行程問題(相遇、追及、多次相遇、電車)

1、相遇追及（多次）、電車問題 知識(shí)地圖 勻速直線行程 簡單相遇追及 多次相遇追及 （包括火車過橋） 發(fā)車間隔問題 多次相遇追及 環(huán)形線路行程 （包括鐘表問題） 二、基礎(chǔ)知識(shí) 在歷年小升初”考試和各類小學(xué)奧數(shù)競賽試題中，行程問題”都占有很大的比重。同時(shí) 也是小學(xué)奧數(shù)專題中的難點(diǎn)，行程問題”經(jīng)常作為一份試卷中的壓軸難題出現(xiàn)，提高解決行 程問題”的能力不僅能幫助在小升初考試和各類數(shù)學(xué)競賽中取得優(yōu)異成績，還能為今后初中 階段數(shù)學(xué)、物理學(xué)科的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。 （一）典型的相遇和追及 所有行程問題是圍繞 “這一條基本關(guān)系式的展開， 比如我們遇到的兩大典型行程題相遇 問題和追及問題的本質(zhì)也是這三個(gè)量之間的

2、關(guān)系，在這里： 這兩組關(guān)系式中 路程和”或 路程差”實(shí)際上對(duì)應(yīng)的是相遇或追及問題中的原始（初始） 距離，我們可以通過圖示來理解。 （二）多次相遇追及 通過圖示介紹直線上的相遇和追及的規(guī)律 這部分內(nèi)容涉及以下幾個(gè)方面： 1 求相遇次數(shù) 2 求相遇地點(diǎn) 3 由相遇地點(diǎn)求全程 “線段示意圖 ”和 “折線示意圖 ”是解行程問題特別是多次相遇問題的重要方法。 舉個(gè)例子：假設(shè) A 、 B 兩地相距，甲從 A 地出發(fā)在 AB 間往返運(yùn)動(dòng)，速度為 /小時(shí)，乙 從 B 出發(fā)，在 AB 間往返運(yùn)動(dòng)，速度為 /小時(shí)。我們可以依次求出甲、乙每次到達(dá)A 點(diǎn)或 B 點(diǎn)的時(shí)間。為了說明甲、乙在 AB 間相遇的規(guī)律，我們可以

3、用 “折線示意圖 ”來表示。 折線示意圖能將整個(gè)行程過程比較清晰的呈現(xiàn)出來：例如 AD 表示的是，甲從 A 地出 發(fā)運(yùn)動(dòng)到 B 地的過程，其中 D 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間為 1 小時(shí)，表示甲第一次到達(dá) B 點(diǎn)的時(shí)間為 1 小時(shí)， BF 表示乙從 B 地出發(fā)到達(dá) A 地的過程， F 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間為 1.5 小時(shí)，表示乙第一次 到達(dá) A 地的時(shí)間為 1.5 小時(shí)， AD 與 BF 相交于 C 點(diǎn)，對(duì)應(yīng)甲、乙的第一次相遇事件，同樣 的 G 點(diǎn)對(duì)應(yīng)是甲、乙的第二次相遇事件。 折線圖只能直觀的表示出相遇的次數(shù)和大致時(shí)間 和地點(diǎn)，具體的時(shí)間和地點(diǎn)還必須通過相遇和追及問題的公式進(jìn)行計(jì)算。 通過計(jì)算，我們能得出：甲、乙

4、第一次相遇的時(shí)間為6+（ 6+4） =0.6 （小時(shí)），即36分 鐘。相遇點(diǎn)距離B地0.6 4=2.4 （千米），從第一次相遇到第二次相遇，甲、乙行程的路程總 和等于兩個(gè) AB 長，所以兩次相遇的時(shí)間間隔為 72分鐘。第二次相遇發(fā)生的時(shí)間為 108 分 鐘。 事實(shí)上，我們從折線示意圖就能看出來，任意兩次相鄰的相遇事件的時(shí)間間隔都是72 分鐘，而每72分鐘，甲乙兩人運(yùn)動(dòng)的總路程都等于2個(gè)AB長，所以我們能得到如下推論： 如果甲、乙是從線段兩端出發(fā)，那么相鄰的兩次相遇事件的時(shí)間間隔都相等，并且第n 次相遇時(shí)，他倆行走路程和相當(dāng)于（2n-1）個(gè)線段總長。同樣的相鄰兩次的追及事件（速度 快的追上速度慢

