42739988693 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法

1、 3.1 結(jié)構(gòu)離散與向量表示結(jié)構(gòu)離散與向量表示 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3.2 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣位移函數(shù)及單元的剛度矩陣 3.3 坐標(biāo)變換及單元?jiǎng)偠染仃囎鴺?biāo)變換及單元?jiǎng)偠染仃?3.4 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 3.5 約束處理及求解約束處理及求解 3.6 計(jì)算示例計(jì)算示例 3.7 ansys桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例 3.8ansys剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例 3.1 結(jié)構(gòu)離散與向量表示結(jié)構(gòu)離散與向量表示 工程上許多由金屬構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，如塔式桁構(gòu) 支承架、起重機(jī)起重臂架、鋼結(jié)構(gòu)橋梁、鋼結(jié)構(gòu)建筑等 可以歸結(jié)為桿系結(jié)構(gòu)。桿系結(jié)

2、構(gòu)按各桿軸線及外力作用 線在空間的位置分為平面桿系和空間桿系結(jié)構(gòu)。 桿系結(jié)構(gòu)可以由桿單元、梁?jiǎn)卧M成。 (a) liebherr塔式起重機(jī) (b) liebherr履帶式起重機(jī) (c) 鋼結(jié)構(gòu)橋梁 (d) 埃菲爾鐵塔 圖3-1 桿系結(jié)構(gòu) 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3.1.1 結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化 由于桿系結(jié)構(gòu)本身是由真實(shí)桿件聯(lián)接而成，故離散 化比較簡(jiǎn)單，一般將桿件或者桿件的一段( 一根桿又分 為幾個(gè)單元 )作為一個(gè)單元，桿件與桿件相連接的交點(diǎn) 稱為結(jié)點(diǎn)。 桿系結(jié)構(gòu)的離散化的要點(diǎn)可參考如下： a. 桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、自由端、集中載荷作用 點(diǎn)、支承

3、點(diǎn)以及沿桿長(zhǎng)截面突變處等均可設(shè)置成結(jié)點(diǎn)。 這些結(jié)點(diǎn)都是根據(jù)結(jié)構(gòu)本身特點(diǎn)來(lái)確定的。 b. 結(jié)構(gòu)中兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間的每一個(gè)等截面直桿可以設(shè)置 為一個(gè)單元。 變換為作用在結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)載荷。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 c. 變截面桿件可分段處理成多個(gè)單元，取各段中點(diǎn) 處的截面近似作為該單元的截面，各單元仍按等截面桿 進(jìn)行計(jì)算。 d. 對(duì)曲桿組成的結(jié)構(gòu)，可用多段折線代替，每端折 線為一個(gè)單元。如若提高計(jì)算精度，也可以在桿件中間 增加結(jié)點(diǎn)。 e. 在有限元法計(jì)算中，載荷作用到結(jié)點(diǎn)上。當(dāng)結(jié)構(gòu) 有非結(jié)點(diǎn)載荷作用時(shí)，應(yīng)該按照靜力等效的原則將其 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜

4、力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 (a) 結(jié)點(diǎn)載荷處理方式 (b) 等效結(jié)點(diǎn)載荷處理方式 圖3-2桿系結(jié)構(gòu)離散化示意圖 3.1.2 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 圖3-3 坐標(biāo)系示意圖 為了建立結(jié)構(gòu)的平衡條件，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析， 尚需要建立一個(gè)對(duì)每個(gè)單元都適用的統(tǒng)一坐標(biāo)系，即結(jié) 構(gòu)坐標(biāo)系或稱之為整體坐標(biāo)系、總體坐標(biāo)系。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3.1.3 向量表示向量表示 在有限單元法中力學(xué)向量的規(guī)定為：當(dāng)線位移及相 應(yīng)力與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)；轉(zhuǎn)角位移和 力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標(biāo)軸正向相一 致時(shí)為正。對(duì)于任意方向的力學(xué)向

5、量，應(yīng)分解為沿坐標(biāo) 軸方向的分量。 (a) 剛架結(jié)構(gòu)示意圖 (b) 結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力分向量 圖3-4 平面剛架分析示意圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 t iiii vu t jjjj vu 結(jié)點(diǎn)位移列向量為 單元e結(jié)點(diǎn)位移列向量為 t jjjiii j ie uu 結(jié)點(diǎn)力向量為 te iii e i mvuf te jjj e j mvuf 單元e結(jié)點(diǎn)力列向量為 te jjjiii e j e ie mvumvu f f f 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3.2 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣位移函數(shù)及單元的剛度矩

6、陣 3.2.1 軸向拉壓桿單元的位移的函數(shù)軸向拉壓桿單元的位移的函數(shù) 有限單元法分析中，雖然對(duì)不同結(jié)構(gòu)可能會(huì)采取不 同的單元類型，采用的單元的位移模式不同，但是構(gòu)建 的位移函數(shù)的數(shù)學(xué)模型的性能、能否真實(shí)反映真實(shí)結(jié)構(gòu) 的位移分布規(guī)律等，直接影響計(jì)算結(jié)果的真實(shí)性、計(jì)算 精度及解的收斂性。 為了保證解的收斂性，選用的位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足下 列要求: a. 單元位移函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度 數(shù)。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。至于高次項(xiàng)要 選取多少項(xiàng)，則應(yīng)視單元的類型而定。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 由單元結(jié)點(diǎn)位移，確定待定系數(shù)項(xiàng) 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)，

