必修2第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系[精品]

1、20102011學(xué)年度高一數(shù)學(xué)必修1（人教a版） 濟(jì)寧育才中學(xué)高一數(shù)學(xué)組朱繼哲 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 教學(xué)目的： 1.會(huì)判斷兩條直線的位置關(guān)系，學(xué)會(huì)用圖形語言、符號(hào)語言表示三種位置關(guān)系. 2.理解公理四,并能運(yùn)用公理四證明線線平行. 3掌握空間兩直線的位置關(guān)系，掌握異面直線的概念，會(huì)用反證法和異面直線的判定定 理證明兩直線異面； 4.掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線 所成的角 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的

2、位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 復(fù)習(xí)引入： 1、同一平面內(nèi)不重合兩條直線有幾種位置關(guān)系？ 2、在同一平面內(nèi)，同平行于一條直線的兩條直線有什么位置關(guān)系？ (1)相交：有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)。 (2)平行：在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)。 互相平行 提出問題：空間中的兩條直線呢？ 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 1.空間中兩條直線的位置關(guān)系 觀察： 觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線,想一想:它們 相交嗎?平行嗎?共面嗎? 觀察上方體的棱所在直

3、線,回答類 似的問題. 思考：我們把具有上述特征的兩條直線取個(gè)怎樣的名字才好呢？ 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 異面直線的定義: 我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（skewlines）。 想一想:怎樣通過圖形來表示異面直線? 為了表示異面直線a，b不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托。如下圖: l m l m 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 想一想,做一做：

4、 1.已知m、n分別是長方體的棱c1d1與cc1上的點(diǎn)，那么mn與ab所在的直線是異面 直線嗎？ m n c 1 d 1 c 1 b 1 a d b a 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 2.下圖是一個(gè)正方體的展開圖， 如果將它還原成正方體，那么ab， cd，ef，gh這四條線段所在直線 是異面直線的有幾對(duì)？ 想一想,做一做： h g f e d c b a 三對(duì) ab與cd ab與gh ef與gh 一定是異面直線嗎？則 2121 ,llll 3. 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

5、第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 空間兩條直線的位置關(guān)系有且只 有三種 平行直線 共 異面直線 面直線 相交直線 平行平行 相交相交 異面異面 位置關(guān)系位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是否共面是否共面 沒有 只有一個(gè) 沒有 共面 不共面 共面 空間中兩條直線的位置關(guān)系 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 2.空間兩平行直線 提出問題：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互 相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律？ 平

6、行嗎平行嗎? 中中, abcdabc d bb dd 觀察觀察：如圖如圖2.1.2-5,長方體長方體 與與那么那么dd aa bbaa a b c d b c d a 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行. 公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。 公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。 ab cb ac 符號(hào)表示：設(shè)空間中的三條直線分別為a,b,c,則 想一想:空間中,如果兩條直線都與第三條直線垂直,是否也有類似的規(guī)律? 必修必

7、修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 例題示范 例1：在空間四邊形abcd中，e，f，g，h分別是ab，bc，cd，da的中點(diǎn)。 求證：四邊形efgh是平行四邊形。 分析：欲證efgh是一個(gè)平行四邊形 只需證ehfg且ehfg e，f，g，h分別是各邊中點(diǎn) 連結(jié)連結(jié)bd,只只需證：需證： eh bd且且eh bd fg bd且且fg bd 1 2 1 2 a b d e f g h c 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中

8、直線與直線的位置關(guān)系 例題示范 例1：在空間四邊形abcd中，e，f，g，h分別是ab，bc，cd，da的中點(diǎn)。 求證：四邊形efgh是平行四邊形。 a b d e f g h c eh是是abd的中位線的中位線 eh bd且且eh = bd 同理，同理，fg bd且且fg = bd eh fg且且eh =fg efgh是一個(gè)平行四邊形是一個(gè)平行四邊形 證明：證明： 連結(jié)連結(jié)bd 2 1 2 1 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 變式一： 在例2中，如果再加上條件 ac=bd，那么四邊形ef

9、gh是什 么圖形? e h f g a b c d 分析： 在例題2的基礎(chǔ)上我們只需要證明平行四 邊形的兩條鄰邊相等。 菱形 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 變式二： 空間四面體a-bcd中,e,h分別是ab,ad的中點(diǎn),f,g分別是cb,cd上的點(diǎn), 且， 求證:四邊形abcd為梯形. 2 3 cfcg cbcd a b c d e h f g 分析：需要證明四邊形abcd有 一組對(duì)邊平行，但不相等。 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空