5、的） 發(fā)生的時(shí)間間隔都相等。 第 n 次追及時(shí)， 他倆行走路程差相當(dāng)于 （2n-1） 個(gè)線段總長。 注意： 如果甲、乙在線段的端點(diǎn)碰面，既可以算作相遇事件也可以算作追及事件，例如 例子當(dāng)中的 E 點(diǎn)，既是甲、乙的第三次相遇，也是甲第一次從后面追上乙。 （三）發(fā)車間隔問題 有關(guān)公共汽車與行人的問題，主要涉及到這幾個(gè)量：行人速度、汽車速度、前后相鄰汽 車間距、汽車發(fā)車時(shí)間間隔、相遇（追及）事件時(shí)間間隔。 這些貌似不相關(guān)的數(shù)量之間隱含著很多數(shù)量關(guān)系： 1. 我們首先分析一下公共汽車的發(fā)車過程： 從一輛汽車發(fā)車到下一輛汽車發(fā)車， 經(jīng)過 一個(gè) “汽車發(fā)車時(shí)間間隔 ”，所以當(dāng)下一輛車發(fā)車的時(shí)候，前一輛車已

6、經(jīng)開走了 “一 個(gè)汽車發(fā)車時(shí)間間隔 ”的時(shí)間， 這個(gè)時(shí)間內(nèi)前一輛車共行駛了 “一個(gè)汽車發(fā)車時(shí)間間 隔”乘以 “汽車速度 ”，之后兩輛車之間的距離保持不變，即距離保持為 “相鄰汽車間 距”，所以我們得到第一條公式： 2. 與公共汽車發(fā)車過程類似的，如果行人和汽車相向 （反向）行駛，那么從行人遇到 第一輛車到遇到第二輛車的過程可以看作一個(gè)相遇問題，所以有如下數(shù)量關(guān)系： 同樣的如果行人和汽車同向行駛，則有關(guān)系式： 三、 經(jīng)典透析 【例1】 甲、乙、丙三人每分鐘分別行、和，甲從B地、乙和丙從 A地同時(shí)出發(fā)相向而行， 途中甲遇到乙后 15 分又遇到丙。求 A， B 兩地的距離。 審題要點(diǎn) 從已知條件中唯

7、一的時(shí)間量入手，明確甲、乙、丙之間的距離變化關(guān)系，逐步求 解。 詳解過程 甲遇到乙后 15 分鐘，甲遇到了丙，所以遇到乙的時(shí)候，甲和丙之間的距離為： （60 + 40） X15= 1500 （米）， 而乙丙之間拉開這么大的距離一共要 1500 -（ 50-40） =150 （分）， 即從三人出發(fā)到甲與乙相遇一共經(jīng)過了 150分鐘， 所以 A、 B 之間的距離為： （60+50） X150= 16500 （米）。 點(diǎn)評(píng)此題實(shí)質(zhì)上有著三個(gè)行程基本問題：兩個(gè)相遇問題：甲和乙相遇，甲和丙相遇；一個(gè) 追及問題： 丙和乙的追及問題。 而且這三個(gè)問題之間有著相互的聯(lián)系， 甲和丙的相遇路程就 是丙和乙的追及路

8、程， 丙和乙的追及時(shí)間就是甲和乙的相遇時(shí)間。 利用這些關(guān)系層層推進(jìn)即 可解出答案。 【例2】 甲、乙、丙三車同時(shí)從 A地沿同一公路開往 B地，途中有個(gè)騎摩托車的人也在同 方向行進(jìn)， 這三輛車分別用 7 分鐘、 8 分鐘、 14分鐘追上騎摩托車人。 已知甲車每分鐘 行，丙車每分鐘行，求乙車的速度是多少？ 審題要點(diǎn) 摩托車在各時(shí)間點(diǎn)行駛的位置是甲、乙、丙三車行駛距離的度量，所以本題的關(guān) 鍵是求出摩托車的速度。 詳解過程 甲與丙行駛 7 分鐘的距離差為： （1000-800） X7= 1400 （米）， 也就是說當(dāng)甲追上騎摩托車人的時(shí)候，丙離騎摩托車人還有，丙用了 14-7=7（分） 追上了這，所以

