4.示范教案(1.2.2-同角三角函數(shù)的基本關系)正式版7頁

1、1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關系整體設計教學分析 與三角函數(shù)的定義域、符號的確定一樣,同角三角函數(shù)的基本關系式的推導,緊扣了定義,是按照一切從定義出發(fā)的原則進行的,通過對基本關系的推導,應注意學生重視對基本概念學習的良好習慣的形成,學會通過對基本概念的學習,善于鉆研,從中不斷發(fā)掘更深層次的內(nèi)涵.同角三角函數(shù)的基本關系式將“同角”的四種不同的三角函數(shù)直接或間接地聯(lián)系起來,在使用時一要注意“同角”,至于角的表達形式是至關重要的,如sin24+cos24=1等,二要注意這些關系式都是對于使它們有意義的那些角而言的,如tan中的是使得tan有意義的值,即k+,kZ. 已知任意角的正弦、余弦、正切中的

2、一個值便可以運用基本關系式求出另外的兩個,這是同角三角函數(shù)關系式的一個最基本功能,在求值時,根據(jù)已知的三角函數(shù)值,確定角的終邊的位置是關鍵和必要的,有時由于角的終邊的位置不確定,因此解的情況不止一種,解題時產(chǎn)生遺漏的主要原因一是沒有確定好或不去確定終邊的位置;二是利用平方關系開方時,漏掉了負的平方根.三維目標 1.通過三角函數(shù)的定義導出同角三角函數(shù)基本關系式,并能運用同角三角函數(shù)的基本關系式進行三角函數(shù)的化簡與證明. 2.同角三角函數(shù)的基本關系式主要有三個方面的應用:(1)求值(知一求二);(2)化簡三角函數(shù)式;(3)證明三角恒等式.通過本節(jié)的學習,學生應明了如何進行三角函數(shù)式的化簡與三角恒等

3、式的證明. 3.通過同角三角函數(shù)關系的應用使學生養(yǎng)成探究、分析的習慣,提高三角恒等變形的能力,樹立轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.重點難點 教學重點:課本的三個公式的推導及應用. 教學難點:課本的三個公式的推導及應用.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.先請學生回憶任意角的三角函數(shù)定義,然后引導學生先計算后觀察以下各題的結(jié)果,并鼓勵學生大膽進行猜想,教師點撥學生能否用定義給予證明,由此展開新課.計算下列各式的值:(1)sin290+cos290;(2)sin230+cos230;(3);(4).推進新課新知探究提出問題 在以下兩個等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角應受什么影響?圖1如圖1,以正弦

4、線MP、余弦線OM和半徑OP三者的長構(gòu)成直角三角形,而且OP=1.由勾股定理有OM2+MP2=1.因此x2+y2=1,即sin2+cos2=1(等式1).顯然,當?shù)慕K邊與坐標軸重合時,這個公式也成立.根據(jù)三角函數(shù)的定義,當k+,kZ時,有=tan(等式2).這就是說,同一個角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切.對于同一個角的正弦、余弦、正切,至少應知道其中的幾個值才能利用基本關系式求出其他的三角函數(shù)的值. 活動:問題先讓學生用自己的語言敘述同角三角函數(shù)的基本關系,然后教師點撥學生思考這兩個公式的用處.同時啟發(fā)學生注意“同一個角”這個前提條件,及使等式分別有意義的角的取值范圍.問題可讓學

5、生展開討論,點撥學生從方程的角度進行探究,對思考正確的學生給予鼓勵,對沒有思路的學生教師點撥其思考的方法,最后得出結(jié)論“知一求二”.討論結(jié)果:在上述兩個等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一個等式中,可以是任意角,在第二個等式中k+,kZ.在上述兩個等式中,只要知道其中任意一個,就可以求出其余的兩個.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;進而用第二個等式2求出正切.應用示例思路1例1 已知sin=,并且是第二象限的角,求cos,tan的值. 活動:同角三角函數(shù)的基本關系學生應熟練掌握,先讓學生接觸比較簡單的應用問題,明確和正確地應用同角三角函數(shù)關系.可以引導學生觀察與題設條

