2.2.1線面平行的判定定理

1、 1.直線與平面有幾種位置關(guān)系直線與平面有幾種位置關(guān)系? 其中平行是一種非常重要的關(guān)系其中平行是一種非常重要的關(guān)系,不僅應(yīng)用較不僅應(yīng)用較 多多,而且是學(xué)習(xí)平面和平面平行的基礎(chǔ)而且是學(xué)習(xí)平面和平面平行的基礎(chǔ) 有三種位置關(guān)系有三種位置關(guān)系:在平面內(nèi)在平面內(nèi),相交、平行相交、平行 aaA/a a a .A a 怎樣判定直線怎樣判定直線與平面平行呢與平面平行呢? 根據(jù)定義根據(jù)定義,判定直線與平面是否平行判定直線與平面是否平行,只需判定直只需判定直 線與平面有沒(méi)有公共點(diǎn)但是線與平面有沒(méi)有公共點(diǎn)但是,直線無(wú)限延長(zhǎng)，平面直線無(wú)限延長(zhǎng)，平面 無(wú)限延展，如何保證直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)呢?zé)o限延展，如何保證直線與平面

2、沒(méi)有公共點(diǎn)呢? a 在生活中在生活中, ,注意到門(mén)扇的兩邊是平行的當(dāng)門(mén)扇注意到門(mén)扇的兩邊是平行的當(dāng)門(mén)扇 繞著一邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)繞著一邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), ,另一邊始終與門(mén)框所在的平面沒(méi)有另一邊始終與門(mén)框所在的平面沒(méi)有 公共點(diǎn)公共點(diǎn), ,此時(shí)門(mén)扇轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊與門(mén)框所在的平面給人此時(shí)門(mén)扇轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊與門(mén)框所在的平面給人 以平行的印象以平行的印象 A B A B 將一本書(shū)平放在桌面上將一本書(shū)平放在桌面上, ,翻動(dòng)書(shū)的硬皮封面翻動(dòng)書(shū)的硬皮封面, ,封封 面邊緣面邊緣AB所在直線與桌面所在平面具有什么樣的所在直線與桌面所在平面具有什么樣的 位置關(guān)系位置關(guān)系? ? 將課本的一邊將課本的一邊AB緊靠桌面緊靠桌面, ,并繞并繞AB

3、轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng), ,觀察觀察AB的的 對(duì)邊對(duì)邊CD在各個(gè)位置時(shí)在各個(gè)位置時(shí), ,是不是都與桌面所在的平面是不是都與桌面所在的平面 平行平行? ? 從中你能得出什么結(jié)論？從中你能得出什么結(jié)論？ A AB B C CD D CD是桌面外一條直線是桌面外一條直線, AB是桌面內(nèi)一條直是桌面內(nèi)一條直 線線, , CD AB ,則則CD 桌面桌面 直線直線AB、CD各有什么特點(diǎn)呢？各有什么特點(diǎn)呢？ 它們有什么關(guān)系呢？它們有什么關(guān)系呢？ 猜想猜想: :如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一 條直線平行條直線平行, ,那么這條直線和這個(gè)平面平行。那么這條直線和這個(gè)平面平行。 做一做做

4、一做 猜一猜猜一猜 b a 如果平面如果平面 內(nèi)有直線內(nèi)有直線 與直線與直線 平行，那么直線平行，那么直線 與平面與平面 的位置關(guān)系如何？的位置關(guān)系如何？ aba 是否可以保證直線是否可以保證直線 與平面與平面 平行？平行？a b a 平面平面 外有直線外有直線 平行于平面平行于平面 內(nèi)的直線內(nèi)的直線 a b （1）這兩條直線共面嗎）這兩條直線共面嗎? （2）直線）直線 與平面與平面 相交嗎？相交嗎？ a 共面共面 不可能相交不可能相交 平面平面外外一條直線與此平面一條直線與此平面內(nèi)內(nèi)的一條直線平的一條直線平 行行, ,則該直線與此平面平行則該直線與此平面平行 b a 說(shuō)明說(shuō)明: :(1)(1