9、丙車和騎摩托車人的速度差為： 1400 -（ 14-7）= 200 （米/分）， 騎摩托車人的速度為： 800 - 200= 600 （米/分）， 三輛車與騎摩托車人的初始距離為： （ 1000- 600）X7= 2800 （米） ， 乙車追上這一共用了 8 分鐘，所以乙車的速度為： 2800 -8 + 600 = 950 （米/分）。 點(diǎn)評(píng)從整體考慮， 7分鐘的時(shí)候摩托車與甲車在同一位置即 7X1000=7000 （米） ， 14分鐘的 時(shí)候摩托車與丙車在同一位置即 14X800=11200 （米），所以所以摩托車在 7-14分這7分鐘 內(nèi)一共行駛了 11200-7000=4200 （米）

10、，所以摩托車的速度為 4200-7=600（米/秒），摩托車 在 8分鐘時(shí)的位置為 7000+600=7600 （米） ，所以乙車的速度為 7600-8=950 （米/分） ，這種 解法比較類似于牛吃草問題。 【例 3】 鐵路旁一條小路，一列長為的火車以每小時(shí) 30 千米的速度向南駛?cè)ィ?8 點(diǎn)時(shí)追上 向南行走的一名軍人， 15 秒后離他而去， 8 點(diǎn) 6 分迎面遇到一個(gè)向北行走的農(nóng)民， 12 秒后離開這個(gè)農(nóng)民，問：軍人與農(nóng)民何時(shí)相遇？ 15 秒（ 12 審題要點(diǎn) 涉及火車的行程問題中，火車的長度當(dāng)然不能忽略，解題關(guān)鍵是找出 秒）內(nèi)，火車行駛和人步行與火車車長之間的數(shù)量關(guān)系。 詳解過程 分析：

11、火車速度為 30X10000=500 （米/分）。 要求軍人與農(nóng)民的速度必須先知道知道軍人和農(nóng)民的速度。 由題目條件，從軍人被火車頭追上到車尾離他而去，一共有15秒，這十五秒可以看作車尾 追及軍人的時(shí)間，所以根據(jù)追及公式，火車速度減去軍人速度等于 110-（15七0） =440 （米 /分）, 所以軍人的速度為 500-440=60 （米/分） ， 即/分，同樣的我們還可以求出農(nóng)民的速度： 110-（12 七0） -500=50 （米 /分）， 即/分，8點(diǎn) 06火車與農(nóng)民相遇，所以 8點(diǎn)時(shí)火車頭與農(nóng)民的距離為： （500+50） 0=3300 （米）, 這么長一段路，軍人與農(nóng)民相遇需要 33

12、00 -（ 60+50） =30 （分）。 此時(shí)的時(shí)間為 8 點(diǎn) 30 分。 點(diǎn)評(píng) 1 、此題中有著三個(gè)基本問題?；疖囎芳败娙?，火車農(nóng)民相遇，軍人和農(nóng)民相遇，找 到三者之間的關(guān)系就是解決題目的關(guān)鍵。 2、解決行程問題的關(guān)鍵是三步： a：正確畫出示意圖； b:把復(fù)雜的行程問題分解為每一個(gè)基本的相遇或追及問題； c：找到這些相遇或追及問題之間的數(shù)量關(guān)系，包括路程關(guān)系，時(shí)間關(guān)系與速度關(guān)系。 【例 4】 一輛卡車和一輛摩托車同時(shí)從A、B 兩地相對(duì)開出，兩車在途中距 A 地處第一次 相遇，然后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，卡車到達(dá) B 地，摩托車到達(dá) A 地后都立即返回，兩車又在 途中距 B 地處第二次相遇。 A、B

