角形.1【變式3】如圖正方形ABCD , E為BC中點，F(xiàn)為AB上一點，且BF- AB請問FE與DE是否垂直？請說明B E C經(jīng)典例題精類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是 3： 4，斜邊長是20

6、，求此直角三角形的面積。舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長為2,求它的面積?！咀兪?】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積?！咀兪?】若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n【變式4】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A、8，15，17 B、4，5，6C、5，8，10 D、8，39，40類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且/ QPN= 30，點A處有一所中學(xué), AP = 160m。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受

7、影響，已知拖 拉機的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？舉一反三 【變式1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”,在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了 路（假設(shè)2步為1m）,卻踩傷了花草。【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊 長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。（1）直接寫出單位正三角形的高與 面積。（2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形 ABCD的面 積是多少？ （ 3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）。類型三：數(shù)學(xué)思想方法 （一）轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進

8、行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn) 化為直角三角形問題來解決.3、如圖所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC , D是斜邊BC的中點，E、F分別 是AB、AC邊上的點，且 DE丄DF，若BE=12, CF=5.求線段EF的長。B（二）方程的思想方法_4、如圖所示，已知 ABC 中，/ C=90,Z A=60 一一一 - 二；，求“、1 的值舉一反三：【變式】如圖所示，折疊矩形的一邊 AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm , BC=10cm，求 EF 的長。B F考點一：勾股定理相關(guān)概念性質(zhì)(1)對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c,那么

9、一定有a2 b2 = c2勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。(2) 結(jié)論： 有一個角是30的直角三角形，30角所對的直角邊等于斜邊的一半。 有一個角是45的直角三角形是等腰直角三角形。 直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。(3) 勾股定理的驗證例題：例1:已知直角三角形的兩邊，利用勾股定理求第三邊。(1) 在 Rt ABC 中，/ C=90 若 a=5, b=12，貝U c=; 若 a=15, c=25，則 b=; 若 c=61 , b=60,則 a=; 若 a : b=3 : 4, c=10 貝U Rt ABC 的面積是=。(2) 如果直角三角形的兩直角邊長分別為n2 -1

10、 , 2n (n1),那么它的斜邊長是()A、2nB、n+1C、n 1D、n +1(3) 在Rt ABC中，a,b,c為三邊長，則下列關(guān)系中正確的是()2丄222丄 22A. a b c b. a c b222C. c b =ad.以上都有可能(4) 已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是()A、25B、14C、7D、7 或 25例2:已知直角三角形的一邊以及另外兩邊的關(guān)系利用勾股定理求周長、面積等問題。(1) 直角三角形兩直角邊長分別為5和12,則它斜邊上的高為 。(2) 已知 Rt ABC 中，/ C=90 ，若 a+b=14cm, c=10cm，貝U Rt ABC 的

11、面積是(2A、24 cm2B、36 cm2C、48 cm2D、60 cm（3）已知x、y為正數(shù)，且|x2-4 I + （y2-3） 2=0 ,如果以x、y的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角 形的斜邊為邊長的正方形的面積為（）A、 5B、 25C、 7D、 15例2:面積問題（1）下圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3,則最大正方形E的面積是（C. 47D. 94A. 13B. 26（圖1）（圖2）（圖3）（3）如圖， ABC為直角三角形，分別以 AB，BC，AC為直徑向外作半圓，用勾股定理說

12、明三個半圓的面積關(guān)系,可得（）A. S 計 S2 S3B. S什 S2= S3C. S2+S3 S1（2）如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個正三角形，A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3 S1例3:求長度問題D.以上都不是其面積分別是S1、S2、S3,則它們之間的關(guān)系是（）D. S2- S3=S1（1）小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。（2）在一棵樹10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20m處的池塘A處；？另外一只爬到樹頂 D處后直接躍到A夕卜，距離以直

13、線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高?例4:最短路程問題2(1)如圖1，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2, AB , CD分別是兩底面的直徑，AD , BC是母線，若一只小蟲從A點出發(fā)，從側(cè)面爬行到 C點,則小蟲爬行的最短路線的長度是。(結(jié)果保留根式)(2)如圖2,有一個長、寬、高為3米的封閉的正方體紙盒，一只昆蟲從頂點A要爬到頂點B,那么這只昆蟲爬行的最短距離為DCAB(圖1)(圖2)例5:航海問題(1) 一輪船以16海里/時的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時以12海里/時的速度從A港向西北方向航行,經(jīng)過1.5小時后，它們相距海里.(2)如圖1,某貨船以24海里/時的

14、速度將一批重要物資從A處運往正東方向的 M處，在點A處測得某島C在北偏30。的方向上，已知在 C島周圍9海里的東60的方向上。該貨船航行30分鐘到達B處，此時又測得該島在北偏東區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險？試說明理由。（圖1）（圖2）的B處有一臺風(fēng)中心，沿 BC方向以15km/h(3) 如圖2，某沿海開放城市 A接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向260km的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=100km，那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的破壞的危險，正在脫離危險？例6:網(wǎng)格問題D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾

15、小時內(nèi)撤離才可(1) 如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，則網(wǎng)格上的三角形 ABC中，邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是()A . 0 B . 1 C . 2 D . 3(2) 如圖，正方形網(wǎng)格中的 ABC，若小方格邊長為 1,則厶ABC是()A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上答案都不對(3) 如圖，小方格都是邊長為 1的正方形，則四邊形ABCD的面積是()A.25B. 12.5C. 9 D. 8.5AD（圖2）（圖3）(圖1)例7:圖形問題(1)如圖1,求該四邊形的面積(2)如圖2,已知，在厶ABC中，/ A= 45 AC=返,AB= J3+1，則邊BC的長為C 3BC12-D/

16、413.AADB（圖1）（圖2）(3)某公司的大門如圖所示，其中四邊形AECD是長方形，上部是以AD為直徑的半圓，其中AE =2.3 m,BC =2 m現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車，高為2.5m ,寬為1.6m，問這輛卡車能否通過公司的大門？并說明你的理由(4) (太原)將一根長 24 cm的筷子置于地面直徑為 5 cm,高為12 cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長為hcm,貝U h的取值范圍。課后作業(yè)：【中考鏈接】1. 如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC= 6 cm、BC = 8 cm,現(xiàn)將 ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為 DE,則BE的長為(A) 4 cm( B) 5 cm(

17、C) 6 cm( D) 10 cmAB2. 如圖所示，在 Rt ABC中，/ C = 90，/ A = 30, BD是/ ABC的平分線，CD = 5 cm,求 AB的長.3. 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形:使三角形的三邊長分別為3、-、8、. 5 (在圖甲中畫一個即可)；使三角形為鈍角三角形且面積為4(在圖乙中畫一個即可)4. 下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是()A.1 , 2, 3B.2 , 3, 4C.3 , 4, 5D.4 , 5, 65 .在 AABC 中，AB=6 , AC=8, BC=10 ,則該三角形為()6. A .銳角三角形B 直角三角形C .鈍角三角形D 等腰直角三角形6.已知 ABC是邊長為1的等腰直角三角形，以 Rt ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰 Rt ACD再以Rt ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰 Rt