5、)證明直線與平面平行證明直線與平面平行, ,三個(gè)條件必須三個(gè)條件必須 具備具備, ,才能得到線面平行的結(jié)論才能得到線面平行的結(jié)論 / / a ba b a (2)(2)簡(jiǎn)述簡(jiǎn)述: :線線平行線線平行 線面平行線面平行. . (3)(3)思想思想: :空間問(wèn)題空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題平面問(wèn)題. 假設(shè)假設(shè) 與與 有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)P， 則則 ，點(diǎn)，點(diǎn)P是是a與與b的公的公 共點(diǎn)，這與共點(diǎn)，這與 矛盾，矛盾， a Pb /ab 已知：已知：, / .abab 求證：求證： / .a 證明證明: / ,ab 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)a，b確定一個(gè)平面確定一個(gè)平面 ,aa , 是兩個(gè)不同的平面是兩個(gè)不同的平面 ,bb

6、. b / .a p a b （1 1）定義法定義法: :證明直線與平面無(wú)公共點(diǎn)證明直線與平面無(wú)公共點(diǎn); ; （2 2）判定定理判定定理: :證明平面外直線與平面內(nèi)證明平面外直線與平面內(nèi) 直線平行直線平行 說(shuō)明說(shuō)明:證明線面平行一般用判定定理證明線面平行一般用判定定理. 1）空間直線平行關(guān)系的傳遞性）空間直線平行關(guān)系的傳遞性 2）三角形中位線法）三角形中位線法 3）平行四邊形法）平行四邊形法 4）成比例線段法）成比例線段法 直線和平面平行的判定定理直線和平面平行的判定定理 如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條 直線平行直線平行, ,那么這條直線和這個(gè)平面平行

7、。那么這條直線和這個(gè)平面平行。 b a b a b a a 注明注明: 1、定理三個(gè)條件缺一不可。、定理三個(gè)條件缺一不可。 2、簡(jiǎn)記、簡(jiǎn)記:線線線線平行平行,則則線面線面平行。平行。 3 3、定理告訴我們、定理告訴我們: : 要證線面平行要證線面平行, ,只要在面內(nèi)只要在面內(nèi) 找一條線找一條線, ,使線線平行。使線線平行。 1如圖如圖,長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體 中中, DCBAABCD A A B B C C D D （1）與）與AB平行的平面是平行的平面是 ; （2）與）與 平行的平面是平行的平面是 ; （3）與）與AD平行的平面是平行的平面是 ; A A 平面平面DCBA DDCC 平面平面 DDCC

8、 平面平面平面平面CBCB 平面平面DCBA平面平面CBCB 判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確, ,若正確若正確, ,請(qǐng)簡(jiǎn)述理由請(qǐng)簡(jiǎn)述理由, , 若不正確，請(qǐng)給出反例若不正確，請(qǐng)給出反例. . ( 1 )如果如果a、b是兩條直線是兩條直線,且且ab,那么那么a 平行于經(jīng)平行于經(jīng) 過(guò)過(guò)b的任何平面的任何平面;( ) （2）如果直線）如果直線a和平面和平面 滿足滿足a ,那么那么a 與與內(nèi)的內(nèi)的 任何直線平行任何直線平行;( ) （3）如果直線）如果直線a、b和平面和平面 滿足滿足a ,b ,那么那么 a b ;( ) ( 4 )過(guò)平面外一點(diǎn)和這個(gè)平面平行的直線只有一過(guò)平面外一點(diǎn)和這個(gè)平面

9、平行的直線只有一 條條.( ) 試一試試一試 已知已知:空間四邊形空間四邊形ABCD中中,E、F分別是分別是AB、AD的中點(diǎn)的中點(diǎn). 求證求證:EF/平面平面BCD. 分析分析: EF在面在面BCD外外,要證明要證明EF面面BCD,只要證只要證 明明EF和面和面BCD內(nèi)一條直線平行即可內(nèi)一條直線平行即可. A E F B DC EF和面和面BCD哪一條直線平行呢哪一條直線平行呢? 直線直線BD 例例 求證求證:空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線,平行于經(jīng)過(guò)另平行于經(jīng)過(guò)另 外兩邊的平面外兩邊的平面. 在在ABD中中,E、F分別是分別是AB、AD的中點(diǎn)的中點(diǎn) 證明證明: EF

