高等數(shù)值分析作用——歐拉法與阿達(dá)姆斯法

1、求解常微分方程初值問(wèn)題的方法分為單步法和多步法， 單步法主要有歐拉法和runge- kutta 法，多步法主要有adams 法和milne 法，本文僅以最常用的runge- kutta 法和adams 法分別作為單步法和多步法的例子，對(duì)兩種方法進(jìn)行分析比較。euler 法是最簡(jiǎn)單的一種求解常微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值方法，但其局部截?cái)嗾`差僅為，是一階方法，為了達(dá)到更高的精度，我們構(gòu)造了rk 法通過(guò)構(gòu)造高階單步法來(lái)提高精度，而較高的精度意味著計(jì)算結(jié)果更加精確，誤差隨著的減小迅速減小，考慮常微分方程：常用的多步法主要有adams 法和milne 法，本文僅以adams 法為例介紹多步法，其中adams

2、法又包括顯式adams 法和隱式adams 法。顯式adams 法:adams- bashforth 公式：公式（2.7）又稱為adams 外插公式2。為方便計(jì)算，改用函數(shù)值表示后差：因（2.7）或（2.8）是顯式公式，所以又稱它們?yōu)轱@式adams 公式, 易見(jiàn)顯式adams 公式（2.7）或（2.8）是線性步公式。常用的四階顯式adams 公式為2隱式adams 法稱（2.10）為adams-moulton 公式所用的牛頓向后插值多項(xiàng)式基點(diǎn)為，而積分區(qū)間為，故上式又稱為adams 內(nèi)插公式，該式為隱式公式，故又稱為隱式adams 公式。這是一個(gè)關(guān)于的隱式方程，在計(jì)算中，需要將式（2.12）寫

3、成顯式格式，但一些方程難以求出其顯式格式，這就需要將四階顯式adams 法和四階隱式adams 法結(jié)合起來(lái)，用顯式公式（2.9）作為預(yù)測(cè)，然后用隱式公式（2.12）作校正，構(gòu)造adams預(yù)測(cè)- 校正公式2式（2.13）為四階公式，式中的初始值除y0 已給定， y1， y2， y3 常用四階rk法計(jì)算四級(jí)rk 法每前進(jìn)一步需要計(jì)算四個(gè)函數(shù)值，對(duì)n級(jí)rk法，每計(jì)算一步，函數(shù)f 需要計(jì)算n次。因此，對(duì)給定的n，我們總是希望構(gòu)造階數(shù)最高的方法，記是n級(jí)rk法所能達(dá)到的最高的階數(shù)，已經(jīng)得到下面的結(jié)果4：由此可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)， ，從而四級(jí)四階rk法是較受歡迎的方法。對(duì)于顯式adams 法，已知， ， 和，把它們

4、代入到式（2.9）右端，就可以直接得到，因而是一個(gè)四級(jí)四階的方法，應(yīng)用公式時(shí)需要提供主y0， y1， y2 和y34 個(gè)初始值，通常也是由經(jīng)典rk公式提供。同樣，對(duì)于四階隱式adams 法，式（2.12）是一個(gè)三級(jí)四階的，應(yīng)用該公式需要提供3 個(gè)初始值y0， y1 和y2，通常由經(jīng)典rk公式提供。對(duì)四階rk法，用測(cè)試方程分析其精度假設(shè)yn 是已知的， yn+1 的精確值為：一步迭代的誤差與h5 成比例，即局部截?cái)嗾`差為。3.2.2 多步顯式adams 法的局部截?cái)嗾`差是故，顯式adams 法的局部截?cái)嗾`差的階為。式（2.9）的局部截?cái)嗾`差為利用牛頓后插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)表達(dá)式，可得隱式adams