13、兩地之間的距離是多少千米？ 審題要點(diǎn) 結(jié)合兩次相遇的時(shí)間規(guī)律，找出兩個(gè)相遇點(diǎn)位置和A、B 兩地距離的關(guān)系。 詳解過程 根據(jù)題目中所給的條件，可以畫出整個(gè)行程過程的線段示意圖： 由示意圖看出卡車從 A 地出發(fā)后行駛了時(shí)與摩托車相遇，此時(shí)卡車和摩托車共同行駛 的路程和相當(dāng)于一個(gè) AB 距離。 而卡車和摩托車第二次相遇的時(shí)候， 卡車和摩托車共同行駛 的路程和相當(dāng)于三個(gè) AB 距離。所以如果卡車、摩托車從出發(fā)到第一次相遇時(shí)所用時(shí)間為 t 的話，那么卡車、摩托車從出發(fā)到第二次相遇時(shí)所用時(shí)間為 3t,因此第二次相遇時(shí)卡車行駛 的距離為： 60 3=180 （千米）。 這等于AB的全程再加上B地到第二個(gè)相遇

14、點(diǎn)的距離，所以 AB的距離為： 180-30=150（千米）。 點(diǎn)評(píng) 本題是甘肅省第十四屆小學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營原題，類似的題目在很多杯賽中出現(xiàn)過。 題目中使用了比例的知識(shí)， 題目并沒有直接求出卡車和摩托車的速度和時(shí)間， 但使用了兩次 的比例轉(zhuǎn)換： 首先是利用總路程的三倍關(guān)系得出時(shí)間的三倍關(guān)系， 然后利用時(shí)間的三倍關(guān)系 得出卡車的路程三倍關(guān)系。 【例 5】 如下圖所示，某單位沿著圍墻外面的小路形成一個(gè)邊長的正方形。甲、 乙兩人分別從兩個(gè)對(duì)角處沿逆時(shí)針方向同時(shí)出發(fā)。 如果甲每分走， 乙每分走， 那么經(jīng)過多少時(shí)間甲才能看到乙？ 審題要點(diǎn) 當(dāng)甲看到乙的時(shí)候，甲和乙在同一條邊上，甲乙兩人之間的距離最 多有長

15、。 詳解過程 當(dāng)甲、乙之間的距離等于時(shí)，即甲追上乙一條邊（）需 300-（ 90- 70）= 15 （分）， 此時(shí)甲走了 9015- 300= 4.5 （條）邊， 所以甲、 乙不在同一條邊上， 甲看不到乙。 但是甲只要再走 0.5 條邊就可以看到 乙了，即甲從出發(fā)走 5 條邊后可看到乙，共需 （分）， 即 16 分 40 秒。 點(diǎn)評(píng)解決此類相遇問題或追及問題時(shí)，一般是先利用一般的基本問題公式求出答案，但是 此時(shí)要加入一個(gè)判斷的過程， 不符合要求就在此基礎(chǔ)上往后推或往前推， 直至得出符合要求 的答案。 如果題目要求從甲第一次看到乙到乙從甲視線中消失一共經(jīng)歷多少分鐘，應(yīng)該怎么做 呢？ 分析： 只要

16、甲沒有超過乙，乙只要轉(zhuǎn)過一個(gè)拐角， 甲就看不到乙了， 甲第一次看到乙是分， 乙走了條邊，乙再走條邊，甲便看不到乙了（這里最好檢驗(yàn)一下甲到底走到了哪里） ，所以 甲看到乙的時(shí)間一共只有（分） 。 【例 6】 兩輛電動(dòng)小汽車在周長為的圓形道上不斷行駛，甲車每分行駛。甲、乙 兩車同時(shí)分別從相距的 A、B 兩點(diǎn)相背而行，相遇后乙車立即返回，甲車不 改變方向，當(dāng)乙車到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)，甲車過 B 點(diǎn)后恰好又回到 A 點(diǎn)。此時(shí)甲車立 即返回（乙車過 B 點(diǎn)繼續(xù)行駛），再過多少分與乙車相遇？ 審題要點(diǎn) 分析各個(gè)時(shí)間段，甲乙兩人的行程。 圖中 C 表示甲、乙第一次相遇 地點(diǎn)。因?yàn)橐覐腂到C和從C又返回B時(shí)所花的時(shí)