10、間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 3.等角定理 提出問題:在平面上,我們?nèi)菀鬃C明“如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那 么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”。在空間中,結(jié)論是否仍然成立呢? 觀察思考：如圖,adc與adc、adc與abc的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角 的大小關(guān)系如何？ 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 3.等角定理 定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。 a b c d e f 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之

11、間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 3.等角定理 定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。 a b c d e f 定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角 (或直角)相等. 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 4.異面直線所成的角 如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)o作直線aa，bb，我們把a(bǔ)與b 所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)。 為了簡便，點(diǎn)o通常取

12、在兩條異面直線中的一條上，例如，取在直線b上，然后經(jīng)過點(diǎn)o 作直線aa，a和b所成的銳角（或直角）就是異面直線a與b所成的角。 想一想:a與b所成角的大小與點(diǎn)o的位置有關(guān)嗎? 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 4.異面直線所成的角 如果兩條異面直線所成的角為直角，就說兩條直線互相垂直，記作ab。 b a a o ab 記作：記作： 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 5.異面直線的判定定理

13、異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線， 和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線 ? b ? a ,ablbl ab與l是異面直線. 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 例題示范 例2、如圖，已知正方體abcdabcd中。 （1）哪些棱所在直線與直線ba是異面直線？ （2）直線ba和cc的夾角是多少？ （3）哪些棱所在的直線與直線aa垂直？ 解：（1）由異面直線的判定方法可知，與直線 ba 成異面直線的有直線: ,b cad cc dd dc d c ， 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之

14、間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 例2、如圖，已知正方體abcdabcd中。 （1）哪些棱所在直線與直線ba是異面直線？ （2）直線ba和cc的夾角是多少？ （3）哪些棱所在的直線與直線aa垂直？ , , ab bc cd da a b b c c d d a (3) 直線直線 與直線與直線 都垂直都垂直. aa 解：（解：（2 2）由）由 可知，可知， 等于異面直線等于異面直線 與與 的夾角的夾角, ,所以異面直線所以異面直線 與與 的夾角為的夾角為45450 0 。 /bbcc bba ba cc cc ba 例題示

15、范 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 例例3:3: 如圖，如圖，? ?是平面是平面 外的一點(diǎn)外的一點(diǎn) 分別是分別是 的重心，的重心， 求證：求證： 。 abcd,gh ,abcacd /ghbd ? n ? m ? h ? g ? d ? c ? b ? a證明：連結(jié)證明：連結(jié)?分別交分別交? 于于?, ,連結(jié)連結(jié)?,?,? g,hg,h分別是分別是abc,acdabc,acd的重的重 心心,m,n,m,n分別是分別是bc,cdbc,cd的中點(diǎn)的中點(diǎn),?,? mn/bd,mn/bd, 又又?

16、 ? ? ?gh/mn,?gh/mn,由公理由公理4 4知知gh/bd.?gh/bd.? ,ag ah,bc cd ,m nmn 2 3 agah aman 例題示范 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 練習(xí)反饋： 1.判斷: （1）平行于同一直線的兩條直線平行.（） （2）垂直于同一直線的兩條直線平行.（） （3）過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.（） （4）與已知直線平行且距離等于定長的直線只有兩條.（） （5）若一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊平行，那么這兩個(gè)角相等（） （6

17、）若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直 角)相等. （） 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 練習(xí)反饋： 2選擇題 （1）“a，b是異面直線”是指ab=,且a不平行于b；a平面a，b平面b且 ab=a平面a，b平面a不存在平面a，能使aa且ba成立 上述結(jié)論中，正確的是（） （a）（b）（c）（d） （2）長方體的一條對(duì)角線與長方體的棱所組成的異面直線有（） （a）2對(duì)（b）3對(duì)（c）6對(duì)（d）12對(duì) c c 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)

18、、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 （3）兩條直線a,b分別和異面直線c,d都相交，則直線a，b的位置關(guān)系是（） （a）一定是異面直線（b）一定是相交直線 （c）可能是平行直線 （d）可能是異面直線，也可能是相交直線 （4）一條直線和兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關(guān)系是() （a）平行（b）相交 （c）異面（d）相交或異面 3兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？ 答：不一定，還可能異面 d d 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 4.垂直于同一直線的兩條直線,有幾種位置關(guān)系？ 答：三種：相交，平行，異面 5畫兩個(gè)相交平面，在這兩個(gè)平面內(nèi)各畫一條直線使它們成為（1）平行直線；（2） 相交直線；（3）異面直線 必修必修2-第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第二章點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系-2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系空間中直線與直線的位置關(guān)系 6選擇題 （1）分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是（） （a）異面（b）平行 （c）相交（d）以上都有可能 （2）異面直線a,b滿足aa,bb,ab=