城市快速交通線票價(jià)的優(yōu)化模型

1、城市快速交通線票價(jià)的優(yōu)化模型09級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 王棚1問題的提出隨著經(jīng)濟(jì)和社會的快速發(fā)展,我們不得不面對城市快速交通線項(xiàng)目問題.城市快速交通線項(xiàng)目的建設(shè)與運(yùn)營涉及公眾利益,政府通常要對票價(jià)實(shí)行管制.票價(jià)的高低影響到公眾的利益、項(xiàng)目投資者的利益和政府的財(cái)政支出.因此,應(yīng)兼顧公眾利益、投資者利益和政府的財(cái)政支付能力對快速交通線的票價(jià)進(jìn)行管制.根據(jù)以上的要求研究下列問題.1.試建立最優(yōu)票價(jià)模型,從而為乘客選擇交通工具提供指導(dǎo).2.城市快速交通線項(xiàng)目票價(jià)和運(yùn)量之間存在著相關(guān)關(guān)系,對于城市快速交通線項(xiàng)目,需要兼顧公眾的利益、項(xiàng)目投資者的利益和政府的承受能力.請建立數(shù)學(xué)模型,結(jié)合運(yùn)量預(yù)測研究票價(jià)的合理水

2、平.3.當(dāng)項(xiàng)目的票款收入不足于維持正常運(yùn)營或不足于使民間投資者獲得合理的投資回報(bào)時(shí),政府需要采取適當(dāng)?shù)姆绞浇o予投資者以合理的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償.試分析并確定合理的年經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償或一次性的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償.2模型的準(zhǔn)備2.1問題的分析要對快速交通線的票價(jià)進(jìn)行管制,即要為快速交通工具制定一個(gè)合理的價(jià)格.而票價(jià)的高低受到公眾的利益、項(xiàng)目投資者的利益和政府的財(cái)政支付能力等因素的影響,因此在制定合理的票價(jià)水平過程中不僅要考慮投資的成本、客流量以及客票總收入的影響,而且要考慮社會總福利的大小.所以我們可以結(jié)合運(yùn)量、成本、社會福利等因素來建立數(shù)學(xué)模型對票價(jià)水平進(jìn)行研究.22模型的假設(shè)2.2.1 城市快速交通工具僅考慮地鐵;2.2

3、.2 在其它競爭交通工具中只考慮公共汽車對快速交通工具的影響;2.2.3 當(dāng)快速交通工具運(yùn)營后其出行時(shí)間及舒適、安全、方便等屬性固定不變;2.2.4城市快速交通工具在所有時(shí)段(高峰期和非高峰期)的邊際成本一樣;2.2.5 所制定的最優(yōu)票價(jià)即為運(yùn)營票價(jià).3 最優(yōu)票價(jià)模型乘客對交通工具的選擇實(shí)際上是一個(gè)決策的過程,在此過程中乘客總是希望能夠選擇廣義效用最大的交通工具.這種效用在交通研究中通常采用廣義效用函數(shù)的形式表示.假定在出行中乘快速交通工具和公共汽車的廣義效用函數(shù)分別為 、 ,由于乘客在選擇某種交通工具時(shí)所用的時(shí)間和票價(jià)越小則其所得到的效用就越大,同時(shí)當(dāng)其所選的交通工具的安全、舒適、方便等屬性

4、的值越大時(shí)所得到的效用也越大.則可以表示為: 其中第()種交通工具的旅行時(shí)間；第種交通工具的票價(jià)；第種交通懲罰因子,表示未被包含的屬性如舒適、安全、方便等.、為待定系數(shù). 乘客對交通工具的選擇常常帶有一定的隨機(jī)性,是一個(gè)隨機(jī)事件.因此在計(jì)算客運(yùn)量的大小時(shí)可以結(jié)合乘客選擇各種交通工具概率的大小來進(jìn)行計(jì)算.而根據(jù)相關(guān)資料可知乘客對交通工具的選擇可用模型來進(jìn)行描述,其基本形式為: 式中 乘客選擇第種交通工具的概率；交通工具的種類(這里只考慮城市快速交通工具和公共汽車)； 為調(diào)節(jié)參數(shù).根據(jù)假設(shè)知各種交通方式的出行時(shí)間、方便性、舒適性、安全性等固定不變,因此只須考慮票價(jià)的變化對客流量的影響即可.假設(shè)、為

