雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器

1、燕山大學(xué)課 程 設(shè) 計(jì) 說(shuō) 明 書題目：雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器學(xué)院（系）： 電氣工程學(xué)院 年級(jí)專業(yè)： 10級(jí)檢測(cè)2班 學(xué) 號(hào)： 100103020122 學(xué)生姓名： 劉培露 指導(dǎo)教師： 王娜 教師職稱： 講師 課程名稱： 數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì) 基層教學(xué)單位：儀器科學(xué)與工程系 指導(dǎo)教師：王娜 學(xué)號(hào)學(xué)生姓名（專業(yè)）班級(jí) 設(shè)計(jì)題目12、 雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)參數(shù)給定技術(shù)指標(biāo)為：，采樣頻率。設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)butterworth低通濾波器，用雙線性變換法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。(buttord,buttap,butter,bilinear)參考資料數(shù)字信號(hào)處理方面資料matlab方面資

2、料周次前半周后半周應(yīng)完成內(nèi)容收集消化資料、學(xué)習(xí)matlab軟件，進(jìn)行相關(guān)參數(shù)計(jì)算編寫仿真程序、調(diào)試指導(dǎo)教師簽字基層教學(xué)單位主任簽字說(shuō)明：1、此表一式四份，系、指導(dǎo)教師、學(xué)生各一份，報(bào)送院教務(wù)科一份。 2、學(xué)生那份任務(wù)書要求裝訂到課程設(shè)計(jì)報(bào)告前面。電氣工程學(xué)院 教務(wù)科目錄一.課題描述2二.設(shè)計(jì)原理.22.1 iir數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)原理.22.2巴特沃斯低通濾波器的原理 32.3雙線性變換法42.4用雙線法設(shè)計(jì)巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的步驟 .9三. matlab程序.10四.程序中命令介紹.12五. 圖像結(jié)果. .14六. 結(jié)果分析 .16七.心得體會(huì):.16一.課題描述數(shù)字濾波器是一種用來(lái)過濾時(shí)間

3、離散信號(hào)的數(shù)字系統(tǒng)，通過對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理來(lái)達(dá)到頻域?yàn)V波的目的?？梢栽O(shè)計(jì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，讓它滿足一定的要求，從而對(duì)通過該系統(tǒng)的信號(hào)的某些特定的頻率成分進(jìn)行過濾，這就是濾波器的基本原理。如果系統(tǒng)是一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)，則濾波器稱為模擬濾波器。如果系統(tǒng)是一個(gè)離散系統(tǒng)，則濾波器稱為數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波實(shí)質(zhì)上是一種運(yùn)算過程，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的運(yùn)算處理。輸入數(shù)字信號(hào)（數(shù)字序列）通過特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個(gè)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算過程，也可以理解為是一臺(tái)計(jì)算機(jī)。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關(guān)系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號(hào)濾波器提供運(yùn)算規(guī)則，使其按照這個(gè)規(guī)則完成對(duì)輸入數(shù)據(jù)的處理。時(shí)域離散

4、系統(tǒng)的頻域特性:其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）, 是數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后,因此，只要按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處理信號(hào)的目的， 適當(dāng)選擇，使得濾波后的滿足設(shè)計(jì)的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。二.設(shè)計(jì)原理2.1 iir數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)原理iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般是利用目前已經(jīng)很成熟的模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，通常采用模擬濾波器原型有butterworth函數(shù)、chebyshev函數(shù)、bessel函數(shù)、橢圓濾波器函數(shù)等。iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟： 按照一定規(guī)則把給定的濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換

5、為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)； 根據(jù)模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)為響應(yīng)的模擬低通濾波器； 跟據(jù)脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器； 如果要設(shè)計(jì)的濾波器是高通、帶通或帶阻濾波器，則首先把它們的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)為數(shù)字低通濾波器，最后通過頻率轉(zhuǎn)換的方法來(lái)得到所要的濾波器。在matlab中，經(jīng)典法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器主要采用以下步驟：模擬濾波器原型buttap,cheb1ap頻率變換模擬離散化bilinear,impinvariir數(shù)字濾波器圖2.1 iir數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟2.2巴特沃斯低通濾波器的原理巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是同頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最為平坦，沒有起伏