5、公式的局部截?cái)嗾`差的階為，因此式（2.12）的局部截?cái)嗾`差的階為，對(duì)照顯式公式的局部截?cái)嗾`差階為，可見(jiàn)同樣步隱式公式較之顯式公式更為精確，其局部截?cái)嗾`差階高一階。四階四階rk法的局部截?cái)嗾`差為，而四級(jí)四階顯式adams 法的局部截?cái)嗾`差也為為，這同三級(jí)四階隱式adams 法的精度是一樣的。由此可見(jiàn)，相同精度條件下，隱式adams 法的步數(shù)更少一些。歐拉法對(duì)于初值問(wèn)題，先進(jìn)行離散化，將區(qū)間a，b做n等分，得到各個(gè)離散節(jié)點(diǎn)，式中，設(shè)為方程的解，則在點(diǎn)（xi，yi）處的泰勒展開式為當(dāng)有界且h充分小時(shí)，可忽略高階無(wú)窮小量，可將上式寫成上式即為常微分方程初值問(wèn)題的歐拉公式.利用它可由已知的初值y0出發(fā)，

6、逐步算出y1 ，y2 ，yn。歐拉公式具有遞推性，在計(jì)算yi+1時(shí)只要用到前一步所得結(jié)果yi一個(gè)信息就夠了，因此屬于單步法或一步法。歐拉公式可分為顯式（向前）歐拉格式，和隱式（向后）歐拉格式。它們的表達(dá)式分別如下：顯式歐拉格式：隱式歐拉格式：阿達(dá)姆斯法用前面若干個(gè)節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值的線性組合來(lái)計(jì)算的近似值，這種方法稱為線性多步法。其常用算法主要是阿達(dá)姆斯法，分為顯示格式和隱式格式。顯式阿達(dá)姆斯法當(dāng)k=0時(shí)，即為顯式歐拉格式，其局部截?cái)嗾`差為當(dāng)k=4時(shí)，其局部截?cái)嗾`差為上式稱為阿達(dá)姆斯四步顯式方法，是一種最常用的多步算法。隱式阿達(dá)姆斯法局部截?cái)嗾`差為當(dāng)k=0時(shí)，即為隱式歐拉格式，局部截?cái)嗾`差為

7、當(dāng)k=3時(shí)，局部截?cái)嗾`差為上式稱為三步四階阿達(dá)姆斯法隱式算法。精度和收斂性一般的，整體截?cái)嗾`差和收斂速度要比局部截?cái)嗾`差低一階。顯式歐拉方法的局部截?cái)嗾`差為其精度為一階，整體截?cái)嗾`差為，收斂速度為隱式歐拉方法的局部截?cái)嗾`差為其精度為一階，整體截?cái)嗾`差為，收斂速度為阿達(dá)姆斯四步顯式方法的局部截?cái)嗾`差為，其精度為四階，整體截?cái)嗾`差為，收斂速度為阿達(dá)姆斯三步隱式方法的局部截?cái)嗾`差為，其精度為四階，整體截?cái)嗾`差為，收斂速度為通過(guò)上述比較，顯然與歐拉方法相比，阿達(dá)姆斯法的精度更高，收斂速度更快，但是計(jì)算工作量更大，求解難度高。相同步數(shù)下，阿達(dá)姆斯隱式方法的精度比顯式更高；相同精度下，阿達(dá)姆斯隱式方法的步數(shù)比顯式更少。穩(wěn)定性穩(wěn)定區(qū)域：能保證該算法穩(wěn)定的的取值范圍。其中，穩(wěn)定區(qū)域越大，意味著該算法的穩(wěn)定性越好。顯式歐拉方法的穩(wěn)定區(qū)域?yàn)殡[式歐拉方法的穩(wěn)定區(qū)域?yàn)?，是絕對(duì)穩(wěn)定的（無(wú)條件）因此，隱式歐拉方法的穩(wěn)定性比顯式歐拉方法的好。k=3時(shí)的顯示阿達(dá)姆斯方法穩(wěn)定區(qū)域