17、間相等，而整個(gè)過程中甲 恰好轉(zhuǎn)一圈回到A,所以甲、乙在C點(diǎn)第一次相遇時(shí)，甲剛好走了半圈。 詳解過程 C 點(diǎn)距 B 點(diǎn) 180-90= 90 （米）。 而甲從A到C用了 180- 20= 9 （分）， 所以乙每分行駛 90-9= 10 （米）。 甲、乙第二次相遇，即分別同時(shí)從 A, B出發(fā)相向而行相遇還需要 90-（ 20+ 10）= 3 （分鐘）。 點(diǎn)評(píng) 此題的關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系， 先由乙來回的路程一樣得出時(shí)間一 樣，那么甲兩段路程的時(shí)間也一樣， 所以路程也一樣， 然后也可以直接利用路程 的比例關(guān)系得出甲乙的速度比為 2：1，求出乙的速度為 10。 【例7】A、B是公共汽車的兩個(gè)車站，

18、從 A站到B站是上坡路。每天上午 8點(diǎn)到11點(diǎn)從 A、 B 兩站每隔 30分同時(shí)相向發(fā)出一輛公共汽車。已知從 A 站到 B 站單程需 105分， 從B站到A站單程需80分。問：(1)& 30、9: 00從A站發(fā)車的司機(jī)分別能看到幾 輛從 B 站開來的汽車？( 2)從 A 站發(fā)車的司機(jī)最少能看到幾輛從 B 站開來的汽車？ 審題要點(diǎn) 分析各輛車的出發(fā)和到達(dá)時(shí)間，判斷兩輛車是否相遇，找出各輛車遇到的車輛的 出發(fā)時(shí)間。 詳解過程(1)從A站發(fā)車的司機(jī)看到的車輛包括兩類： 一類是他自己發(fā)車以前，已經(jīng)從 B 站出發(fā)但還沒到達(dá) A 站的所有車輛，也就是發(fā) 車前 80 分鐘內(nèi) B 站所發(fā)的所有車輛。 另一類是

19、他發(fā)車以后到他抵達(dá) B 站這段時(shí)間內(nèi)從 B 站發(fā)出的所有車輛，即發(fā)車后 105分鐘內(nèi)從B站開出的所有車輛。 這就是說在A站車輛出發(fā)前80分鐘到出發(fā)后105分鐘之間這185分鐘時(shí)間區(qū)間內(nèi)， B 站發(fā)出的所有車輛，該司機(jī)都能看到。實(shí)際上這 185分鐘中，只有發(fā)車前 60分、發(fā) 車前 30 分、發(fā)車當(dāng)時(shí)、發(fā)車后 30 分、發(fā)車后 60 分、發(fā)車后 90 分，有車輛從 B 站開 出，所以& 30從A站發(fā)車的司機(jī)能看到 & 00到10： 00從B站發(fā)出的5輛車，而9： 00從A站發(fā)車的司機(jī)能看到 & 00到10： 30從B站發(fā)出的6輛車。 (2) 11 點(diǎn)以后不再有車輛從 B 站發(fā)出， 11 點(diǎn)發(fā)車的司

20、機(jī)不可能看到他發(fā)車后 105 分鐘內(nèi)從 B 站開出的車，所以他只能看到 3輛車。 點(diǎn)評(píng)運(yùn)用 “折線示意圖 ”能更好地說明整個(gè)行程過程。從“8：引出的線段與其他線段一共有 5 個(gè)端點(diǎn)，所以 8： 30 從 A 站發(fā)出的車一共遇到 5 輛從 B 站發(fā)出的車，同樣的 9： 00 從A站發(fā)出的車一共遇到 6輛從B站發(fā)出的車，11： 00從A站發(fā)出的車一共遇到 3輛 從B站發(fā)出的車。 【例 8】 某人以勻速行走在一條公路上，公路的前后兩端每隔相同的時(shí)間發(fā)一輛公共汽車。 他發(fā)現(xiàn)每隔 1 5分鐘有一輛公共汽車追上他； 每隔 10分鐘有一輛公共汽車迎面駛來擦身 而過。問公共汽車每隔多少分鐘發(fā)車一輛？ 審題要點(diǎn)