6、，而在組頻帶則逐漸下降為零。在振幅的對(duì)數(shù)對(duì)角頻率的波特圖上，從某一邊界見頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐漸減少，趨向于負(fù)無(wú)窮大。一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻20分貝，二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝，三階的衰減率為每分貝18分貝，如此類推，巴特沃斯濾波器的振幅對(duì)角頻率單調(diào)下降，并且濾波器的結(jié)束越高，在組頻帶振幅衰減速度越快，其他濾波器高階的振幅對(duì)角頻率圖和低階數(shù)的振幅對(duì)角頻率有不同的形狀。 上述函數(shù)的特點(diǎn)是等距離分布在半徑為的圓上。因此，極點(diǎn)用下式表示為的表示式：為了使設(shè)計(jì)公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。巴特沃斯濾波器采用3db截止頻率歸一化，歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為令,稱為歸一化

7、頻率，稱為歸一化復(fù)變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為式中，為歸一化極點(diǎn)，用下式表示: 2.3雙線性變換法1.雙線性變換法的基本原理由于從平面到平面的映射具有多值性，使得設(shè)計(jì)出來(lái)的數(shù)字濾波器不可避免的出現(xiàn)頻譜混迭現(xiàn)象。為了克服脈沖響應(yīng)不變法可能產(chǎn)生的頻譜混疊效應(yīng)的缺點(diǎn)，我們使用一種新的變換雙線性變換。雙線性變換法可認(rèn)為是基于對(duì)微分方程的積分，利用對(duì)積分的數(shù)值逼近的思想 。仿真濾波器的傳遞函數(shù)為 將展開為部份分式的形式，并假設(shè)無(wú)重復(fù)幾點(diǎn)，則 那么，對(duì)于上述函數(shù)所表達(dá)的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)來(lái)講，其仿真輸入和模擬輸出有如下關(guān)系利用差分方程來(lái)代替導(dǎo)數(shù)，即 同時(shí)令這樣，便可將上面的微分方程寫為

8、對(duì)應(yīng)的差分方程形式 兩邊分別取變換，可得 這樣，通過上述過程，就可得到雙線性變換中的基本關(guān)系，如下所示 所謂的雙線性變換，僅是指變換公式中與的關(guān)系無(wú)論是分子部份還是分母部份都是線性的。2. 轉(zhuǎn)換關(guān)系分析雙線性變換法采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻域軸上的頻率范圍壓縮到-/t/t之間，再用z=轉(zhuǎn)換到z平面上。也就是說(shuō)，第一步現(xiàn)將整個(gè)s平面壓縮映射到s1平面的-/t/t一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個(gè)z平面上去。這樣就使s平面與z平面建立了一一對(duì)應(yīng)的膽汁關(guān)系，消除了多只變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖所示。為了將s平面的整個(gè)虛軸壓縮到軸上的-/t到/t段上，可以通

9、過以上的正切的變換實(shí)現(xiàn) =2/ttan(t/2) 式中，t仍是采樣間隔。當(dāng)由-/t經(jīng)過0變化到/t時(shí)，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個(gè)軸。將上式寫成 將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)s平面和，令=s, =s1,則得s 再將s1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z平面：z= 從而得到s平面和z平面的單值映射關(guān)系為; 以上兩式是s平面與z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此成為雙線性變換。依靠雙線性變換是建立起來(lái)s平面和z平面的單值映射關(guān)系，由上式我們可以得到模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系： 從上式可知，當(dāng)時(shí)，終止在折疊頻率=處，整個(gè)軸是單值地對(duì)應(yīng)于單位元的一周。因此雙線性變換法不同于脈沖