5、常量,且公共汽車的票價(jià)已知,所以乘坐快速交通工具的概率為： 其中,為參數(shù).結(jié)合和,假設(shè)在特定的區(qū)間內(nèi)乘坐公共汽車和快速交通工具的總客流量為,則乘坐快速交通線工具的客流量為 從可以看出:當(dāng)升高時(shí),相應(yīng)下降,即會導(dǎo)致部分客流轉(zhuǎn)移到其他交通方式中,降低時(shí)上升,這時(shí)則會吸引其他交通方式的乘客選擇快速交通工具.由此可知必然存在最優(yōu)票價(jià)使得客票收入最大,即使 最大.令,即可求得最優(yōu)票價(jià),因此有 通過軟件運(yùn)用逐步逼近法即可把式中的求出，所求得的即為快速交通工具的最優(yōu)票價(jià).4拉姆齊模型41拉姆齊模型的高峰負(fù)荷定價(jià)法對于 最優(yōu)票價(jià)模型,在求最優(yōu)票價(jià)的過程中只考慮了客票收入對票價(jià)的影響,但是為了能夠使快速交通給社

6、會帶來更大的效益,并且充分發(fā)揮其對城市交通擁擠的緩解作用,最優(yōu)票價(jià)應(yīng)定為能夠使城市快速交通線項(xiàng)目充分發(fā)揮其運(yùn)能且能使客票收入最大的票價(jià).因此應(yīng)對票價(jià)的合理水平進(jìn)一步研究,下面結(jié)合運(yùn)量的預(yù)測給出一種新的定價(jià)方法:拉姆齊模型的高峰負(fù)荷定價(jià)法.42拉姆齊模型的建立經(jīng)分析知影響城市快速交通線項(xiàng)目票價(jià)的主要因素是:城市快速交通線項(xiàng)目成本、公眾承受能力、其他公共交通工具的競爭.城市快速交通線項(xiàng)目的固定成本和運(yùn)營成本都十分龐大,因此僅僅依據(jù)成本來制定票價(jià)將大大超出乘客的承受能力從緩解城市交通的擁擠和維護(hù)項(xiàng)目投資者自身利益考慮,快速交通線的票價(jià)應(yīng)與其他公共交通工具的票價(jià)有合理的比例,這樣既能體現(xiàn)快速交通線項(xiàng)目

7、的方便、快捷和環(huán)保,又能吸引大部分的客流,從而創(chuàng)造可觀的經(jīng)濟(jì)效益和社會效益.綜上分析,由于快速交通線項(xiàng)目巨額的固定成本導(dǎo)致其平均成本要比邊際成本高很多,如果采用邊際成本定價(jià),雖然能夠?qū)崿F(xiàn)資源的利用率最大,但企業(yè)會出現(xiàn)巨額的虧損,還將導(dǎo)致快速交通過于擁擠.如果采用盈虧平衡定價(jià),又會超出居民的承受能力,不能起到緩和交通阻塞的功能.因此政府必須尋求既不使企業(yè)出現(xiàn)赤字又能夠滿足公眾利益的定價(jià)方式,即在收支平衡的約束下追求社會福利的最大化.在西方通常采用拉姆齊定價(jià)法.拉姆齊定價(jià)的基本思路是:既然邊際成本定價(jià)會造成企業(yè)虧損和政府負(fù)擔(dān)過重而不能采用,那至少應(yīng)該限制企業(yè)的超額利潤但又要使其盈虧相抵,收支平衡.