21、 列出所有涉及到的數(shù)量關(guān)系，找出發(fā)車時(shí)間與公共汽車相遇追及間隔時(shí)間的關(guān) 系。 詳解過程設(shè)兩車之間相距 S,根據(jù)公式得， 那么， 解得， 所以發(fā)車間隔（分） 點(diǎn)評(píng) 此題中方程有兩個(gè)未知數(shù)，最后解出的是兩個(gè)速度的倍數(shù)關(guān)系，由于無法求出速度的 具體數(shù)值，所以可以將其中一個(gè)設(shè)為 “，這樣可以簡化方程，方便求解。事實(shí)上只要不能求 出具體數(shù)值而只要得出比例關(guān)系時(shí)都可以將其中一個(gè)看作 “，從而簡化計(jì)算。例如： 另解一：根據(jù)每 15 分鐘有一輛公共汽車追上他，那么 1 分鐘汽車追上間隔的，即汽車與人 的速度差為；同理根據(jù)每隔 10 分鐘有一輛公共汽車迎面駛來擦身而過，那么1 分鐘汽車和 人共行間隔的， 即汽車

22、與人的速度和為， 最后根據(jù)和差問題求出汽車 1 分鐘行間隔的幾分之 幾，進(jìn)而求出發(fā)車間隔時(shí)間，1*12 （分）。此種解題思路實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為工程問題來 解決， 工程問題和行程問題在一定程度上是一樣的問題， 所用方法也很相似， 同學(xué)可以自己 體會(huì)。 另解二：反正發(fā)車時(shí)間和間隔是相等的，這樣我們可以假設(shè)人先過去，這樣每15 分鐘后面 有一輛車追上他，再馬上回來時(shí)，正好是每 10 分鐘前面有一輛車和他迎面相遇，所以我們 假設(shè)兩地之間走要15, 10=30分鐘，這樣過去的時(shí)間里有30+15=2輛車追上他，同理回來 的30+10=3輛車和他迎面相遇，這樣在這30+30=60分鐘里，總共有2+3=5輛車發(fā)出

23、，所以 發(fā)車間隔為 60+5=12分鐘。 【例9】 小峰騎自行車去小寶家聚會(huì)的路上注意到，每隔 9 分鐘就有一輛公交車從后方超越 小峰， 小峰騎車到半路， 車壞了，于是只好坐出租車去小寶家，這時(shí)小峰又發(fā)現(xiàn)出租車 也是每隔 9分鐘超越一輛公交車， 已知出租車的速度是小峰騎車速度的 5倍，那么如果 這三種車輛在行駛過程中都保持勻速，那么公交車站每隔多少分鐘發(fā)一輛車？ 審題要點(diǎn) 列出問題所涉及的所有數(shù)量關(guān)系，求出各種交通工具的速度比。 詳解過程 題目條件涉及到的數(shù)量涉及到的數(shù)量關(guān)系有： 汽車間距=（公交速度-騎車速度）刈分鐘； 汽車間距=（出租車速度-公交速度）9分鐘； 所以，公交速度 -騎車速度

24、=出租車速度 -公交速度； 將上面這條等式變形得到： 公交速度=（騎車速度+出租車速度） 吃=3騎車速度。 那么： 所以公交車站每隔 6 分鐘發(fā)一輛公交車。 四、 拓展訓(xùn)練： 1. 甲、乙、丙三人在學(xué)校到體育場(chǎng)的路上練習(xí)競走，甲每分比乙多走，比丙多走。上午9 點(diǎn)三人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，上午 10 點(diǎn)甲到達(dá)體育場(chǎng)后立即返回學(xué)校，在距體育場(chǎng)處遇到 乙。問：（ 1）從學(xué)校到體育場(chǎng)的距離是多少？（2）甲與丙何時(shí)相遇（精確到秒）？ 2. （ 2007 年希望杯）兩條公路成十字交叉，甲從十字路口南處向北直行，乙從十字路口 處向東直行。甲、乙同時(shí)出發(fā) 10 分后，兩人與十字路口的距離相等，出發(fā)后 100分， 兩

