汽車保險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型研究畢業(yè)論文

1、 學(xué)校代碼： 11059 學(xué) 號(hào)：0807012051hefei university 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）bachelor dissertation 論文題目： 汽車保險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型研究 學(xué)位級(jí)別： 理科學(xué)士 學(xué)科專業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué) 作者姓名： 陳明 導(dǎo)師姓名： 張霞 完成時(shí)間： 2012.5.14 汽車保險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型研究中 文 摘 要保險(xiǎn)業(yè)務(wù)是一個(gè)涉及社會(huì)心理、保費(fèi)、賠償費(fèi)、返回額、宣傳力度以及社會(huì)法律法規(guī)的十分復(fù)雜的系統(tǒng)。本文利用某保險(xiǎn)公司在開展汽車保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中所積累的具體數(shù)值資料，綜合考慮投保者心理、保費(fèi)、賠償金額、返回額以及宣傳力度等因素，應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法，建立了一個(gè)汽車保險(xiǎn)

2、的簡(jiǎn)單實(shí)用的數(shù)學(xué)模型.在分析政府實(shí)施安全法規(guī)前,投保人人均所擔(dān)負(fù)的事故賠償費(fèi)情況的基礎(chǔ)上,再討論實(shí)施安全法規(guī)后,投保人人均所擔(dān)負(fù)的事故賠償費(fèi)情況.對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解分析,最后給出:如果人均所擔(dān)負(fù)的賠償費(fèi)減少，則人均所擔(dān)負(fù)的風(fēng)險(xiǎn)相應(yīng)的變小，相應(yīng)的投保人所交的保險(xiǎn)費(fèi)也應(yīng)減少的合理結(jié)論.關(guān)鍵詞：汽車保險(xiǎn)；無賠款優(yōu)待系統(tǒng)；精算模型 ；數(shù)學(xué)模型a mathematical model for automobile insuranceabstractinsurance business is a related to social psychology, insurance cost, damag

3、es, to return to the forehead, propaganda and social law laws and regulations is very complex system.a concise and helpful mathematical model for automobile insurance is built is built up by means of statistics and mathematical experiment with authentic data drawn from the automobile insurance pract

4、ice of a certain insurance corporation. factors considered include the insurants psychology, premiums, premiums, compensation coverage, return values and market promotion . on the analysis of the government to implement safety regulations before, policy-holder per capita allotted accident compensati

5、on based on the situation and discuss to implement safety regulations, policy-holder per capita allotted accident compensation condition of the established mathematical model is solved by analysis, and finally gives: if the per capita allotted to reduce damages, the per capita allotted risk correspo

6、nding smaller, corresponding policy-holder place to pay insurance premium also should reduce the reasonable conclusion. key word: automobile；no-claim-discount；actuarial models；mathematical model目 錄第一章 前言11.1問題的提出21.2無賠款優(yōu)待系統(tǒng)21.3國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀41.3.1 精算模型研究現(xiàn)狀41.3.2 ncd系統(tǒng)研究現(xiàn)狀51.4研究?jī)?nèi)容與目標(biāo)7第二章 汽車保險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型.72.1 問題的分

7、析72.2模型假設(shè)82.3符號(hào)說明82.4 模型建立92.5 模型求解12第三章 結(jié)論.143.1 計(jì)算結(jié)果比較143.2誤差分析183.3模型評(píng)價(jià)19參考文獻(xiàn)19致 謝.20第一章 前言我國(guó)自1980年國(guó)內(nèi)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)恢復(fù)以來，汽車保險(xiǎn)業(yè)務(wù)已經(jīng)取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步，尤其是伴隨著汽車進(jìn)入百姓的日常生活，汽車保險(xiǎn)正逐步成為與人們生活密切相關(guān)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，其重要性和社會(huì)性也正逐步突現(xiàn)，作用越加明顯.從目前經(jīng)濟(jì)發(fā)展發(fā)展情況看，汽車工業(yè)已成為我國(guó)經(jīng)濟(jì)健康、穩(wěn)定發(fā)展的重要?jiǎng)恿χ?，汽車產(chǎn)業(yè)政策在國(guó)家產(chǎn)業(yè)政策中的地位越來越重要，汽車產(chǎn)業(yè)政策要產(chǎn)生社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，要成中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的原動(dòng)力，離不開汽車保險(xiǎn)與之配套服

8、務(wù).汽車保險(xiǎn)業(yè)務(wù)自身的發(fā)展對(duì)于汽車工業(yè)的發(fā)展起到了有力的推動(dòng)作用，汽車保險(xiǎn)的出現(xiàn)，解除了企業(yè)與個(gè)人對(duì)使用汽車過程中可能出現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)的擔(dān)心，一定程度上提高消費(fèi)者購(gòu)買汽車的欲望，一定程度擴(kuò)大了對(duì)汽車的需求.生產(chǎn)力水平的提高、科學(xué)技術(shù)的發(fā)展使人類社會(huì)走向文明，汽車文明在給人們生活以交通便利的同時(shí)，也給人們帶來了因汽車運(yùn)輸中的碰撞、傾覆等意外事故造成的財(cái)產(chǎn)損失和人身傷亡.不僅如此，隨著生產(chǎn)力水平的提高，科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，風(fēng)險(xiǎn)事故所造成的損失也越來越大，對(duì)人及社會(huì)的危害也越來越嚴(yán)重.機(jī)動(dòng)車輛在使用過程中遭受自然災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)和發(fā)生意外事故的概率較大，特別是在發(fā)生第三者責(zé)任的事故中，其損失賠償是難以通過自我補(bǔ)償?shù)?