6、件最接近的關系式是sin2+cos2=1,故cos的值最容易求得,在求cos時需要進行開平方運算,因此應根據(jù)角所在的象限確定cos的符號,在此基礎上教師指導學生獨立地完成此題.解:因為sin2+cos2=1,所以cos2=1-sin2=1-()2=.又因為是第二象限角,所以cos0.于是cos=,從而tan=()=.點評:本題是直接應用關系求解三角函數(shù)值的問題,屬于比較簡單和直接的問題,讓學生體會關系式的用法.應使學生清楚tan=中的負號來自是第二象限角,這也是根據(jù)商數(shù)關系直接運算后的結(jié)果,它不同于在選用平方關系式的三角函數(shù)符號的確定.例2 已知cos=,求sin,tan的值. 活動:教師先引

7、導學生比較例1、例2題設條件的相異處,根據(jù)題設條件得出角的終邊只能在第二或第三象限. 啟發(fā)學生思考僅有cos0是不能確定角的終邊所在的象限,它可能在x軸的負半軸上(這時cos=-1). 解:因為cos0,因此=cos80=cos80,此題不難,讓學生獨立完成.解:原式=cos80. 點評:恰當利用平方關系和誘導公式化簡三角函數(shù)式.提醒學生注意化簡后的簡單的三角函數(shù)式應盡量滿足以下幾點:(1)所含的三角函數(shù)種類最少;(2)能求值(指準確值)的盡量求值;(3)不含特殊角的三角函數(shù)值.變式訓練化簡:答案:cos40-sin40.點評:提醒學生注意:12sincos=sin2+cos22sincos=

8、(sincos)2,這是一個很重要的結(jié)論.知能訓練課本本節(jié)練習.解答:1.sin=,tan=.2.當為第二象限角時,sin=,cos=當為第四象限角時,sin=,cos=.3.當為第一象限角時,cos0.94,tan0.37.當為第二象限角時,cos-0.94,tan-0.37.4.(1)costan=cos=sin;(2)5.(1)左=(sin2+cos2)(sin2-cos2)=sin2-cos2=右;(2)左=sin2(sin2+cos2)+cos2=sin2+cos2=1=右.課堂小結(jié) 由學生回顧本節(jié)所學的方法知識:同角三角函數(shù)的基本關系式及成立的條件,根據(jù)一個任意角的正弦、余弦、正切

9、中的一個值求出其余的兩個值(可以簡稱“知一求二”)時要注意這個角的終邊所在的位置,從而出現(xiàn)一組或兩組或四組(以兩組的形式給出). “知一求二”的解題步驟一般為:先確定角的終邊位置,再根據(jù)基本關系式求值,若已知正弦或余弦,則先用平方關系,再用其他關系求值;若已知正切或余切,則構(gòu)造方程組求值. 教師和學生一起歸納三角函數(shù)式化簡與三角恒等式的證明的一般方法及應注意的問題,并讓學生總結(jié)本節(jié)用到的思想方法.作業(yè)1.化簡(1+tan2)cos2;2.已知tan=2,求的值.答案:1.1;2.3.設計感想 公式的推導和應用是本節(jié)課的重點,也是本節(jié)課的難點. 公式的應用實際上是求可化為完全平方的三角函數(shù)式的“

10、算術平方根”的化簡題和證明題,這類問題可按下列情形分別處理: (1)如果這個三角函數(shù)式的值的符號可以確定,則可以根據(jù)算術平方根的定義直接得到結(jié)果; (2)如果這個三角函數(shù)式的值的符號不可以確定,則可根據(jù)題設條件,經(jīng)過合理的分類討論得到結(jié)果. 三角函數(shù)式的化簡,體現(xiàn)了由繁到簡的最基本的數(shù)學解題原則,它不僅需要學生能熟悉和靈活運用所學的三角公式,還需要熟悉和靈活運用這些公式的等價形式,同時,這類問題還具有較強的綜合性,對其他非三角知識的靈活運用也具有較高的要求,在教學時要注意進行相關知識的復習. 證明恒等式的過程實質(zhì)上就是分析轉(zhuǎn)化和消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程,證明時常用的方法一般有以下三種:

11、 (1)依據(jù)相等關系的傳遞性,從等式一邊開始,證明它等于另一邊,證明時一般遵循由繁到簡的原則. (2)依據(jù)“等于同量的兩個量相等”證明左、右兩邊等于同一個式子. (3)依據(jù)等價轉(zhuǎn)化思想,證明與原式等價的另一個式子成立,從而推出原式成立.教材上在運用這一方法時使用的是綜合法,初學恒等式的證明時,運用等價轉(zhuǎn)化的方法可以使證明的思路更清楚一些,實際上,使用綜合法時不一定要求進行等價轉(zhuǎn)化,只需證明等式成立的充分條件即可(教師知道即可),證明方法中分別運用到了分式的基本性質(zhì)和算式的基本性質(zhì).使學生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函數(shù),為了便于將算式兩邊溝通,可通過“切化弦”使兩邊的三角函數(shù)相同

12、.學習不是一朝一夕的事情，需要平時積累，需要平時的勤學苦練。有個故事：古希臘大哲學家蘇格拉底在開學第一天對他的學生們說：“今天你們只學一件最簡單也是最容易的事兒。每人把胳膊盡量往前甩，然后再盡量往后甩?！闭f著，蘇格拉底示范做了一遍，“從今天開始，每天做300下，大家能做到嗎？”學生們都笑了，這么簡單的事，有什么做不到的？過了一個月，蘇格拉底問學生：每天甩手300下，哪個同學堅持了，有90的學生驕傲的舉起了手，又過了一個月，蘇格拉底又問，這回，堅持下來的學生只剩下了80。一年過后，蘇格拉底再一次問大家：“請告訴我，最簡單的甩手運動。還有哪幾個同學堅持了？”這時，整個教室里，只有一個人舉起了手，這

13、個學生就是后來成為古希臘另一位大哲學家的柏拉圖。同學們，柏拉圖之所以能成為大哲學家，其中一個重要原因，就是，柏拉圖有一種持之以恒的優(yōu)秀品質(zhì)。要想成就一番事業(yè)，必須有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能夠感動天帝，移走太行、王屋二山。正是因為他具有鍥而不舍的精神。戎馬一生，他前十次革命均告失敗，但他百折不撓，終于在第十一次革命的時候，推翻了清王朝的統(tǒng)治，建立了中華民國。這些故事，情節(jié)不同，但意義都是一樣的，它告訴無們，做事要有恒心。旬子講：“鍥而不舍，朽木不折；鍥而舍之，金石可鏤?！边@句話充分說明了一個人如果有恒心，一些困難的事情便可以做到，沒有恒心，再簡單的事也做不成。學習是

14、一條慢長而艱苦的道路，不能靠一時激情，也不是熬幾天幾夜就能學好的，必須養(yǎng)成平時努力學習的習慣。所以我說：學習貴在堅持！當下市面上關于教授學習方法的書籍不少，其所載內(nèi)容也的確很有道理，然而當讀者實際應用時，很多看似實用的方法用來效果卻并不明顯，之后的結(jié)果無非是兩種：要么認為自己沒有掌握其精髓要領，要么抱怨那本書的華而不實，但最終肯定還是會回歸到當初的原點。這本學會學習在一開始并沒有急于兜售自己的方法，而是通過測試讓讀者真正了解自己，從而找到適合自己思維方式的學習方法，書的第一部分就是左腦還是右腦思維測試和視覺、聽覺和動覺學習模式測試，經(jīng)過有效分類后，針對不同讀者對不同思考和接收接受學習的特點，有

15、針對性的分別給出建議，從而不斷強化自己的優(yōu)勢。在其后書中的所有介紹具體學習方法章節(jié)的最開始，都是按照不同學習模式給出各種學習方法不同的建議，這是此書區(qū)別于其他學習方法類書籍的最大特點，這種“因材施教”的方式能讓讀者有種豁然開朗的感覺，除了能夠得到最適合自己的有效的學習方法也能更深入的認識客觀的自己，不論對學習還是生活都有幫助。除了“針對性”強外，本書第二大特點就是“全面”，全書都是由一篇篇短文、圖表集成，更像是一本博文或者PPT課件合集，每個學習方法的題目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章節(jié)內(nèi)容安排的比較混亂，所幸每一章節(jié)關聯(lián)性并不太強，每個章節(jié)都適合獨立檢索來閱讀學習。其內(nèi)容從“時間規(guī)劃”