8、這樣按平均成本確定的價(jià)格仍然可以使社會福利達(dá)到次優(yōu).其推導(dǎo)過程如下:已知快速交通線的客票收入為,運(yùn)營成本函數(shù)為,則收支平衡條件:.由經(jīng)濟(jì)學(xué)知識:社會福利函數(shù) ,所以要在收支平衡條件的約束下實(shí)現(xiàn)福利的最大化,可根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法求得: 對關(guān)于式求導(dǎo)并令其為零有: 已知快速交通工具的邊際成本,需求價(jià)格彈性,則式可化簡為: 令,則式變?yōu)? 式中為拉姆齊系數(shù),即對邊際成本價(jià)格打一定折扣或給予一定加成的系數(shù).由上所推得的式即為拉姆齊定價(jià)模型.因此可根據(jù)拉姆齊定價(jià)模型在求得相應(yīng)的邊際成本、需求價(jià)格彈性系數(shù)和拉姆齊系數(shù)時(shí)由（10）式求得價(jià)格.43高峰負(fù)荷定價(jià)算法因?yàn)槌鞘泄步煌ǖ男枨罅看嬖谥芷谛圆▌?形成明

9、顯的高峰期和非高峰期,且消費(fèi)者在高峰期對價(jià)格的關(guān)注程度小于非高峰期,因此可結(jié)合“高峰負(fù)荷定價(jià)法”來求得最優(yōu)票價(jià).首先令、和分別表示高峰和非高峰期的價(jià)格、邊際成本和價(jià)格需求彈性系數(shù)則(10)式可變形為 由于城市快速交通在所有時(shí)段的邊際成本一樣,故可變?yōu)?其次利用求得在所有時(shí)段(不考慮高峰期和非高峰期)的盈虧平衡價(jià)格,由定義求出在所有時(shí)段的邊際成本、價(jià)格需求彈性系數(shù)和非高峰期的價(jià)格需求彈性系數(shù),根據(jù)式可得 由即可求得非高峰期的票價(jià)，.由于票價(jià)的高低在乘客對各種交通工具的選擇過程中起著決定性的作用,而城市交通最擁擠和繁忙的時(shí)段是在高峰時(shí)段,那么政府可用非高峰時(shí)段的票價(jià)代替盈虧平衡點(diǎn)的票價(jià)作為最優(yōu)票價(jià)

10、.此時(shí)求得的最優(yōu)票價(jià)明顯低于盈虧平衡點(diǎn)的票價(jià),因此能夠吸引更多的乘客選擇乘坐快速交通工具,充分發(fā)揮其對城市交通擁擠的緩解作用.這樣便能最大限度地對城市交通的客流,特別是在高峰時(shí)段的客流進(jìn)行疏導(dǎo).44邊際成本、客流量和價(jià)格需求彈性系數(shù)的求解按照經(jīng)濟(jì)學(xué)原理知快速交通線項(xiàng)目運(yùn)營成本與客流量滿足函數(shù): 其中、為參數(shù).在生產(chǎn)規(guī)模不變的情況下,邊際成本實(shí)際上就是運(yùn)營成本對客流量的導(dǎo)數(shù),即 對兩邊同時(shí)取對數(shù) 其中、可根據(jù)有關(guān)部門提供的歷史客流量和運(yùn)營成本的數(shù)據(jù)用線性回歸擬合得到.而客流量可由歷史趨勢外推法預(yù)測得到,即根據(jù)預(yù)測期前若干年的客運(yùn)量、平均增長率推算預(yù)測年度客運(yùn)量的一種方法,預(yù)測模型為: 其中；距預(yù)

11、測年度最近年度的客運(yùn)量實(shí)際數(shù)；距預(yù)測年度最遠(yuǎn)年度的客運(yùn)量實(shí)際數(shù)；客運(yùn)量年平均增長率；預(yù)測年度與最近度的時(shí)間間隔年數(shù)；_客運(yùn)量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的最近年度與最遠(yuǎn)年度之間的時(shí)間間隔.同樣根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)原理,運(yùn)量與票價(jià)之間存在以下關(guān)系 式中為常數(shù).對等號兩邊同時(shí)取對數(shù)得 根據(jù)快速交通線項(xiàng)目的歷史數(shù)據(jù)用線性回歸可估計(jì)出價(jià)格需求彈性.5最優(yōu)票價(jià)下的政府經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償模型當(dāng)項(xiàng)目的票款收入不足以維持正常運(yùn)營或不足以使民間投資者獲得合理的投資回報(bào)時(shí)政府需要采取適當(dāng)?shù)姆绞浇o予投資者合理的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償.如果有除政府之外的其他投資者參與城市快速交通線項(xiàng)目的投資,政府應(yīng)為項(xiàng)目投資者擬定一個(gè)合理的許可投資回報(bào)率.為此我們可假設(shè)項(xiàng)目投資者的投資