10、BD EF平面平面BCD BD 平面平面BCD 又又 EF 平面平面BCD， 連接連接BD, 三角形的中位線是常三角形的中位線是常 用的找平行線的方法用的找平行線的方法. 16 2021/2/12 1.如圖如圖,四面體四面體ABCD中中,E,F，G，H分別是分別是AB，BC，CD，AD的的 中點(diǎn)中點(diǎn). B C A D E F G H (3)你能說(shuō)出圖中滿足線面平行位置關(guān)系你能說(shuō)出圖中滿足線面平行位置關(guān)系 的所有情況嗎的所有情況嗎? (1)E、F、G、H四點(diǎn)是否共面四點(diǎn)是否共面? (2)試判斷試判斷AC與平面與平面EFGH的位置關(guān)系的位置關(guān)系; 練習(xí)練習(xí) 解解:(1)E、F、G、H四點(diǎn)共面四點(diǎn)共

11、面. 在在ABD中中,E、H分別是分別是AB、AD的中點(diǎn)的中點(diǎn). EHBD且且 1 GF=BD 2 同理同理GFBD且且 1 EH=BD 2 EHGF且且 EHGF E、F、G、H四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面. (2) AC 平面平面EFGH / 面 面 ACHG ACEFGH HGEFGH 17 2021/2/12 解解:（3）由）由EFHGAC,得得 EF平面平面ACD, AC平面平面EFGH,HG平面平面ABC. 由由BDEHFG,得得 BD平面平面EFGH, EH平面平面BCD, FG平面平面ABD. B C A D E F G H 1.如圖如圖,四面體四面體ABCD中中,E,F，G，H分別是分別

12、是AB，BC，CD，AD的的 中點(diǎn)中點(diǎn). (3)你能說(shuō)出圖中滿足線面平行位置關(guān)系你能說(shuō)出圖中滿足線面平行位置關(guān)系 的所有情況嗎的所有情況嗎? (1)E、F、G、H四點(diǎn)是否共面四點(diǎn)是否共面? (2)試判斷試判斷AC與平面與平面EFGH的位置關(guān)系的位置關(guān)系; 18 2021/2/12 1如圖如圖,長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體 中中, DCBAABCD A A B B C C D D （1）與）與AB平行的平面是平行的平面是 ; （2）與）與 平行的平面是平行的平面是 ; （3）與）與AD平行的平面是平行的平面是 ; A A 平面平面DCBA DDCC 平面平面 DDCC 平面平面平面平面CBCB 平面平面DCBA

13、平面平面CBCB 例例2 2 在長(zhǎng)方體在長(zhǎng)方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中. . （1 1）作出過(guò)直線）作出過(guò)直線ACAC且與直線且與直線BDBD1 1平行的平行的 截面截面, ,并說(shuō)明理由并說(shuō)明理由. . （2 2）設(shè)）設(shè)E,FE,F分別是分別是A A1 1B B和和B B1 1C C的中點(diǎn)的中點(diǎn), , 求證直線求證直線EF/EF/平面平面ABCD.ABCD. A B C C1 D A1 B1 D1 E F M G G H H 202021/2/12 A B A B C D C D 2如圖，正方體如圖，正方體 中，中，E為為 的中的中 點(diǎn)，試判斷點(diǎn)，試

