平面向量講解版

1、精品資料歡迎下載平面向量一. 向量有關(guān)概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線 段來表示，注意 不能說向量就是有向線段，2. 零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的;_3 單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量 （與AB共線的單位向量是一竺）；|AB|4. 相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5. 平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記 作：a / b，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒： 相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等； 兩個(gè)向量平行與與兩

2、條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量 共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合； 平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?）； 三點(diǎn)A B、C共線=AB AC共線；6. 相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a的相反向量是一a。如下列命題：（1）若：二b，則a 。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同,點(diǎn)相同。（3）若西二冗，則ABCD是平行四邊形。（4）若 ABCD是平行四邊形，則 AB=DC。（5）若a J? c，則 a=C。（6）若 a/bb/c，則 a/c。其中正確的是二. 向量的表示方法：1 .幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2

3、.符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如a，b，c等；3. 坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與彳x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i， j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a = xi yj =x,y，稱x, y為向量a的坐 標(biāo)，a = x, y叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向 量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三. 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面 內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 丄、-2，使a= 1 e+鼻e2。女口（1）若 a=（1,1）b = （1,1）,c=（1,2），貝U c=(2) 丁列向量組中，能作為平面內(nèi)所

4、有向量基底的是A. =(0,0),二(1,-2)B.G=(-1,2),e2=(5,7)1 3C. =(3,5),62 =(6,10)D. =(2,-3)=(,)2 4(3) 已知AD,BE分別是 ABC的邊BC, AC上的中線，且AD =a, BE =b ,貝U BC可用向量a, b表示為(4)已知 ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD = 2 DB , CD = r AB sAC ,則r s的 值是四. 實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)，與向量a的積是一個(gè)向量，記作 a，它的長度和方向規(guī)定 如下：(中a=|州即(2 當(dāng)丸0時(shí)，丸a的方向與a的方向相同，當(dāng)丸 ) b *(1) ABC 中，|AB|=3，|AC

5、|=4，|BC|=5，貝U AB BC =11(2) 已知 a =(1,),b =(0,),c = a+kb,d =ab， c與d 的夾角為丄，則 k 等于224 (3) 已知；a|=2,|b=5,ab 二二3，貝U a+bj 等于，片耳 * 斗 耳 彳 片 耳(4) 已知a, b是兩個(gè)非零向量，且at = a-b，則a與a+b的夾角為3. b在a上的投影為|b|cosr，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于 0。如已知|a 1=3，|b|=5，且ab=12，則向量a在向量b上的投影為4. a * b的幾何意義：數(shù)量積a * b等于a的模| a |與b在a上的投影的積。5. 向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零

6、向量a，b，其夾角為貝U: a_b：= ab=0 ； 當(dāng)a， b同向時(shí)，a *b =，特別地，a? =!彩=|a； ,& =;當(dāng)a與b反向時(shí)，a *b = ab ;當(dāng)日為銳角時(shí)，a *b 0，且a b不同向，a b0是日為銳角的必一 f呻扌 一 呻扌要非充分條件；當(dāng)二為鈍角時(shí)，a * b v 0，且a、b不反向，a b ： 0是二為鈍角的必要非 充分條件；科科一一a.b斗寸 屮扌 非零向量a， b夾角二的計(jì)算公式：cos:|a*b|_|a|b|。女口(1)已知a、(,2)，b =(3,2)，如果a與b的夾角為銳角，貝U ，的取值范圍是1 3J J(2)已知 OFQ的面積為S，且OF，F(xiàn)Q =1

7、，若一 ：S -，則OF , FQ夾角二的2 2取值范圍是 片片片片(3 ) 已知 a=(c(xsFsbi n )y, a與b之間有關(guān)系式ka+b=y3?_kb,其中k0，用k表示a b ;求a b的最小值，并求此時(shí)a與b的夾角 二的大小六. 向量的運(yùn)算：1 幾何運(yùn)算： 向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法貝匚只適用于不共 線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)二a,=b，那么向量aC 叫做a與b的和，即a bBC二AC ； 向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)ab二a,AC二b,那么a_b二AB忌二ca，由 減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。屮意：此處減向量與被減

8、向量的起點(diǎn)相相同。如(i )回： AB+BC+C5= ； TBADDC= ； (AB CD)(AC BD)=(2) 若正方形ABCD的邊長為1,(3) 若0是LABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 OBOC =|OB + OC2OA，貝乩ABC 的形狀為(4) 若D為=ABC的邊BC的中點(diǎn)，ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足| AP |PA+ B嚴(yán) CP0，設(shè)，貝U人的值為_|PD|-(5) 若點(diǎn)O是ABC的外心，且OA+Ob+cO=0，貝U ABC的內(nèi)角C為2. 坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a =(Xqy1),b =(X2, y2)，貝U：向量的加減法運(yùn)算：a二匕=(為二乂2， y y2)。女口(1) 已知點(diǎn) A(2