10、響應(yīng)不變法，它不存在頻率混淆問題。然而，付出的代價(jià)是在頻率軸上引入了失真。因此，只有當(dāng)能容忍或補(bǔ)償這種失真時(shí)，使用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的方法才是實(shí)用的。僅在零頻率附近時(shí)與之間的頻率變換關(guān)系接近于線性關(guān)系，所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變。圖2.3 雙線性變化法的頻率關(guān)系由于s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)，s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外，s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得到的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。但是，它的頻率變換關(guān)系是非線性畸變。這種非線性即便可以通過預(yù)畸變來(lái)校正。用雙線性變換設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，一

11、般總是先將數(shù)字濾波器的各臨界頻率經(jīng)上式的頻率預(yù)畸變，求得相應(yīng)參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設(shè)計(jì)參考模擬濾波器的傳遞函數(shù)，最后通過雙線性變換公式球的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。這樣通過雙線性變換，正好將這些頻率點(diǎn)映射到我們所需要的位置上。下面我們利用模擬濾波器設(shè)計(jì)iir數(shù)字低通濾波器的步驟。a)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：同代截止頻率、同代衰減、阻帶截止頻率、阻帶衰減。b)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。采用雙線性變換法，便捷頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 c)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。d）將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)ha(s)從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)

12、反函數(shù)ha(z)。h(z)=ha（s）|2.4 用雙線法設(shè)計(jì)巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的步驟matlab中設(shè)計(jì)iir數(shù)字濾波器的具體步驟如下：(1) 把給出的模擬濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器的性能指標(biāo)；(2) 將數(shù)字低通濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換模擬濾波器的性能指標(biāo)；(3) 根據(jù)轉(zhuǎn)換后的性能指標(biāo)，通過濾波器結(jié)束選擇函數(shù)，來(lái)確定濾波器的最小階數(shù)n和固有頻率wn；(4) 由最小階數(shù)n得到巴特沃斯模擬低通濾波器原型；(5) 模擬低通濾波器到模擬低通濾波器的轉(zhuǎn)換；(6) 運(yùn)用雙線性變換法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。三、 matlab程序 fs=1000;%采樣頻率fp=100;fst=300;wp=2

13、*pi*fp/fs;%數(shù)字通帶截止頻率ws=2*pi*fst/fs;%數(shù)字阻帶截止頻率rp=3;%通帶最大衰減系數(shù)rs=20;%阻帶最大衰減系數(shù)fs=fs/fs;ts=1/fs;%采樣周期m=256;%采樣點(diǎn)數(shù)wp=2/ts*tan(wp/2);%模擬通帶截止頻率ws=2/ts*tan(ws/2);%模擬阻帶截止頻率n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s);%選擇模擬巴特沃斯低通濾波器的最小階數(shù)z,p,k=buttap(n);%創(chuàng)建巴特沃斯模擬低通濾波器bp,ap=zp2tf(z,p,k);%由零點(diǎn)、極點(diǎn)、增益確定傳輸函數(shù)的分子與分母的系數(shù)b,a=lp2lp(bp,ap,wn);

14、%模擬低通濾波器到模擬低通濾波器的轉(zhuǎn)換bz,az=bilinear(b,a,fs*ts/2);%用雙線性變換法實(shí)現(xiàn)模擬低通濾波器到數(shù)字低通濾波器的轉(zhuǎn)換h,w=freqz(bz,az,m,fs/fs);%得到數(shù)字濾波器的m點(diǎn)復(fù)頻響應(yīng)db=20*log(abs(h)/max(abs(h);figure(1);plot(w,abs(h),r);title(數(shù)字低通濾波器)grid on;figure(2);subplot(2,1,1);plot(w/pi,db);title(幅頻特性);xlabel(w/pi);ylabel(20lg|hg(w)|);grid on,subplot(2,1,2);p

15、lot(w/pi,angle(h);title(相頻特性);xlabel(w/pi);ylabel(相位);grid on;wp1=2*pi*fp;ws1=2*pi*fst;nc,wc=buttord(wp1,ws1,rp,rs,s);%計(jì)算濾波器的階數(shù)和3db截止頻率b1,a1=butter(nc,wc,s);%計(jì)算濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式f,h=freqs(b1,a1);figure(3)plot(h,abs(f);grid on,xlabel(頻率（hz）),ylabel(幅度);title(模擬低通濾波器);四、 程序中命令介紹 1)確定濾波階段函數(shù)buttord 格式： n,wn

