高中數(shù)學(xué)-圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)公式及應(yīng)用

1、圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)公式及應(yīng)用如果圓錐曲線的一條弦所在的直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)， 則稱此弦為焦點(diǎn)弦。 圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題涉及到離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點(diǎn)（向量）、焦半徑和焦點(diǎn)弦長(zhǎng)等有關(guān)知識(shí)。焦點(diǎn)弦是圓錐曲線的“動(dòng)脈神經(jīng)”，集數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和解題策略于一體，倍受命題人青睞， 在近幾年的高考中頻頻亮相，題型多為小題且位置靠后屬客觀題中的壓軸題，也有作為大題進(jìn)行考查的。本文介紹圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦問(wèn)題的幾個(gè)重要公式及應(yīng)用，與大家交流。定理 1已知點(diǎn)是離心率為的圓錐曲線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的弦的軸的夾角為，且。（1）當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)，有（2）當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線），有。證明設(shè)直線是焦點(diǎn)所對(duì)

2、應(yīng)的準(zhǔn)線， 點(diǎn)在直線上的射影分別為直線上的射影為。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，所以。（1）當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)。與的焦點(diǎn)所在；，點(diǎn)在， 又如 圖1 ， 所 以。圖 1（2）當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）。如圖 2，所以。圖 2評(píng)注 特別要注意焦點(diǎn)外分焦點(diǎn)弦（此時(shí)曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點(diǎn)弦時(shí)公式的不同，這一點(diǎn)很容易不加區(qū)別而出錯(cuò)。例 1（ 2009 年高考全國(guó)卷理科題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)。若，則的離心率為（）解這里，所以，又，代入公式得，所以，故選。例 2（ 2010 年高考全國(guó)卷理科第12 題）已知橢圓的離心率為。過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線于相交于兩點(diǎn)，若，則（）解這里，設(shè)直

3、線的傾斜角為，代入公式得，所以，所以，故選。例 3 （08 高考江西卷理科第15 題）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸左側(cè)），則有圖 3解 如圖 3，由題意知直線與拋物線的地稱軸的夾角，當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，設(shè)，又，代入公式得，解得，所以。例 4 （ 2010 年高考全國(guó)卷理科第16 題）已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，則的離心率為解設(shè)直線與焦點(diǎn)所在的軸的夾角為，則，又，代入公式得，所以。例 5（自編題） 已知雙曲線的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為的直線交的兩支于兩點(diǎn)。若，則解這里，因直線與左右兩支相交， 故應(yīng)選擇公式，代入公式得，所以所以，所以。

4、定理2已知點(diǎn)和直線是離心率為的圓錐曲線的焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為。過(guò)點(diǎn)的弦與曲線的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為，則有。證明設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，所以。圖 4（ 1）當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)。如圖4，。，所以較長(zhǎng)焦半徑，較短焦半徑。所以。（ 2）當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）。圖 5如圖5，。所以，所以較長(zhǎng)焦半徑，較短焦半徑。所以。綜合（ 1）（ 2）知，較長(zhǎng)焦半徑，較短焦半徑。焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為。特別地，當(dāng)曲線為無(wú)心曲線即為拋物線時(shí)，焦準(zhǔn)距就是徑之半，較長(zhǎng)焦半徑，較短焦半徑，焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為。當(dāng)曲線為有心曲線即為橢圓

5、或雙曲線時(shí)，焦準(zhǔn)距為。注由上可得， 當(dāng)焦點(diǎn)內(nèi)分弦時(shí)，有。當(dāng)焦點(diǎn)外分弦時(shí)，有。例 6 （ 2009 年高考福建卷理科第13 題）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)為 8，則解由拋物線焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為得，解得。例 （7 2010 年高考遼寧卷理科第20 題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)且傾斜角為的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，已知。（1）求橢圓的離心率；（2）若，求橢圓方程。解（ 1）這里，由定理1 的公式得，解得。（2）將，代入焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式得，解得，即，所以，又，設(shè)，代入得，所以，所以，故所求橢圓方程為。例 8（ 2007 年重慶卷第16 題）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直

6、線，交雙曲線于兩點(diǎn)，則的值為解易知均在右支上，因?yàn)?，離心率，點(diǎn)準(zhǔn)距，因傾斜角為，所以。由焦半徑公式得，。例 9（由 2007 年重慶卷第16 題改編）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交雙曲線于兩點(diǎn)，則的值為所以解因?yàn)?。注意到，離心率，點(diǎn)準(zhǔn)距分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式得，因傾斜角為，。例 10 （ 2007 年高考全國(guó)卷） 如圖過(guò) 的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，過(guò)6，已知橢圓的直線交橢圓于的左、右焦點(diǎn)分別為兩點(diǎn)，且。求四邊，形面積的最小值。圖 6解由方程可知，則。設(shè)直線與軸的夾角為，因?yàn)椋灾本€與軸的夾角為。代入弦長(zhǎng)公式得，。故四邊形的面積為，。所以四邊形面積的最小值為。參考文獻(xiàn)：鄭麗兵。 一道解析幾何調(diào)研題的解答、拓廣與應(yīng)用。 數(shù)學(xué)通訊。 2