14、判斷 與平面與平面AEC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理的位置關(guān)系，并說(shuō)明理 由由 D D D B DCBAABCD E O 證明證明:連接連接BD交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)O, 連接連接OE, 在在DDB 中，中，E，O分別是分別是 BDDD , 的中點(diǎn)的中點(diǎn) DBEO/ ACEEO平面 AECBD平面/ BD ACEBD平面 BD A E B D C 試過(guò)試過(guò) CE作一平面平行于作一平面平行于BD,并說(shuō)明畫(huà)法的理論依據(jù)并說(shuō)明畫(huà)法的理論依據(jù) F 兩個(gè)全等的正方形兩個(gè)全等的正方形ABCD、ABEF不在同不在同 一平面內(nèi)一平面內(nèi),M、N是對(duì)角線是對(duì)角線AC、BF的中點(diǎn)的中點(diǎn) 求證求證:MN 面面BCE D A N M

15、 C B F E 練一練練一練 P Q 引申: M、N 是是AC,BF上的點(diǎn)且上的點(diǎn)且AM=FN,求求 證證:MN 面面BCE D A N M C B F E D A N M C B F Ep n已知四棱錐已知四棱錐S-ABCD,ABCD是平行四邊是平行四邊 形形,S是平面是平面ABCD外一點(diǎn)外一點(diǎn),M為為SC的中點(diǎn)的中點(diǎn). n求證求證:SA/平面平面MDB B S M C A D o 262021/2/12 證明：證明：如圖，連接如圖，連接BD1 ， 在在DBD1中，中，EF為三角形中位線，為三角形中位線， 所以所以EF/BD1 ， 又又EF 平面平面ABC1D1 ， BD1 平面平面ABC

16、1D1 所以所以BD1/平面平面ABC1D1 例例 如圖如圖,在棱長(zhǎng)為在棱長(zhǎng)為2的正方體的正方體ABCD- -A1B1C1D1中中,E,F分別分別 為為DD1，DB的中點(diǎn)的中點(diǎn).求證求證:EF/平面平面ABC1D1. A B C D A1 B1 C1 D1 E F 27 2021/2/12 解：解：直線直線BD1/平面平面AEC，證明如下，證明如下: 如圖，連接如圖，連接BD交交AC于于O，再連接，再連接OE 在在DBD1中，中，OE為三角形中位線，為三角形中位線， 所以所以O(shè)E/BD1， 又又BD1 平面平面AEC，OE 平面平面AEC， 故故BD1/平面平面AEC. P56 2 如圖如圖,

17、在長(zhǎng)方體在長(zhǎng)方體ABCD- -A1B1C1D1中中,E為為DD1的中的中 點(diǎn)點(diǎn).試判斷試判斷BD1與平面與平面AEC的位置關(guān)系的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由并說(shuō)明理由. E O A B C D A1 B1 C1 D1 注意注意:在直觀圖中在直觀圖中,線段平行關(guān)系不變線段平行關(guān)系不變,可利用此特性先直觀地找可利用此特性先直觀地找 出平行線的可能所在出平行線的可能所在. 練習(xí)練習(xí) 28 2021/2/12 如圖如圖,已知已知P、Q是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為1的正方體的正方體ABCD- -A1B1C1D1的面的面AA1DD1 ,面面 ABCD的中心的中心.求證求證PQ/ 平面平面AA1B1B,并求線段的并求線段的PQ

18、長(zhǎng)長(zhǎng). 1 2 解解:（1）連接連接AB1，在，在AB1D1中，中， 顯然顯然P，Q分別是分別是AD1，D1B1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 所以，所以，PQ/AB1，且，且PQ= CD1 又因?yàn)橛忠驗(yàn)镻Q 平面平面AA1B1B CD1 平面平面AA1B1B 所以所以 PQ/ 平面平面AA1B1B （2）AB1 = ，PQ= 2 2 2 A B C D A1 B1 C1 D1 P Q 問(wèn)問(wèn):PQ/ 平面平面DD1C1C? PQ/C1D 練習(xí)練習(xí) 29 2021/2/12 C1 A C B1 B M N A1 F 證明證明:取取A1C1中點(diǎn)中點(diǎn)F,連結(jié)連結(jié)NF,FC N為為A1B1中點(diǎn)中點(diǎn), M是是BC的中