9、機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)是現(xiàn)代社會(huì)處理風(fēng)險(xiǎn)的一種非常重要的手段，是風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)嫁中一種最重要、最有效的技術(shù)，是不可缺少的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償制度.目前，大多數(shù)發(fā)達(dá)國(guó)家的汽車保險(xiǎn)業(yè)務(wù)在整個(gè)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中占有十分重要的地位.美國(guó)汽車保險(xiǎn)保費(fèi)收入，占財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)總保費(fèi)的45%左右，占全部保費(fèi)的20%左右.亞洲地區(qū)的日本和臺(tái)灣汽車保險(xiǎn)的保費(fèi)占整個(gè)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)總保費(fèi)的比例更是高達(dá)58%左右.從我國(guó)情況來看，隨著積極的財(cái)政政策的實(shí)施，道路交通建設(shè)的投入越來越多，汽車保有量逐年遞增.在過去的20年，汽車保險(xiǎn)業(yè)務(wù)保費(fèi)收入每年都以較快的速度增長(zhǎng).在各保險(xiǎn)公司中，汽車保險(xiǎn)業(yè)務(wù)保費(fèi)收入占其財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)總保費(fèi)收入的50%以上，部分公司的汽車保險(xiǎn)業(yè)務(wù)保費(fèi)收

10、入占其財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)總保費(fèi)收入的60%以上.汽車保險(xiǎn)業(yè)務(wù)已經(jīng)成為財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)公司的“吃飯險(xiǎn)種”.其經(jīng)營(yíng)的盈虧，關(guān)系到整個(gè)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)行業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益.可以說，汽車保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的效益成為財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)公司效益的“晴雨表”.1.1問題的提出已知某汽車保險(xiǎn)公司的保險(xiǎn)規(guī)則，即：該公司只提供一年期的綜合保險(xiǎn)單，若客戶在這一年內(nèi)沒有提出賠償要求，則給予額外補(bǔ)助；客戶被分成0，1，2，3 級(jí)，新客戶屬于0 級(jí)；級(jí)別越高，從保險(xiǎn)費(fèi)中得到的回扣越多；0,1,2,3級(jí)的顧客若在一年中未發(fā)生索賠，0,1,2級(jí)則在下一年續(xù)保時(shí)上升一級(jí)，3級(jí)的顧客級(jí)別不變；若發(fā)生事故索賠，則在下一年續(xù)保時(shí)，2,3級(jí)的下降兩級(jí)，其余的均定為0級(jí).客戶不論是由

11、于自動(dòng)終止保險(xiǎn)還是則某種原因（例如事故死亡），保險(xiǎn)公司將退還保險(xiǎn)金的適當(dāng)部分.現(xiàn)在政府為了減少交通事故，參考其他城市的做法，制定了一系列安全法規(guī).根據(jù)其他城市的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)行安全法規(guī)以后，交通事故率不變，但相應(yīng)的死亡的司機(jī)減少40，一般來講醫(yī)療費(fèi)也會(huì)減少20至40.問題是想知道實(shí)行安全法規(guī)以后保險(xiǎn)公司所制定的保險(xiǎn)費(fèi)是應(yīng)該增加還是應(yīng)該減少，提出一般的解答方法并運(yùn)用已知的該公司在某一年的保險(xiǎn)數(shù)據(jù)來驗(yàn)證所提出的方法的正確性.1.2無賠款優(yōu)待系統(tǒng)保險(xiǎn)很重要的一個(gè)原理就是公平公正地維護(hù)消費(fèi)者的利益.如果影響風(fēng)險(xiǎn)的所有因素能夠被觀察并測(cè)量出且引入到費(fèi)率厘定中，那么對(duì)被保險(xiǎn)人而言，費(fèi)率是完全公平的;讓沒有發(fā)生損

12、失的被保險(xiǎn)人分擔(dān)發(fā)生了損失的被保險(xiǎn)人的損失也沒有什么不公平，這正是保險(xiǎn)的原理.但是在商業(yè)保險(xiǎn)中，利益共同體不應(yīng)該導(dǎo)致“好的”被保險(xiǎn)人固有的要為另一個(gè)“差的”被保險(xiǎn)人買單這樣一個(gè)局面.若保險(xiǎn)人試圖將這種“補(bǔ)貼利益共同體”強(qiáng)加于客戶，他將會(huì)看到“好的”被保險(xiǎn)人紛紛離去，而留下來的只是一些“差的”被保險(xiǎn)人了.事實(shí)上把影響風(fēng)險(xiǎn)的所有因素觀察測(cè)量出來納入到費(fèi)率厘定中幾乎是不可能的，比如超車欲望、反應(yīng)敏捷性等變量均是不可能事先度量的先驗(yàn)變量，也就是不能保證保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)的同質(zhì)性，因此，在不能保證保單的同質(zhì)性情況下，上述結(jié)論則不再成立.應(yīng)允旬保人在一定時(shí)期內(nèi)依據(jù)對(duì)被保險(xiǎn)人的行為結(jié)果將其保費(fèi)加以調(diào)整，這種依賴于