16、=buttord(wp,ws,rp,rs,s) 表示選擇模擬巴特沃斯低通濾波器的最小階數(shù)其中：n：滿足指標(biāo)的最低濾波器階數(shù) wn:巴特沃斯自然頻率 rp:通帶最大衰減 rs:阻帶最小衰減 wp、ws歸一化的通帶和阻帶邊緣頻率。 2)確定低通模擬濾波器原函數(shù)buttap 格式：z,p,k=buttap(n)其中：n:滿足指標(biāo)的最低濾波器階數(shù)z:n階歸一化原型巴特沃斯模擬低通濾波器的零點(diǎn)p:n階歸一化原型巴特沃斯模擬低通濾波器的極點(diǎn)k:n階歸一化原型巴特沃斯模擬低通濾波器的增益3)雙線性變換函數(shù)billinear格式：bz,az=bilinear(bs,zs,fs/2)其中:as:模擬濾波器傳遞函

17、數(shù)的分母系數(shù) bs:模擬濾波器傳遞函數(shù)的分子系數(shù) az: 數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)的分母系數(shù) bz: 數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)的分子系數(shù)4) 零點(diǎn)、極點(diǎn)、增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型zp2tf 格式：bp,ap=zp2tf(z,p,k)其中：bp: 模擬濾波器傳遞函數(shù)的分子系數(shù)ap: 模擬濾波器傳遞函數(shù)的分母系數(shù)5) 模擬低通濾波器到模擬低通濾波器的轉(zhuǎn)換lp2lp 格式：b,a=lp2lp(bp,ap,wn)其中：b: 模擬濾波器傳遞函數(shù)的分子系數(shù) a: 模擬濾波器傳遞函數(shù)的分子系數(shù)6) 數(shù)字濾波器的頻率相應(yīng)freqz 格式： h,w=freqz(bz,az,m)其中，w: m點(diǎn)頻率 h: m點(diǎn)頻率響應(yīng) m

18、：采樣點(diǎn)五.圖像結(jié)果n =2wn =872.6903（3db截止頻率）bz = 0.1053 0.2107 0.1053az = 1.0000 -0.8958 0.3172六、 結(jié)果分析本次設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器采用巴特沃茲濾波器使用雙線性變換法，避免的出現(xiàn)頻譜混迭現(xiàn)象。仿真結(jié)果中出的模擬和數(shù)字濾波器幅頻相應(yīng)符合設(shè)計(jì)要求即給定技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻阻帶截止頻率通帶衰減阻帶衰減。所仿真結(jié)果中數(shù)據(jù)有n=2,wn=872.6903.仿真圖中符合衰減效果。由此可得所設(shè)計(jì)的程序符合所設(shè)計(jì)的技術(shù)和參數(shù)要求。七心得體會(huì)本次設(shè)計(jì)使用了濾波器設(shè)計(jì)中的最基本的方法：雙線性變換法。濾波器設(shè)計(jì)原理來(lái)比較簡(jiǎn)單，在matlab中有專門的函數(shù)可用來(lái)調(diào)用，實(shí)現(xiàn)濾波器的。由于對(duì)matlab了解的不多，甚至連基本的函數(shù)語(yǔ)句都得查書才能知道，這就大大增加了我們?cè)O(shè)計(jì)的時(shí)間。有時(shí)在調(diào)用函數(shù)時(shí)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，得不到正確結(jié)果，程序運(yùn)行時(shí)也會(huì)有很多的錯(cuò)誤。這讓我深深體會(huì)到，要想正確得出一個(gè)波形，需要花很多的時(shí)間和很大精力。個(gè)人感覺濾波器的設(shè)計(jì)比較難，而且設(shè)計(jì)內(nèi)容龐大，使得時(shí)間非常緊張。不過收獲特別大，在不斷錯(cuò)誤的過程中，我學(xué)到了新的知識(shí)，同時(shí)也磨練了自己的意志。做完本設(shè)計(jì)，我對(duì)低通數(shù)字