16、、“筆記”“閱讀”直到“考試”幾乎涉及了所有學習中的常遇問題，文中文字精煉沒有過分的渲染，完全是純純的“干貨”，可以設身處地的想象：當自己面對學海之中手足無措之時，長篇大論的方法肯定會無心查看，明了的編排，讓人從目錄中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文盡可能在最少的時間讓讀者得到最有用的信息，是一部值得學習的人們不斷自我提高的有力武器。曾經(jīng)看到一個有意思的心理測試:用“正確的方法”、“錯誤的方法”和“積極的行為”、“消極的行為”，來自由搭配，看如何搭配出最好和最壞的結(jié)果，“正確方法”配合“積極的行為”無疑是最好的結(jié)果，然而我們會很“慣性”想當然的認為，“錯誤的方法”和“消極的行為”搭配是

17、最壞的結(jié)果，其實“錯誤的方法”加上“積極的行為”才是最壞的結(jié)果，這會讓人在錯誤的路上越走越遠，學習也是同理，一味鉆牛角尖般的生搬硬套不適合自己的方法不論多努力都只會離成功越來越遠，而好的學習方法加上積極的學習態(tài)度無疑會讓你如虎添翼。這是每個人都需要的，起碼在學生的時候如果遇到，或者人生會少一些遺憾，我只恨我遇見的晚了點，可是現(xiàn)在已是終身學習的年代，錯過了最恰當?shù)臅r候，但只要有心又怎會嫌晚呢？本書歸類為學習方法-青年讀物，是本工具書，學習手冊，但不能阻止她成為經(jīng)典。這本書的副標題為“增加學習技能與腦力”，正是本書的宗旨，本書系統(tǒng)化地闡述了學習技能提升的各個方面，可謂事無巨細的令人發(fā)指啊。整體來講

18、主要包括7個方面，分別是學習模式，時間管理和學習技巧規(guī)劃，筆記記錄技巧，閱讀技巧，記憶，應試技巧，拾遺。全書的結(jié)構(gòu)采取的是總分的形式，前三個方面是總的部分，算是增加學習技能的準備，從認識自己的學習模式開始，然后采取任何事都需要的時間管理技巧，再總體地講一下學習技巧規(guī)劃的事項。然后底下是分的部分，將學習的包含的各個方面的技巧進行分開闡述，分別有筆記記錄，閱讀，記憶，應試以及最后的拾遺。系統(tǒng)地講述了學習的幾乎所有方面。讓讀到她的人如果實踐的話不僅能在學習上得到提高，在腦力上或者說理解力上肯定會受益匪淺。在此，說句題外話，我一直覺得日本人寫書在細節(jié)上做的是無與倫比的，但是這本書讓我對這個看法有了一定

19、的動搖，因為她里面的講述部分讓我覺得美國是個應試教育的國家嗎，簡直比我們中國還要應試。那個考試應對細節(jié)的部分放在中國，一點也沒有違和感的，好嗎？所以他們能出現(xiàn)這樣的情況，從沒到過日本的人能夠?qū)懗雒鑼懭毡救说臅?，然后讓日本人都覺得是經(jīng)典的，沒有在企業(yè)里做過實務管理的德魯克能成為管理上的大師，其理念影響了全世界不得不說，美國的教育真不是蓋的。細節(jié)上，我印象比較深的是，作者開篇開始傳授如何應該認識自己的學習模式，運用了一些測試題目，然后根據(jù)結(jié)果找出與自己最近似的學習模式，她把學習模式分為幾種情況，分別有左腦型，右腦型，還有另外的分法，為視覺的，聽覺的，動作的。我看了一下，確實有跟自己近的類型，我就是

20、視覺的，對號入座后就可以比較直接的去揚長避短了。然后，作者說了，做任何事情，時間管理技巧都是不可缺少的，她不僅教導的是學習的技能，還有很多其他的道理，對我們?nèi)松际怯幸娴?，我相信，如果我們的孩子從小就學習這些，將會受用終生。還有，作者提到了學習技巧規(guī)劃里的家庭檔案系統(tǒng)，將我們現(xiàn)在工作中的管理引進了學習中，這是一個非常好的學習習慣，如果孩子持續(xù)的做，嚴格地做，獲得的收益將無法估量，因為，這在我們現(xiàn)在工作中都必須要用的管理信息的技能，實在是太可貴了，孩子將這種技能與閱讀結(jié)合起來，保管好自己思維歷程，可以獲得持續(xù)的提高，直到最后展翅翱翔，他最可貴的是，可以系統(tǒng)地提升自己，從而達到書中簡介里提到的那樣，碰到不會的領域的時候，可以很快的用這些方法，工具建立起模型，系統(tǒng)，游刃