13、被保險(xiǎn)人個(gè)人及具體結(jié)果的費(fèi)率調(diào)整系統(tǒng)，我們稱之為無賠款優(yōu)待系統(tǒng)(ncd:no一 claimdiscount). 在汽車保險(xiǎn)中，大多數(shù)國(guó)家的保險(xiǎn)人都實(shí)行了ncd系統(tǒng)，具體實(shí)施措施因各國(guó)各地而異，如英國(guó)的七個(gè)等級(jí)制、瑞士22個(gè)等級(jí)制、香港地區(qū)六個(gè)等級(jí)制、中國(guó)大陸三個(gè)等級(jí)制等等.在無賠款優(yōu)待系統(tǒng)中，一個(gè)新的保險(xiǎn)投保人在其投保的第一年中，必須以其所屬組別的條件繳納全額保險(xiǎn)費(fèi)，而以后保險(xiǎn)費(fèi)的支付便依賴于它自身的損失紀(jì)錄.若出現(xiàn)索賠，則保單持有人在次年享受較小的折扣或不能享受優(yōu)待，換句話說，他將被降至一個(gè)比原己有折扣要低的等級(jí)中去;另一方面，若無索賠紀(jì)錄，則保單持有人在下一年度升入更高折扣率的級(jí)別組中去，

14、若他己經(jīng)達(dá)到了最高一級(jí)的級(jí)別，則將繼續(xù)在該組內(nèi)享受最高一級(jí)的優(yōu)待折扣.用數(shù)學(xué)的語言概括之，ncd系統(tǒng)可描述為13，14: (l)所有的被保險(xiǎn)人分成有限個(gè)等級(jí)，被保險(xiǎn)人的年保費(fèi)只依賴于它所屬的等級(jí); (2)新投保的被保險(xiǎn)人繳納初始等級(jí)的保險(xiǎn)費(fèi); (3)被保險(xiǎn)人的續(xù)期保費(fèi)取決于他在上一個(gè)保險(xiǎn)年度所屬的等級(jí)和索賠次數(shù); 由此可見，ncd系統(tǒng)即是被保險(xiǎn)人上一保險(xiǎn)年度的索賠經(jīng)驗(yàn)調(diào)整他次年度續(xù)期保費(fèi). 為了鼓勵(lì)成績(jī)好的保單持有人繼續(xù)留在同一保險(xiǎn)公司續(xù)保，近年來機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)中的無賠款優(yōu)待系統(tǒng)概念得到了進(jìn)一步地發(fā)展，早期的折扣率都很低，現(xiàn)在最高的已經(jīng)達(dá)到了60%.在實(shí)際應(yīng)用中證明ncd系統(tǒng)具有一下的一些優(yōu)點(diǎn)1

15、3一15: (1)它使每個(gè)投保人繳納的保費(fèi)更能真實(shí)地接近于個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)，即被保險(xiǎn)人繳納的保險(xiǎn)費(fèi)體現(xiàn)了其真實(shí)的風(fēng)險(xiǎn)水平; (2)它在一定程度上減少了由于道德風(fēng)險(xiǎn)給保險(xiǎn)人帶來的損失，因?yàn)橥侗Ｈ俗畛鯇?duì)其自身風(fēng)險(xiǎn)水平的低估將會(huì)通過他的索賠紀(jì)錄得到調(diào)整; (3)它可以鼓勵(lì)被保險(xiǎn)人小心駕車，為了避免保費(fèi)上的懲罰，司機(jī)們會(huì)盡量減少事故的發(fā)生，注意安全; (4)它可以降低小額賠付的發(fā)生，因?yàn)橛械耐侗Ｈ藶榱吮苊獗ＹM(fèi)上的懲罰，對(duì)于一些小額損失，不再去索賠，這樣可以降低保險(xiǎn)人索賠成本和管理費(fèi)用，從而可以進(jìn)一步降低保險(xiǎn)費(fèi)率. 值得注意的是，盡管保險(xiǎn)公司在應(yīng)用ncd系統(tǒng)時(shí)有很多良好的愿望，但實(shí)際應(yīng)用的ncd系統(tǒng)在區(qū)分不同風(fēng)

16、險(xiǎn)水平的投保者方面力不從心，換言之，如果投保者a的索賠頻率為5%，投保者b的索賠頻率為10%，那么投保者b的保費(fèi)應(yīng)該是投保者a的2倍，但實(shí)際上，ncd系統(tǒng)只讓投保者b比投保者a多交很少一部分保費(fèi). 雖然ncd系統(tǒng)簡(jiǎn)單易操作且有很多優(yōu)點(diǎn)，但對(duì)ncd系統(tǒng)持批評(píng)態(tài)度的也大有人在，主要有以下幾個(gè)方面: (1)破壞了投保者的經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定性.投保者購(gòu)買保險(xiǎn)的初衷是通過繳納固定的保費(fèi)將其不確定的隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)嫁給保險(xiǎn)公司，但在應(yīng)用ncd系統(tǒng)的條件下，投保者還得承擔(dān)續(xù)期保費(fèi)的變異性. (2)投保者之間的相互合作被削弱了.即幸運(yùn)的投保者(沒有發(fā)生保險(xiǎn)事故的投保者)對(duì)不幸的投保者在保費(fèi)繳付上的幫助被較弱了. (3)違背了