25、人與十字路口的距離再次相等，此時(shí)他們距十字路口多少米？ 3. （ 2007 年第十二屆 “華羅庚金杯 ”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽）李云靠窗坐在一列時(shí)速的火車 里，看到一輛有 30 節(jié)車廂的貨車迎面駛來，當(dāng)貨車車頭經(jīng)過窗口時(shí)，他開始記時(shí)，直 到最后一節(jié)車廂駛過窗口時(shí)，所記的時(shí)間是 18 秒。已知貨車車廂長，車廂間距，貨車 車頭長，問貨車行駛的速度是多少？ 4. A、B 兩地相距，甲從地、乙從地同時(shí)出發(fā)，在、兩地間往返鍛煉。乙跑步每分鐘行， 甲步行每分鐘行。在 30分鐘內(nèi)，甲、乙兩人第幾次相遇（含追及）時(shí)距 B 地最近？最 近距離是多少？ 5. 甲、乙兩人在一條長的直路上來回跑步，甲的速度/秒，乙的速度

26、 /秒。如果他們同時(shí)分 別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了 10 分鐘后，共相遇（不包括追上）多少次？ 6. 甲、乙二人分別從 A、B 兩地同時(shí)出發(fā)，往返跑步。甲每秒跑，乙每秒跑。如果他們的 第四次相遇點(diǎn)與第五次相遇點(diǎn)的距離是，求 A、B 兩點(diǎn)間的距離為多少米？ 7. A 、 B 兩地相距，甲和乙兩人分別由 A 、B 兩地同時(shí)相向而行，往返一次，甲比乙早返 回原地。途中兩人第一次相遇于 C點(diǎn)，第二次相遇于點(diǎn) D。CD相距，則甲、乙兩人的 速度比是為多少？ 8.下圖中，外圓周長，畫陰影部分是個(gè)“逗號(hào)”，兩只螞蟻分別從A, B同時(shí) 爬行。甲螞蟻從A出發(fā)，沿“逗號(hào)”四周順時(shí)針爬行，每秒爬；乙螞蟻從B 出

27、發(fā)，沿外圓圓周順時(shí)針爬行，每秒爬行。兩只螞蟻第一次相遇時(shí)，乙螞蟻 共爬行了多少米？ 9. 小樂步行去學(xué)校的路上注意到每隔 4 分鐘就遇到一輛迎面開來的公交車， 到了學(xué)校小樂 發(fā)現(xiàn)自己忘記把一件重要的東西帶來了， 只好借了同學(xué)的自行車以原來步行三倍的速度 回家，這時(shí)小樂發(fā)現(xiàn)每隔 12 分鐘有一輛公交車從后面超過他，如果小樂步行、騎車以 及公交車的速度都是勻速的話，那么公交車站發(fā)車的時(shí)間間隔到底為多少？ 10. 從電車總站每隔一定時(shí)間開出一輛電車。 甲與乙兩人在一條街上沿著同一方向步行。 甲 每分鐘步行，每隔 10分鐘遇上一輛迎面開來的電車；乙每分鐘步行，每隔10分 15秒 遇上迎面開來的一輛電車

28、。那么電車總站每隔多少分鐘開出一輛電車？ 初級(jí)點(diǎn)撥： 1. 從出發(fā)到甲、乙相遇，甲比乙多走了，又甲比乙每分多走，所以從出發(fā)到甲、乙相遇共 用 62 分鐘。 2. 分析甲乙兩人行程路程在問題中提到的兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系。 3. 可以將該問題看作李云和貨車車尾的相遇問題。 4. 畫出“折線示意圖 ”，判斷哪一次相遇距 B 地最近。 5. 相遇的總次數(shù)與兩人行程總和相關(guān)。 6. 假設(shè) A、B 兩地相距單位 “1”，確定第一次相遇時(shí)，甲、乙兩人的行程。 7. 因?yàn)榧妆纫以绶祷卦兀椎乃俣缺纫铱?，第二個(gè)相遇點(diǎn)D因該比C更靠近A點(diǎn)。由 于相關(guān)數(shù)量未知， 首先假設(shè)第一次相遇時(shí)甲和乙分別行走了 x 千米和