12、回報(bào)率為(通常取為長期國債利率加上12個(gè)百分點(diǎn)),設(shè)在項(xiàng)目成本已定的情況下,能夠使項(xiàng)目的投資回報(bào)率達(dá)到許可投資回報(bào)率的平均成本票價(jià)為,則 其中-城市快速交通工具能夠使項(xiàng)目的投資回報(bào)率達(dá)到許可投資回報(bào)率的每公里平均成本票價(jià)；項(xiàng)目總投資中扣除政府無償投資后的余額； 項(xiàng)目建成后的年運(yùn)營成本；年繳納稅金總額.如果平均成本票價(jià)低于能使城市快速交通線項(xiàng)目充分發(fā)揮其運(yùn)能,且能使客票收入最大的最優(yōu)票價(jià)時(shí),政府無須對城市快速交通線項(xiàng)目作額外的補(bǔ)償.如果測算出的城市快速交通工具的平均成本票價(jià)高于最優(yōu)票價(jià)時(shí),此時(shí)政府應(yīng)對城市快速交通線項(xiàng)目作適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)補(bǔ)償.若政府分年對投資者給予經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償,則由上面的分析可計(jì)算出一年的

13、經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償為 若政府對投資者進(jìn)行一次性補(bǔ)償,根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)原理可以假設(shè)年經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償?shù)钠骄鲩L率為,則第年的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金額為: 所以一次性的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償額為: 式中 表示投資期限,單位為:年； 為第年的補(bǔ)償金額； 為一次性總的補(bǔ)償金. 6模型的評價(jià)和推廣本文在研究城市快速交通最優(yōu)票價(jià)模型的過程中參考了公共定價(jià)中比較常用的定價(jià)方法,并根據(jù)城市快速交通的特點(diǎn)進(jìn)行了比較合理的假設(shè)和簡化.所得的結(jié)果比較合理,而且所建立的模型對于電力系統(tǒng)、教育部門、鐵路部門等其他公用事業(yè)部門的價(jià)格管制都有一定的參考價(jià)值.但是在求解的過程中沒有考慮除了公共汽車之外的其它交通工具對城市快速交通工具的影響,而且沒有詳細(xì)分析乘客實(shí)際時(shí)間價(jià)值的

14、變化以及競爭交通工具票價(jià)的變化對城市快速交通最優(yōu)票價(jià)的影響.更全面的研究應(yīng)考慮這些因素. 致 謝：畢業(yè)論文寫作完畢。回想起論文的寫作過程，一直得到簡國明副教授對我的關(guān)心、支持與幫助。簡老師知識淵博，工作認(rèn)真負(fù)責(zé)，從2000年開始一直擔(dān)任我校大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽主教練本人也兩度參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，在簡老師的辛勤栽培下，我的數(shù)學(xué)思想、方法以及綜合素質(zhì)都有了很大的提高在本篇論文的選題、論證、撰寫中得到了簡老師的悉心指導(dǎo)，簡老師提供或查找資料、幫助我解決各個(gè)疑難問題、并在修改論文時(shí)提出很多的意見和建議，論文能如期完成，是與簡老師的指導(dǎo)、教育分不開的在此，本人特向簡老師表示衷心的感謝祝簡老師身體健康、工作順利、萬事勝意！參考文獻(xiàn)1 任俊生中國公用產(chǎn)品價(jià)格管制北京:經(jīng)濟(jì)管理出版社,20022 安金、毛保華、鄒良東交通方式選擇模型與應(yīng)用研究北京:內(nèi)蒙古公路與運(yùn)輸,(1):3335,19973 仝保華城市快速交通線項(xiàng)目的最優(yōu)票價(jià)與政府補(bǔ)償北京:系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,(4):8891,20014 趙良杰、陳義華、車天義重慶輕軌票價(jià)方案研究鐵道運(yùn)輸與經(jīng)濟(jì),(11)4042,20055