17、大數(shù)定律.保險(xiǎn)公司計(jì)算保險(xiǎn)費(fèi)率是所依賴的是大量保單的索賠經(jīng)驗(yàn)，而不是個(gè)體保單的索賠經(jīng)驗(yàn)，ncd系統(tǒng)通過個(gè)體保單的索賠經(jīng)驗(yàn)調(diào)整投保者的續(xù)期保費(fèi)，顯然是違背達(dá)數(shù)定律的.我們從實(shí)際例子中也可看到ncd系統(tǒng)并不能大幅度地改善投保者的非均勻性，以至于保險(xiǎn)公司實(shí)際上并不能收取更真實(shí)地反映單一風(fēng)險(xiǎn)的保費(fèi).大量的數(shù)據(jù)也表明，ncd系統(tǒng)在區(qū)分不同風(fēng)險(xiǎn)水平的投保者方面的能力也是非常有限的，它的作用只能使避免小額賠款，就是在鼓勵(lì)安全行車方面都難見到其成效. 因此，有人認(rèn)為ncd系統(tǒng)是“有組織地?cái)P棄保險(xiǎn)原則”，然而，ncd系統(tǒng)仍然得到投保人和保險(xiǎn)人的青睞，而在各國(guó)的機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)中被廣泛應(yīng)用.1.3國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀111

18、.3.1 精算模型研究現(xiàn)狀汽車保險(xiǎn)精算屬于非壽險(xiǎn)精算的范疇.相對(duì)來講，壽險(xiǎn)精算源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，有百余年的歷史，理論體系比較完善，應(yīng)用也相當(dāng)成熟，具有很多規(guī)范化的操作程序;非壽險(xiǎn)精算起步較晚，目前還處于探索階段，其應(yīng)用在很大程度上還依賴于精算師個(gè)人的判斷.當(dāng)然，非壽險(xiǎn)精算發(fā)展遠(yuǎn)遠(yuǎn)遲于壽險(xiǎn)精算的一個(gè)重要原因是其數(shù)量分析更為復(fù)雜.非壽險(xiǎn)精算保單持有人可能蒙受數(shù)種損失和在一定時(shí)期內(nèi)遭受數(shù)次損失，且受劇烈變化的經(jīng)濟(jì)環(huán)境的影響，非壽險(xiǎn)精算保單總是頻繁續(xù)保，其風(fēng)險(xiǎn)多數(shù)情況下都存在不均勻性等等都使得風(fēng)險(xiǎn)估測(cè)分析變得復(fù)雜而又困難.精算師在厘定保費(fèi)過程中需要考慮的兩個(gè)十分重要的因素就是保單的索賠次數(shù)和索賠額.根據(jù)保單組

19、合索賠頻率的不同分為同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)組合的索賠次數(shù)模型和非同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)組合的索賠次數(shù)模型.同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)模型主要是泊松模型，對(duì)于非同時(shí)多車輛相撞事故發(fā)生的情況，泊松模型的有以下幾個(gè)特性12:(1) 個(gè)相互獨(dú)立且參數(shù)分別為i的泊松隨機(jī)變量之和仍然服從泊松分布，參數(shù)為.但這并不意味著個(gè)相互獨(dú)立的同質(zhì)勝保單組合的集體其索賠次數(shù)仍服從泊松分布，因?yàn)槿暨@個(gè)同質(zhì)性保單組合的索賠頻率不相等，那么這個(gè)保單集體就是非同質(zhì)性的.(2)均值和方差都等于索賠頻率，偏度系數(shù)隨著的增大逐漸減小，其中: .現(xiàn)實(shí)中多車輛相撞事故時(shí)有發(fā)生，在這種情況下，用泊松模型來描述是不精確的，王成勇等7對(duì)泊松模型進(jìn)行了推廣，給出了一個(gè)新的模型簇生點(diǎn)過程模型

20、，用概率母函數(shù)為工具，給出了內(nèi)理賠總量的均值與方差.王成勇等8還對(duì)廣義泊松過程模型用鞍分析方法證明了其破產(chǎn)概率的lunderg不等式.所謂非同質(zhì)性是指保單組合中每份保單的索賠次數(shù)頻率不相同.在保險(xiǎn)實(shí)踐中，盡管大多數(shù)險(xiǎn)種都對(duì)保險(xiǎn)人根據(jù)某些先驗(yàn)變量進(jìn)行了分組，而且在選擇這些先驗(yàn)變量時(shí)希望他們能盡可能地反映被保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)水平.但任何先驗(yàn)變量總是有一定缺陷的.因此，被劃入同一組的保單仍然不可避免地存在某種程度的非同質(zhì)性，這就使得泊松模型失去了應(yīng)用的前提.常用的非同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)次數(shù)模型主要有:負(fù)二項(xiàng)分布模型、泊松逆高斯模型、二元風(fēng)險(xiǎn)模型、三元風(fēng)險(xiǎn)模型、二項(xiàng)貝塔分布模型、負(fù)二項(xiàng)貝塔分布模型等等.孟生旺12不但討

21、論了這些保單組合的精算模型的均值、方差、偏度系數(shù)等，對(duì)于相關(guān)性保單組合利用概率母函數(shù)方法分別討論了當(dāng)每次事故引發(fā)的索賠次數(shù)服從對(duì)數(shù)分布、泊松分布、二項(xiàng)分布、負(fù)二項(xiàng)分布以及截尾負(fù)二項(xiàng)分布情況下的均值、方差、偏度系數(shù)等性質(zhì).在某些險(xiǎn)種中，保單的索賠之間有一定的傳染性，也就是說，一次索賠的發(fā)生可能會(huì)增加(或減少)下次發(fā)生索賠的可能性.傳染的形勢(shì)多種多樣，孟生旺2討論了索賠頻率之間存在線性傳染關(guān)系的情況.索賠次數(shù)模型是多種多樣的，而索賠次數(shù)模型的選擇往往依賴于數(shù)據(jù)的具體形式一般而言，提供的數(shù)據(jù)越豐富，所能擬合的模型就越復(fù)雜，擬合效果就越好.常見的索賠額模型分布模型主要有指數(shù)分布、伽瑪分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布