29、y 千米。由兩者的 數(shù)量關(guān)系列出第一個(gè)方程： x+y=24 8. “逗號(hào) ”的周長與外圓的周長相等，都是， 所以可以假設(shè)兩只螞蟻在同一段跑道上， 求出 相遇點(diǎn)后再作判斷。 9. 根據(jù)基礎(chǔ)知識(shí)所給出的公式，寫出題目中各個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系，并將已知數(shù)代入。 10. 根據(jù)基礎(chǔ)知識(shí)所給出的公式，寫出題目中各個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系，并將已知數(shù)代入。 深度提示 1.甲從體育場(chǎng)返回學(xué)校只走了62-60=2分鐘就遇到了乙，所以甲的速度為310吃=份，學(xué) 校到體育場(chǎng)的距離為/分 00分=。 2. 乙出發(fā)后 10 分鐘兩人與十字路口距離相等。因此如果乙從十字路口處出發(fā) 后往南而不是往東，那么乙將會(huì)在 10 分鐘時(shí)與從

30、十字路口南處出發(fā)的甲相 遇。 又因?yàn)榧?、乙出發(fā)后 100 分兩人再次與十字路口距離相等，所以如果乙從 十字路口處出發(fā)后往北而不是往東， 那么乙將會(huì)在 100 分鐘時(shí)被從十字路口 南處出發(fā)的甲追上。 3. 18 秒相當(dāng)于 0.005 小時(shí)，貨車總長為 （千米）， 由這兩個(gè)條件可以得出兩車的速度和。 4. 甲乙行程的折線示意圖如下，圖中實(shí)現(xiàn)表示甲，虛線表示乙。 由圖可知，第 3 次相遇時(shí)距離 B 地最近。 5. 當(dāng)兩人的行程和分別為、時(shí)，恰好是他們第1次、第2次、第3次相遇， 6. 甲乙兩人第四次相遇時(shí)共行程2X4-仁7,第五次相遇時(shí)共行程 20-1=9。 7. 假設(shè)第一次相遇時(shí)甲和乙分別行走了

31、x 千米和 y 千米，由假設(shè)可以很容易得到第二次相 遇時(shí), 甲、乙分別行走了 3x 千米和 3y 千米。 這樣我們能用字母表示出兩人從返回到相 遇分別走了多少路。結(jié)合 CD 距離能得到第二個(gè)方程。 8. 乙比甲多爬半圈，即需 20- （5 3）= 10 （秒），多爬1.5圈需60+（ 5-3）= 30 （秒）。 9. 設(shè)公交車的間距為 S,根據(jù)公式可得關(guān)系式： 類似的關(guān)系： ； 由兩個(gè)關(guān)系式得到： 等式化簡為： 10. 設(shè)電車的間距為 S,根據(jù)公式可得關(guān)系式: 類似可得關(guān)系式: 那么， 代入數(shù)值后為: 全解過程: 1. 從出發(fā)到甲、乙相遇，甲比乙多走了，又甲比乙每分多走，所以從出發(fā)到甲、乙相遇

32、共 用 62 分鐘。甲從體育場(chǎng)返回學(xué)校只走了 62-60=2（分鐘）就遇到了乙，所以甲的速度 為3102= 155 （米/分）,學(xué)校到體育場(chǎng)的距離為/分60分=9300 （米）。丙的速度為155 31 = 124 （米/分），甲和丙相遇需要走兩個(gè)學(xué)校到體育場(chǎng)的路程為： 9300X2 = 18600 （米）。 所以相遇時(shí)間為： ，所以甲與丙在 10時(shí)6分40秒相遇。 2. 如圖所示： 因?yàn)榧?、乙出發(fā)后 10 分鐘兩人與十字路口距離相等。所以如果乙從十字路 口處出發(fā)后往南而不是往東，那么乙將會(huì)在 10 分鐘時(shí)與從十字路口南處出發(fā)的 甲相遇。由此我們得到甲、乙兩人的速度和為： 1200- 10=120（米）。 又因?yàn)榧?、乙出發(fā)后 100 分兩人再次與十字路口距離相等， 所以如果乙從十 字路口處出發(fā)后往北而不是往東， 那么乙將會(huì)在 100 分鐘時(shí)被從十字路口南 處出發(fā)的甲追上。由此我們得到甲、乙兩人的速度差為： 1200-100=12 （米）O 由兩人的速度和與速度差我們能很容易得到兩人的速度 乙每分鐘行 （120- 12）- 2=54 （米）， 出發(fā) 100 分后距十字路口。 3. 18 秒相當(dāng)于 0.005 小時(shí)，貨車