19、點(diǎn)的中點(diǎn), NFCM為平行四邊形為平行四邊形,故故MNCF 2 1 B1C1 NF 又又BCB1C1， 即即MCNF MN平面平面AA1C1C. 例例 如圖如圖,三棱柱三棱柱ABC- -A1B1C1中中,M、 N分別是分別是BC和和A1B1 的中點(diǎn)的中點(diǎn),求證求證:MN平面平面AA1C1C MC B1C1 1 2 30 2021/2/12 練習(xí)練習(xí) 練練1:三棱柱三棱柱ABC- -A1B1C1中中,E是是AC1上的點(diǎn)上的點(diǎn),F是是CB1上的中點(diǎn)上的中點(diǎn),求求 證證:A1B/平面平面ADC1 . AB C A1 B1 C1 D EF 法一：線面平行判定定理法一：線面平行判定定理 連接連接BC1，

20、則，則DE為為ABC1中位線，中位線， 所以所以EF/AB, 又又EF 平面平面ABC ，AB 平面平面ABC， 故故EF/平面平面ABC. 法二：由面面平行判定線面平行法二：由面面平行判定線面平行 取取CC1的中點(diǎn)的中點(diǎn)G，連接，連接GE和和GF， 則則GE為為ACC1中位線，中位線， 所以所以GE/AC, 又又GE 平面平面ABC ，AC 平面平面ABC， 故故GE/平面平面ABC. G 同理可證同理可證GF/GF/平面平面ABC.ABC. 又又GEGF=G,所以面所以面GEF/面面ABC. EFGEFEF/ABC.又面面 31 2021/2/12 m l , / m m 已知:直線 求證

21、: 證明證明: 又因m在內(nèi), ，l 和沒(méi)有公共點(diǎn)；l 和m也沒(méi)有公共點(diǎn)； l 又 和m都在平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)， l ml 32 2021/2/12 解：解：依題意點(diǎn)依題意點(diǎn)D為邊為邊BC的中點(diǎn)的中點(diǎn). 連接連接A1C交交AC1于于E，連接，連接DE. 在在ADC1中，中，DE為三角形中位線，為三角形中位線， 所以所以DE/A1B, 又又DE 平面平面ADC1 ，A1B 平面平面ADC1 故故A1B/平面平面ADC1 練練2:在三棱柱在三棱柱ABC- -A1B1C1中中,ABC為正三角形為正三角形,D是是 BC上的點(diǎn)上的點(diǎn),若若ADBC，求證，求證:A1B/平面平面ADC1 . A B C A

22、1 B1 C1 D E 練習(xí)練習(xí) 33 2021/2/12 例例 如圖如圖,四棱錐四棱錐P- -ABCD中中,底面底面ABCD是正方形是正方形,M，N分別是分別是AB， PC的中點(diǎn)的中點(diǎn),求證求證:MN/平面平面PAD. M N P AB C D H G 法二法二:取取DC的中點(diǎn)的中點(diǎn)G,連接連接GN,GM , 往證面往證面GMN/面面PAD即可即可. 證明：證明：取取PD的中點(diǎn)的中點(diǎn)H，連接，連接HN，AH ， 在三角形在三角形PDC中，中，HN為三角形中位線，為三角形中位線， 所以所以HN/DC且且 HN= DC 又因?yàn)榈酌鏋檎叫危矣忠驗(yàn)榈酌鏋檎叫?，且M為為AB中點(diǎn)，中點(diǎn)， 所以所以

23、AM/DC且且 AM= DC AM/HN且且 AM=HN 即即AMNH為平行四邊形，故為平行四邊形，故MN/AH 又又AH 平面平面PAD ，MN 平面平面PAD， 故故MN/平面平面PAD. 1 2 1 2 34 2021/2/12 練練:如圖如圖,四棱錐四棱錐P- -ABCD中中,底面底面ABCD是正方形是正方形,PAD是正三角形，是正三角形， E，F(xiàn)分別是分別是PC，BD的中點(diǎn)，求證的中點(diǎn)，求證:EF/平面平面PAD. 證明：證明：分別取分別取PD，AD的中點(diǎn)的中點(diǎn)G，H ，連接，連接GE，HF ，GH 在在PDC中，中，GE為三角形中位線，為三角形中位線， 所以所以GE/DC且且 GE