22、、pareto分布、廣義pareto分布、weibull分布、對(duì)數(shù)伽瑪分布、變換伽瑪分布等2，孟生旺2討論了通貨膨脹對(duì)索賠額模型的影響.1.3.2 ncd系統(tǒng)研究現(xiàn)狀自保險(xiǎn)公司采用ncd以來，精算師們就沒有停止過對(duì)ncd的研究.在理論上，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面:一方面是基于索賠次數(shù)的ncd理論研究;另一方面是同時(shí)考慮索賠大小的ncd理論研究.而且，在基于索賠次數(shù)的ncd理論研究中也包括兩大級(jí):一級(jí)是只利用后驗(yàn)信息的ncd研究;另一級(jí)是同時(shí)考慮先驗(yàn)信息的ncd理論研究.同樣，考慮索賠大小的ncd的研究也包括這兩級(jí).相對(duì)于基于索賠次數(shù)的ncd，有關(guān)考慮索賠大小的ncd的研究要少的多.在下面內(nèi)容里，我們

23、將分兩個(gè)方面來綜述.(1)基于索賠次數(shù)的ncd的理論研究早在1962年，marcel就開始了無賠款優(yōu)待問題的研究，并用期望索賠次數(shù)創(chuàng)建了無賠款折扣費(fèi)率表.在1964年，bichsel和buhlinann等系統(tǒng)地提出了期望值保費(fèi)原理，也就是每個(gè)投保人所繳納的保費(fèi)與他的未知索賠次數(shù)成正比.后來， jean lemaire在假設(shè)投保人的索賠次數(shù)服從負(fù)二項(xiàng)分布的基礎(chǔ)上，根據(jù)期望值原理和gerber提出的指數(shù)效用原理，創(chuàng)建了獎(jiǎng)懲系數(shù)表.因?yàn)閘emaire當(dāng)時(shí)利用的是每個(gè)投保人未知索賠次數(shù)的估計(jì)值，而不是他的真實(shí)索賠次數(shù)，因此，在實(shí)際操作時(shí)，往往會(huì)給保險(xiǎn)公司帶來損失.在設(shè)計(jì)這個(gè)ncd時(shí)，lemaire利用

24、的索賠次數(shù)的估計(jì)值是一個(gè)最優(yōu)估計(jì)值，也就是使得保險(xiǎn)公司損失最小時(shí)索賠次數(shù)的估計(jì)值.十多年以后，lmaire又用平方差損失函數(shù)和期望值保費(fèi)計(jì)算原理，以及用負(fù)二項(xiàng)分布作為索賠頻率的擬合分布函數(shù)獲得了一個(gè)最優(yōu)ncd.而tremblay在1992年用平方差損失函數(shù)和零效用保費(fèi)計(jì)算原理，以及用泊松逆高斯分布為索賠頻率的擬合分布函數(shù)獲得了一個(gè)最優(yōu)ncd.再后來，j.f.walhin和j.paris仍然根據(jù)期望值原理和零效用原理，假設(shè)索賠次數(shù)服從非參數(shù)分布模型創(chuàng)建了最有獎(jiǎng)懲系統(tǒng)，同時(shí)他們還將其與參數(shù)復(fù)合分布下的ncd做了比較.在國(guó)內(nèi)，有關(guān)ncd的研究主要是基于后驗(yàn)信息，對(duì)此做出主要貢獻(xiàn)的是孟生旺12，在文獻(xiàn)

25、12中，孟生旺根據(jù)期望值原理、半方差原理、方差原理、標(biāo)準(zhǔn)差原理、零效用原理等，同時(shí)假設(shè)索賠次數(shù)服從混合負(fù)二項(xiàng)模型、二項(xiàng)貝塔模型，以及其他復(fù)合泊松模型，比較系統(tǒng)地創(chuàng)建了一系列最優(yōu)ncd.另外考慮到投保人風(fēng)險(xiǎn)的過分發(fā)散，孟生旺和袁衛(wèi)3利用負(fù)二項(xiàng)帕雷托分布創(chuàng)建了最優(yōu)ncd.以上這些工作，雖然采用了不同的定價(jià)原理，同時(shí)做了不同損失分布的假設(shè)，產(chǎn)生了不同效果的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)，但是他們的基本原理相同，都是基于后驗(yàn)信息索賠次數(shù)的ncd.當(dāng)然，在基于索賠次數(shù)的ncd的理論研究領(lǐng)域中，還有很多人做了不少工作，如jean pinquet研究了有無過失事故的ncd等.(2)考慮索賠大小的ncd的理論研究雖然精算師們?cè)缇驼J(rèn)

26、識(shí)到了基于索賠次數(shù)的ncd的不足，但是，到目前為止，有關(guān)考慮索賠大小的ncd的研究工作還是比較少.這當(dāng)然與基于索賠次數(shù)的ncd自身的優(yōu)勢(shì)有關(guān)，因?yàn)樗容^簡(jiǎn)單、直觀、操作方便.另外索賠次數(shù)也能代表投保人的絕大部分風(fēng)險(xiǎn).盡管如此，在最近幾年，國(guó)外還是出現(xiàn)了幾篇有關(guān)考慮索賠大小的ncd的頗有價(jià)值的文獻(xiàn)，如 jean pinquet， nicholas e.frangos和 spyridon d.vrontos的文章.在前兩篇文章中，pinquet以獨(dú)有的方式，利用e.a.renshaw提出的具有協(xié)變量的索賠模型，創(chuàng)建了同時(shí)考慮索賠次數(shù)與索賠大小的異方差模型，然后通過求異方差模型的參數(shù)，得出了三種獎(jiǎng)懲