9、,3), B(5,4)，C(7,10)，若 AP=AB+h尼仏R)，則當(dāng)九=時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上(2) 已知 A(2,3), B(1,4),且丄 AB=(si nx,cosy)，x,y (-一,一)，則 x y二2 2 2(3)已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個(gè)力Fi=(3,4),F2=(2,-5)疋=(3,1)，則合力 F 二FF? F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是 實(shí)數(shù)與向量的積：a V：Xi,%：；“， %。 若A(x1, y1), B(x2, y2)，則AB X2 -X1 y 2 -y1 ，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向 量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。 如1 設(shè) A(2,3), B(-

10、1,5)，且 AC =-AB，AD =3AB，則 C、D 的坐標(biāo)分別是3 平面向量數(shù)量積：a xx y(y2。女口已知向量 a =( sinx，cosx) , b =(sinx，sinx) , c =( 1，0)。( 1)若 x求向量a、c的夾角；(2)若x -亠2 8向量的模：|a|f.”x2 y2,a =|a|2 = x2，y2。如 ，3JTf irA,，函數(shù)f (x) = a b的最大值為一，求，的值42,2 2 2x y 。已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a3b| =兩點(diǎn)間的距離：若Ax,% , B x2, y2，則| AB |= . x2 -為j亠y2 - yi ?。

11、如 如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，乙xOy =60平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若OP = xq y；，其中；,；分 別為與x軸、y軸同方向的單位向量，貝U P點(diǎn)斜坐標(biāo)為(x, y)。(1) 若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2,- 2),求P到O的距離| PO |; (2)求以 O為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy中的方程。a b=b a ,a 二-J a , ab 二ba ;44444444444-*444a b c = a bc, a-b-c 二 a -：；：b c, a*b= - a*b = a *b;2.結(jié)合律:3.如分配律: aa.-a a b 二，a Wb , a b *a*

12、c b*c。下列命題中： 2-2 |a| |b| |b| :=2 ; (a b)a a2 2 a (b -c)二 a b - ac ; a (b c) = (a b) c; (ab) =|a|TTTT4444.42H 2若 ab=0，貝U a=0 或 b=0 ;若 a c b,則 a 二 c ; a 二 a ；42二 ab :(a-b)2二a2a b b。其中正確的是提醒：(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以 移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能 兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2

13、)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(b c)=(a b)c，為什么？ 八.向量平行(共線)的充要條件：ab= a = “呻24(1)若向量 a =(x,1),b = (4, x)，當(dāng) x =(2) 已知 a =(1,1),b =(4,x)，u =a 2b，(3) 設(shè) PA =(k,12),PB =(4,5),P =(10,k)，貝U=.(a f)2 =(|a|b|)2=兒丫2-丫必2 = 0。如_時(shí)a與b共線且方向相同v = 2a +b，且 u/v，貝U x =k=時(shí)，A,B,C共線九.向量垂直的充要條件如)-AB“.I aC|a b|=|a -b| = yyF .特別地(商(1)已知 OA=

14、(-1,2),OB=(3,m)，若 OA_OB，(2) 以原點(diǎn)0和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形 OAB， B=90，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 耳叭耳 喇.(3) 已知n = (a,b),向量n丄鳥，且暑1 =彳，則m的坐標(biāo)是十.線段的定比分點(diǎn)：1 .定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線P1P2上異于P1、P2的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí) 數(shù)，使PP = Pp2，貝，叫做點(diǎn)P分有向線段RP2所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段RP2的 以定比為的定比分點(diǎn)；2. 的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段P1P2上時(shí)=0;當(dāng)P交換律：點(diǎn)在線段Pi P2的延長線上時(shí)= b 反向或有 0 = | a - b |=| a|

15、 |b | _ |a | - |b |=|a b |;當(dāng) a、b 不共線|a| -|b |：|： _：|：|a | - |b|(這些和實(shí)數(shù)比較類似).(3 )在ABC中，若A音，yi , B X2, y2 ,C X3, y3 ,則其重心的坐標(biāo)為GXi+Xz + x 3y 竹 +2y 0 如I 33 丿若/ABC的三邊的中點(diǎn)分別為( 心的坐標(biāo)為彳 T t I PG =(PA PB PC)：二 G2, i)、(-3 , 4)、為ABC的重心，特別地(-i , -i ),則/ABC的重PA PB PC =0 二ABC的重呂 PA PPB P. PC PA= P 為 ABC 的垂心； 向量AC)(，0)所在直線過 ABC的內(nèi)心(是.BAC的角平分線所在直|AB| |AC|線)；| AB|