的所有積分因子-2019年文檔

1、的所有積分因子關(guān)于怎么求解一些特殊方程的積分因子的方法非常的多 , 在 求解的過程中我們會(huì)很自然地想到這么一個(gè)問題 , 如果一個(gè)方程 （不同時(shí)恒等于 0,以下都這么假定）有積分因子 , 那么它的積分 因子是不是唯一的？如果不唯一 , 那么積分因子之間有什么聯(lián) 系？怎么去確定其所有的積分因子？1 一階微分方程的積分因子及其通解之間的關(guān)系定理 1: 若、同為（1）的積分因子 ,且不恒為常數(shù) , 則為微分方程 （1） 的通解。定理 2: 若為的積分因子 , 且為其通解 , 則也是其積分因子。定理 3: 若為的積分因子 ,且不恒為常數(shù) , 則為其積分因子當(dāng) 且僅當(dāng)為其通解。以上定理常見的微分方程教科書

2、上都有。2 一階微分方程所有積分因子的刻畫 那么要刻畫微分方程的所有積分因子 , 實(shí)質(zhì)上就只需要刻畫 出它的所有具有“”形式的通解 , 然而通解是個(gè)不確定的概念 , 比如,我們可以說的通解為 , 實(shí)質(zhì)上我們?nèi)〔坏綖樨?fù)值的情況 ,為 了避免這種情況 , 我們從方程的解（解集）的角度來考慮這個(gè)問 題。微分方程的解還是方程（甚至為函數(shù)） , 從和我們就能看出 同一個(gè)方程可能有很多種不同的形式 , 相同的方程需要把它們統(tǒng) 一起來 , 簡(jiǎn)單的稱為等價(jià)。定義: 如果, 就稱方程與方程等價(jià)。容易驗(yàn)證 , 該等價(jià)具有自反性 , 對(duì)稱性 , 傳遞性。假設(shè)為的通解 , 容易驗(yàn)證對(duì)任意可微的一元函數(shù) , 也是它的

3、通解。反過來說 , 如果已知及都為的通解 , 是否一定存在一元函數(shù) 滿足呢？也許這個(gè)結(jié)論是正確的 , 筆者只能證明在某些特定的條 件下這個(gè)結(jié)論是正確的。定理 4: 如果的元素都滿足微分方程（特別地 , 當(dāng)?shù)臅r(shí)候就是 我們習(xí)慣上說的“通解”） , 則存在一元函數(shù) , 滿足, 其中滿足。證明: 因?yàn)? 所以滿足與等價(jià) , 且是唯一的 , 否則, 若、同與等 價(jià)則由傳遞性知與等價(jià) , 所以, 故存在映射。斷言單: 若, 則、同與等價(jià) ,同上。斷言滿 : 。因?yàn)楣蕽M足與等價(jià) , 即。故, 存在為一一映射 , 滿足與等價(jià)。斷言與等價(jià)。顯然, 取滿足 , 若, 則,所以, 由單有 , 所以。即, 故與 等價(jià), 由等價(jià)的傳遞性 , 有與等價(jià) , 或與等價(jià)。即。故。即, 將看成關(guān)于、的二元函數(shù) ,顯然有 ,其中滿足。 證畢。定理 5: 若已知方程的兩個(gè)不成倍數(shù)的積分因子、 , 則其所有 的積分因子都具有的形式。定理 6: 若已知為方程的積分因子 , 為其通解 , 則其所有的積 分因子都具有的形式。3 例子例 1: 微分方程以及為積分因子 , 因而它的所有的積分因子都 具有的形式 , 當(dāng)然要求有一定的光滑性。例2:一階線性微分方程只含變量的積分因子為