27、系數(shù)，但此模型數(shù)學(xué)化程度很高，很難在實(shí)際操作中使用.而niehola e.frangos和 spyridon d.vrontos的主要工作也是將索賠次數(shù)與索賠大小一同考慮在ncd里，但是他們假設(shè)索賠大小與索賠次數(shù)相互獨(dú)立.另外,nicholas e.frangos和 spyridon d.vrontos還有一個(gè)貢獻(xiàn)就是建立了一個(gè)廣義ncd模型.在此模型中，他們同時(shí)考慮了投保人的先驗(yàn)信息，也就是投保人的特征.在國(guó)內(nèi)，有關(guān)考慮索賠大小的工作更是少之又少.孟生旺12在他的博士論文中首先涉及到了這方面的工作，他側(cè)重的是在不同分布、不同保費(fèi)原理下的考慮索賠大小的ncd.他分別根據(jù)期望值原理、方差原理以及

28、標(biāo)準(zhǔn)差原理，研究了在負(fù)二項(xiàng)帕雷托損失模型、負(fù)二項(xiàng)對(duì)數(shù)正態(tài)損失模型以及負(fù)二項(xiàng)伽瑪損失模型下的 ncd.王奕渲和周叔子16的主要工作是，在假設(shè)索賠次數(shù)服從負(fù)二項(xiàng)廣義帕雷托分布、索賠大小服從指數(shù)伽瑪分布以及索賠次數(shù)與索賠大小相互獨(dú)立的前提下，根據(jù)期望值原理和期望值方差原理，計(jì)算出了獎(jiǎng)懲系數(shù). 1.4研究?jī)?nèi)容與目標(biāo)利用某保險(xiǎn)公司在開展汽車保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中所積累的具體數(shù)值資料,綜合考慮投保者心理、保費(fèi)、賠償金額、返回額以及宣傳力度等因素,應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法,建立一個(gè)汽車保險(xiǎn)的簡(jiǎn)單實(shí)用的數(shù)學(xué)模型，對(duì)模型進(jìn)行求解和應(yīng)用，并對(duì)得到的結(jié)論進(jìn)行解釋.第二章 汽車保險(xiǎn)的數(shù)學(xué)模型2.1 問題的分析題目所要解決的問

29、題是實(shí)行安全法規(guī)后該汽車保險(xiǎn)公司所制定的保險(xiǎn)費(fèi)的變化情況.社會(huì)保險(xiǎn)的作用就在于分擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，汽車保險(xiǎn)費(fèi)由凈保費(fèi)和附加保費(fèi)兩部份構(gòu)成，附加保費(fèi)用于支付保險(xiǎn)公司的各種開支，這部份費(fèi)用可假定是不變的,因而問題的關(guān)鍵就在于凈保費(fèi)的變化.凈保費(fèi)又叫做風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)，在數(shù)量上等于保險(xiǎn)期間賠款的期望值.因而通過對(duì)下一年的賠款期望值的估算來確定下一年的凈保費(fèi)的金額.而賠款期望值即人均事故賠償費(fèi)的估算涉及到總投保人數(shù)的估算和事故賠償費(fèi)總額的估算.雖然投保人數(shù)的變化與保險(xiǎn)費(fèi)的多少有關(guān)，但通過合理的假設(shè)（每輛車都必須投保）以及在頒布法規(guī)的情況下各個(gè)保險(xiǎn)公司的保險(xiǎn)費(fèi)都會(huì)發(fā)生相似的變化（就可以忽略各保險(xiǎn)公司的競(jìng)爭(zhēng)）可以得到投保人

30、數(shù)的變化不依賴于保險(xiǎn)費(fèi)的變化,所以所要解決的主要問題就是下一年的事故賠償費(fèi)總額的估算和總投保人數(shù)的估算.最后通過得到的各級(jí)的凈保費(fèi)以及已知的該級(jí)的保險(xiǎn)費(fèi)折扣率來計(jì)算得到基本保險(xiǎn)費(fèi).模型建立部分分為兩個(gè)過程，首先解決沒有頒布法規(guī)的情況，再在此基礎(chǔ)上解決法規(guī)頒布了的情況.2.2模型假設(shè)1) 客戶被分成0，1，2，3級(jí)，新客戶屬于0 級(jí).2) 假設(shè)一車一險(xiǎn)，就是每年一輛汽車只能在一個(gè)公司投保,每輛新車必投保.3) 假設(shè)公司擴(kuò)展穩(wěn)定，基本支出費(fèi)用不變.4) 每一級(jí)別中總投保人數(shù)等于續(xù)保人數(shù)與新投保人數(shù)之和.5) 投保人除注銷外不會(huì)退出該保險(xiǎn)公司而到其他保險(xiǎn)公司投保.6) 注銷人數(shù)等于自動(dòng)終止保險(xiǎn)人數(shù)與