24、= DC 同理，同理，HF/AB且且 HF= AB 又又底面為正方形，底面為正方形，AM/DC且且 AM=DC GE/HF且且 GE=HF 即即HFEG為平行四邊形，故為平行四邊形，故EF/GH 又又GH 平面平面PAD ，EF 平面平面PAD， 故故EF/平面平面PAD. 1 2 1 2 F E P AB C D G H ABCDFBD ACACF. EFCAP.EF/PA 法二： 底面是正方形， 為中點(diǎn)， 連接，且的中點(diǎn)為點(diǎn) 是的中位線 練習(xí)練習(xí) 35 2021/2/12 例例 如圖如圖,點(diǎn)點(diǎn)B為為ACD所在平面外一點(diǎn)所在平面外一點(diǎn),M,N分別為分別為ABC， ABD的重心的重心. (1)

25、求證求證:MN/平面平面ACD. (2)若底面邊長(zhǎng)為若底面邊長(zhǎng)為1為正三角形，求線段的為正三角形，求線段的MN的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度. 2 3 解解:(1)分別分別連接連接BM，BF交交AC，AD于點(diǎn)于點(diǎn)E，F(xiàn). 因?yàn)橐驗(yàn)镸，N分別為對(duì)應(yīng)三角形的重心，分別為對(duì)應(yīng)三角形的重心， 故故E，F(xiàn)為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，且有為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，且有 BM:ME=2:1，BN:NF=2:1 MN/EF且且MN= EF. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)镸N 平面平面ACD，EF 平面平面ACD 所以所以 MN/ 平面平面ACD. E F M N C A B D (2) 又因?yàn)樵谟忠驗(yàn)樵贏CD中，中，EF是三角形的中位線，是三角形的中位線， 所以，

26、所以，EF/CD且且EF= CD. MN= ，CD= 1 2 1 3 1 3 線段成比例也是常用線段成比例也是常用 的找平行線的方法的找平行線的方法. 36 2021/2/12 練練 如圖點(diǎn)如圖點(diǎn)B為為ACD所在平面外一點(diǎn)，所在平面外一點(diǎn)，M，N，G分別為分別為ABC， ABD， BCD的重心的重心. (1)求證：平面求證：平面MNG/平面平面ACD. (2)求求 的值的值. MNGADC :SS E F M N C A B D G H 2 3 同理，同理，連接連接BG交交CD于中點(diǎn)于中點(diǎn)H，可證，可證NG/平面平面ACD且且NG= FH. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)镸NNG=N，所以面，所以面MNG/面面

27、ACD. 練習(xí)練習(xí) 2 3 解解:(1)分別分別連接連接BM，BF交交AC，AD于點(diǎn)于點(diǎn)E，F(xiàn). 因?yàn)橐驗(yàn)镸，N分別為對(duì)應(yīng)三角形的重心，分別為對(duì)應(yīng)三角形的重心， 故故E，F(xiàn)為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，且有為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，且有 BM:ME=2:1，BN:NF=2:1 MN/EF且且MN= EF. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)镸N 平面平面ACD，EF 平面平面ACD 所以所以 MN/ 平面平面ACD. 37 2021/2/12 同理可證明同理可證明NG= AC且且NG/AC， MG= AD且且NG/AD 1 3 1 3 MNGDCA故 2 MNG DCA SMN1 = SDC9 練練 如圖點(diǎn)如圖點(diǎn)B為為ACD所在平面外一點(diǎn)，所在平面外一點(diǎn)，M，N，G分別為分別為ABC， ABD， BCD的重心的重心. (1)求證：平面求證：平面MNG/平面平面ACD. (2)求求 的值的值. MNGADC :SS 練習(xí)練習(xí)