數(shù)值分析第1章引論放大

1、教材：關(guān)治、陸金甫數(shù)值方法 清華大學(xué)出版社，2006第1章引論1 數(shù)值分析研究對象與特點（I）數(shù)學(xué)與科學(xué)、工程技術(shù)有非常密切關(guān)系，并相互影響?？茖W(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域中的問題通過簡化、抽象建立數(shù)學(xué)模型。對數(shù)學(xué)模型的研究和求解，應(yīng)用于科學(xué)與工程實踐。數(shù)學(xué)模型的建立與研究是數(shù)學(xué)研究的重要任務(wù)。例如，設(shè)有一個質(zhì)量為的質(zhì)點作直線運動（設(shè)其在軸上運動），其坐標用表示。在質(zhì)點運動過程中，其坐標隨時間而變動，要知道質(zhì)點如何運動，就要知道對時間的依賴關(guān)系。假定運動是在力的作用下進行的，而力又與時間，質(zhì)量的位置，速度有關(guān)，即。由Newton第二定律，即在時刻t有為使問題定解，還需加上初始條件這樣的初值問題，其解存在，

2、唯一，連續(xù)依賴于初始數(shù)據(jù)是數(shù)學(xué)工作者要研究和解決的問題。作為科學(xué)與工程技術(shù)工作者，僅知道其解的存在，唯一是不夠的，還必須知道其數(shù)量是多少。很多線性與非線性問題很難用解析方法來求得，甚至于看來簡單的問題，也難于解析求解，如不能用解析方法求得。很多需要數(shù)字結(jié)果的科學(xué)與工程問題，得到數(shù)學(xué)模型后，必須采用數(shù)值方法來求解。數(shù)值分析則是研究數(shù)值方法求解科學(xué)與工程問題的一門學(xué)科，主要是構(gòu)造適合于不同類型問題的數(shù)值方法，分析方法的精度、穩(wěn)定性、收斂性等一系列理論與實際問題。改進計算方法，創(chuàng)造新的數(shù)值方法是數(shù)值分析很重要的任務(wù)。數(shù)值分析具有兩個顯明特點：1.實踐性數(shù)值求解的總是來源于科學(xué)與工程實踐，解決之后又為

3、科學(xué)與工程技術(shù)服務(wù)。2.與計算機的密切相關(guān) 雖然數(shù)值分析早于計算機的出現(xiàn)，但是數(shù)值分析的飛速發(fā)展是計算機出現(xiàn)之后，并隨計算機發(fā)展而迅速發(fā)展。計算機為用數(shù)值方法進行科學(xué)與工程計算提供了條件，而數(shù)值方法的發(fā)展又推動了計算機的發(fā)展?，F(xiàn)在大量的科學(xué)與工程問題可用計算機進行求解。過去完全靠實驗的學(xué)科，如氣體動力學(xué)，目前大量以數(shù)值方法用計算機來完成。科學(xué)計算已與理論研究，科學(xué)實驗已成為當(dāng)今科學(xué)研究的三大方法與手段。2誤差與有效數(shù)字（I）誤差來源數(shù)值分析是研究求解數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法，在計算過程中，誤差是不可避免的，引起誤差的因素很多，主要有1. 數(shù)學(xué)模型誤差2. 觀測誤差（測量誤差）3. 截斷誤差，例當(dāng)很小

4、時，由此看出，用來近似的誤差為4.舍入誤差在計算過程中，往往對數(shù)字“4舍5入”。受計算機字長限制，無法對無窮小數(shù)進行運算，必須化為具有一定位數(shù)的數(shù)字進行運算這樣引起的誤差稱舍入誤差。（II）絕對誤差，相對誤差設(shè)為準確值，為其近似值，令，稱其為近似值的絕對誤差，或稱誤差。由于往往未知，故一般不能求出。稱為的相對誤差。由于往往未知，因此也稱其為相對誤差。假定為某一實數(shù)的準確值，為其近似值，可對的絕對誤差作估計稱為的絕對誤差界，或稱誤差界。相應(yīng)于稱為的相對誤差界。例取可令其絕對誤差界；相對誤差界（III）有效數(shù)字有效數(shù)字是近似值的一種表示方法，它既能表示近似值的大小，也能表示其精確程度。在數(shù)值計算過

5、程中，用四舍五入原則取的前n位數(shù)為其近似值，例如取前4位，可以看出，四舍五入得到的數(shù)，其絕對誤差不超過未位數(shù)的半個單位。例5取前面5位定義如果近似值的絕對誤差界為，那么稱準確到小數(shù)點后第位，并從第1個非零數(shù)字到這一位所有數(shù)字稱為有效數(shù)字。例 1.414準確到小數(shù)點后第3位，有4位有效數(shù)字。3.1416 準確到小數(shù)點后第4位，有5位有效數(shù)字。（IV）數(shù)值計算中注意的問題1. 避免兩個相近的數(shù)相減。2. 避免大數(shù)“吃”小數(shù)。3. 避免除數(shù)的絕對值遠小于被除數(shù)的絕對值。4. 簡化運算次數(shù)。3 數(shù)值穩(wěn)定性計算積分要計算15個積分。方便起見，建立遞推公式。注意到由此得取 下面來分析遞推公式計算結(jié)果是否正確？可以看出，由此推斷，用遞推公式計算不對。計算時，由于4舍5入，存在誤差。再考慮計算時，事實上采用公式，即準確公式為 兩者相減有由的誤差，通過遞推公式的誤差為的倍。定義，對于一個算法，如果初始有誤差(舍入誤差，截斷誤差)，在運算過程中誤差無限增加，不能控制，那么稱該算法是數(shù)值不穩(wěn)定的，反之為數(shù)