31、自然死亡人數(shù)之和.7) 索賠人數(shù)等于受傷人數(shù)和死亡人數(shù)之和.8) 交通事故率，注銷率不變.9) 每年的新投保人數(shù)按等比例增長(zhǎng).10) 實(shí)施安全法規(guī)后，事故發(fā)生率不變，各級(jí)別死亡率等比例下降.11) 每名司機(jī)每年最多只發(fā)生一次交通事故.12) 下一年平均修理費(fèi),死亡賠償費(fèi)不變.13) 注銷人平均所得到的償還退回金額不變.2.3符號(hào)說明 ：實(shí)施安全法規(guī)后的當(dāng)前年，如=1表示實(shí)施法規(guī)的第一年: 上一年第i級(jí)的總投保人數(shù): 當(dāng)前年第i級(jí)的總投保人數(shù)：當(dāng)年新投保的人數(shù)：當(dāng)前年第i級(jí)的索賠人數(shù)：第i級(jí)交通事故率：實(shí)施安全法規(guī)前第i級(jí)死亡率：實(shí)施安全法規(guī)后第i級(jí)死亡率：第i級(jí)注銷率：新投保人數(shù)增長(zhǎng)率: 第i

32、級(jí)的補(bǔ)貼比例：第i級(jí)平均死亡賠償費(fèi): 實(shí)施安全法規(guī)前總死亡賠償費(fèi): 實(shí)施安全法規(guī)后總死亡賠償費(fèi)：第i級(jí)平均修理費(fèi): 實(shí)施安全法規(guī)前總修理費(fèi): 實(shí)施安全法規(guī)后總修理費(fèi): 第i級(jí)平均醫(yī)療費(fèi) : 實(shí)施安全法規(guī)前總醫(yī)療費(fèi): 實(shí)施安全法規(guī)后總醫(yī)療費(fèi)：實(shí)施安全法規(guī)前總賠償費(fèi): 實(shí)施安全法規(guī)后總賠償費(fèi)： 醫(yī)療費(fèi)下降比例: 第i級(jí)注銷償還費(fèi): 投保人當(dāng)年的保險(xiǎn)費(fèi): 保險(xiǎn)公司當(dāng)年的營(yíng)業(yè)收入: 保險(xiǎn)公司當(dāng)年的各種支出總和2.4 模型建立根據(jù)假設(shè)有以下式子：事故發(fā)生率=索賠人數(shù)總投保人數(shù)死亡率=死亡人數(shù)總投保人數(shù)注銷率=注銷人數(shù)總投保人數(shù)新投保人數(shù)為：第0級(jí)總投保人數(shù)=新投保人數(shù)+第0,1,2級(jí)中上一年索賠未注銷的

33、人數(shù).即: 第1級(jí)總投保人數(shù)=第1級(jí)上一年未索賠未注銷的人數(shù)+第3級(jí)上一年索賠未注銷的人數(shù)，即：第2級(jí)總投保人數(shù)=第1級(jí)上一年索賠未注銷的人數(shù)，即：第3級(jí)總投保人數(shù)=第2級(jí)上一年未索賠未注銷的人數(shù)+第3級(jí)上一年未索賠未注銷的人數(shù)，即： 總收入：注銷退還償還費(fèi):一、實(shí)施安全法規(guī)前：總死亡賠償費(fèi):總修理費(fèi):總醫(yī)療費(fèi):總索賠費(fèi):二、實(shí)施安全法規(guī)后：死亡率 總死亡賠償費(fèi):總修理費(fèi):總醫(yī)療費(fèi): 總索賠費(fèi):2.5 模型求解由假設(shè)知每年新投保的增長(zhǎng)率不變，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)了每輛汽車必須買保險(xiǎn)，可以從汽車的增長(zhǎng)率來求出新投保人數(shù)的增長(zhǎng)率，下面的數(shù)據(jù)是可以在一定的程度反映汽車的增長(zhǎng)率。車型2000年汽車銷售2001

34、年汽車銷售 銷量（輛）比率%增長(zhǎng)率%銷量（輛）比率%增長(zhǎng)率%貨車77490137.103.2381843334.65.6重型載貨車828693.9773.961469856.277.4 中型載貨車1631577.81-10.191627476.9-0.3輕型載貨車39696419.013.2336868615.6-7.1微型載貨車1319116.32-3.541400155.96.1客車70098833.5637.2182376934.917.5大型客車77430.371.47114310.547.6中型客車358971.7223.45479062.033.5輕型客車24767011.8636

35、.7527588211.711.4微型客車40967819.6139.8048855020.719.3轎車61273729.347.4272146330.517.7汽車總計(jì)2088626100.0014.012363665100.013.2(數(shù)據(jù)來源：中國(guó)汽車工業(yè)協(xié)會(huì))可以看出2000年的增長(zhǎng)率為14.01%，2001年的增長(zhǎng)了為13.2%。兩者很接近，可以假設(shè)汽車的增長(zhǎng)率為。所以新投保的人數(shù)增長(zhǎng)率也為13.6%，所以=13.6%。表1 太平洋保險(xiǎn)公司某年?duì)I業(yè)狀況統(tǒng)計(jì)表（i）級(jí)別沒有索賠時(shí)補(bǔ)貼比例%續(xù)保人數(shù)新投保人數(shù)注銷人數(shù)總投保人數(shù)001280708384620182461665328125

36、1764897028240176489724011544610138571154461350876005803241148760058總收入：6182百萬元；償還退還：70百萬元；凈收入：6112百萬元；支出：149百萬元；索賠支出6093百萬元；超支130百萬元表2 太平洋保險(xiǎn)公司某年?duì)I業(yè)狀況統(tǒng)計(jì)表（ii）級(jí)別索賠人數(shù)死亡司機(jī)人數(shù)平均修理費(fèi)/元平均醫(yī)療費(fèi)/元平均賠償費(fèi)/元058275611652102015263195158246323315122312313886211585722929478232941370087270138058142321總修理費(fèi)：1982百萬元；總醫(yī)療費(fèi)：2218

37、百萬元；總死亡賠償費(fèi)：1894百萬元；總索賠費(fèi)：6093百萬元根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出以下結(jié)果：級(jí)別i補(bǔ)貼比例交通事故率死亡率注銷率000.3499350.0069970.010956125%0.3300270.013210.016001240%0.1003560.0019850.012003350%0.0800080.0008010.036999級(jí)別i平均死亡賠償費(fèi)平均修理費(fèi)平均醫(yī)療費(fèi)注銷償還金額0339851020152618213700612231231182260015947823182370971805814182公司的支出 =149百萬元通過上面的分析,模型可歸納為:一、實(shí)施安全

38、法規(guī)前：求解得：二、實(shí)施安全法規(guī)后：求解得：第三章 結(jié)論3.1 計(jì)算結(jié)果比較利用matlab計(jì)算，具體程序如下：一、未頒布法令的情況：n=1665328 1764897 1154461 8760058 ; n1=582756 582463 115857 700872; n2=11652 23315 2292 7013; n3=18264 28240 13857 324114; n4=1280708 1764897 1154461 8760058; s=0 0.25 0.4 0.5; b=33985 37006 60015 70971 ; c=1020 1223 947 805; d=1526

39、1231 823 814; a1=n1./n; a2=n2./n; a3=n3./n; n=384620.*(1+0.136);n(1)=n+n1(1)*(1-a3(1)+n1(2)*(1-a3(2)+n1(3)*(1-a3(3);n(2)=n(1)*(1-a1(1)*(1-a3(1)+n3(4)*(1-a3(4);n(3)=n(2)*(1-a1(2)*(1-a3(2);n(4)=n(3)*(1-a1(3)*(1-a3(3)+n(4)*(1-a1(4)*(1-a3(3);b=sum(a2.*n.*b);d=sum(a1.*n-a2.*n).*d);c=sum(a1.*n.*c);g=sum(a

40、3.*n*182);x=(b+c+d+g+1.49*108)/sum(n.*(1-s)二、 頒布法令，醫(yī)藥費(fèi)下降20%的情況n=1665328 1764897 1154461 8760058 ; n1=582756 582463 115857 700872; n2=11652 23315 2292 7013; n3=18264 28240 13857 324114; n4=1280708 1764897 1154461 8760058; s=0 0.25 0.4 0.5; b=33985 37006 60015 70971 ; c=1020 1223 947 805; d=1526 1231

41、823 814; a1=n1./n; a2=n2./n; a3=n3./n; a2=a2*(1-0.4) for i=i:5n=384620.*(1+0.136);n(1)=n+n1(1)*(1-a3(1)+n1(2)*(1-a3(2)+n1(3)*(1-a3(3);n(2)=n(1)*(1-a1(1)*(1-a3(1)+n3(4)*(1-a3(4);n(3)=n(2)*(1-a1(2)*(1-a3(2);n(4)=n(3)*(1-a1(3)*(1-a3(3)+n(4)*(1-a1(4)*(1-a3(3);b1=sum(a2.*n.*b);d1=sum(a1.*n-a2.*n).*d*(1-0

42、.2);c1=sum(a1.*n.*c);g=sum(a3.*n*182);x=(b1+c1+d1+g+1.49*108)/sum(n.*(1-s);xend三、 頒布法令，醫(yī)藥費(fèi)下降40%的情況n=1665328 1764897 1154461 8760058 ; n1=582756 582463 115857 700872; n2=11652 23315 2292 7013; n3=18264 28240 13857 324114; n4=1280708 1764897 1154461 8760058; s=0 0.25 0.4 0.5; b=33985 37006 60015 70971

43、 ; c=1020 1223 947 805; d=1526 1231 823 814; a1=n1./n; a2=n2./n; a3=n3./n; a2=a2*(1-0.4) for i=i:5n=384620.*(1+0.136);n(1)=n+n1(1)*(1-a3(1)+n1(2)*(1-a3(2)+n1(3)*(1-a3(3);n(2)=n(1)*(1-a1(1)*(1-a3(1)+n3(4)*(1-a3(4);n(3)=n(2)*(1-a1(2)*(1-a3(2);n(4)=n(3)*(1-a1(3)*(1-a3(3)+n(4)*(1-a1(4)*(1-a3(3);b1=sum(a

44、2.*n.*b);d1=sum(a1.*n-a2.*n).*d*(1-0.4);c1=sum(a1.*n.*c);g=sum(a3.*n*182);x=(b1+c1+d1+g+1.49*108)/sum(n.*(1-s);xend計(jì)算得到以下數(shù)據(jù)： 1、沒有實(shí)施安全法規(guī)：。2、實(shí)施安全法規(guī)后5年的保險(xiǎn)費(fèi)情況：年數(shù)12345=20%，616.0470 615.5828615.1621614.7808614.4350=40%，561.5537561.1335560.7526560.4074560.0944從上面這個(gè)計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，頒布法令后，當(dāng)=20%和40%時(shí)，五年內(nèi)的保險(xiǎn)費(fèi)用都是下降的，這說明法規(guī)對(duì)交通事故起了一定的抑制作用。因?yàn)楸ｋU(xiǎn)費(fèi)中各種支出的減少，所以導(dǎo)致保險(xiǎn)費(fèi)的有一定的減少.3.2誤差分析本解決方案與現(xiàn)實(shí)會(huì)有一定誤差，主要在于我們的幾個(gè)假設(shè)。為了方便計(jì)算，我們假設(shè)了a）自動(dòng)終止保險(xiǎn)人數(shù)與總投保人數(shù)比例不變，而這些會(huì)產(chǎn)生