7、 所以 用結(jié)點(diǎn)位移表示 其中 、 分別表示當(dāng) ， 時(shí)； ， 時(shí)的單元內(nèi)的軸向位移狀態(tài)，故稱為軸向位移形函數(shù)。 0 x lx i uu j uu i u 1 l uu ij 2 jjuiiu unnxu)( l x niu1 l x n ju iu n ju n 1 i u0 j u0 i u1 j u 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 b. 單元的剛體位移狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)當(dāng)全部包含在 位移函數(shù)中。 c. 單元的位移函數(shù)應(yīng)保證在單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰 單元之間的位移協(xié)調(diào)性。 3.2.2 梁?jiǎn)卧矫鎻澢奈灰坪瘮?shù)梁?jiǎn)卧矫鎻澢奈灰坪瘮?shù) 梁?jiǎn)卧矫鎻澢鷥H考慮結(jié)點(diǎn)

8、的四個(gè)位移分 量 ， ， ， ，由材料力學(xué)知,各截面的轉(zhuǎn)角: 故梁?jiǎn)卧矫鎻澢奈灰票磉_(dá)式可分為僅包含四個(gè) 待定系數(shù) ， ， ， 的多項(xiàng)式 單元結(jié)點(diǎn)位移條件 當(dāng) 時(shí) ， 當(dāng) 時(shí) ， i i j j x v 1 2 3 4 3 4 2 321 )(xxxxv 0 xi vv i x v lx j vv j x v jiji jiji i i l vv l l vv l v 23 4 2 3 2 1 12 2 13 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 11 23 12 23 1 x l x l n x l

9、x l n x l x l xn x l x l n j jv i iv jjjjviiiiv nvnnvnxv )( e jjii juiu nnnn nn v u 00 0000 e nf 稱為形函數(shù)矩陣。 n 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3.2.3 單元的應(yīng)力應(yīng)變單元的應(yīng)力應(yīng)變 在彈性范圍內(nèi)，并且不考慮剪力的影響時(shí)，平面 剛架單元內(nèi)任一點(diǎn)的軸向線應(yīng)變由兩部分組成，即軸 向應(yīng)變與彎曲應(yīng)變之和，其軸向應(yīng)變與平面桁架軸向 應(yīng)變相同。 軸向應(yīng)變?yōu)?彎曲應(yīng)變?yōu)?y為梁?jiǎn)卧我饨孛嫔先我恻c(diǎn)至中性軸 (x軸)的距離。 得出平面剛架單元應(yīng)變 x u l x 2

10、 2 x v y b x 圖3-5 彎曲應(yīng)變計(jì)算示意圖 2 2 x v y x u b x l xx e x b 則 x ll yx ll y l x ll yx ll y l b 232232 621261641261 平面剛架梁?jiǎn)卧膽?yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣。 b e xx bee 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3.2.4 平面剛架梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚻矫鎰偧芰簡(jiǎn)卧膭偠染仃?梁?jiǎn)卧膇，j結(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移為 t * jjjiii e uu 單元內(nèi)相應(yīng)的虛應(yīng)變應(yīng)為 e x b * * 由虛功原理有 dxdydzf x v x e e t * t * e v e dx

11、dydzbeb t t * 由于結(jié)點(diǎn)虛位移 的任意性，故上式可寫成 e eee v e kdxdydzbebf t 上式稱為局部坐標(biāo)下的平面剛架單元的剛度方程， 簡(jiǎn)稱為單剛。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 dxdydzbebk v e t 橫截面積a 橫截面對(duì)形心軸z的靜矩s 橫截面對(duì)主慣性軸z的慣性矩i 得到四個(gè)3 3子塊所組成的局部坐標(biāo)系下的平面剛 架梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚒?a dydza 0 a ydydzs a dydzyi 2 l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ea l ea l ei l e

12、i l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ea l ea kk kk k e jj e ji e ij e iie 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 平面桁架的單元?jiǎng)偠染仃嚍?l ea l ea l ea l ea kk kk k e jj e ji e ij e iie 空間桁架單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有3個(gè)位移分量，其單元結(jié)點(diǎn) 位移列向量 t jjjiii j ie wuwu 空間桁架局部坐標(biāo)下的單元

13、剛度矩陣是66的 000000 000000 0000 000000 000000 0000 l ea l ea l ea l ea kk kk k e jj e ji e ij e iie 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 空間剛架單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有6個(gè)位移分量，其單元 結(jié)點(diǎn)位移列向量 t jzjyjxjjjiziyixiii j ie wvuwvu 空間剛架局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囀?212的。 (a) 桿單元i端產(chǎn)生單位位移 (b) 桿單元j端產(chǎn)生單位位移 圖3-6 平面桁架單元?jiǎng)偠认禂?shù)的物理意義 (a) 梁?jiǎn)卧猧端產(chǎn)生單位位移 (b) 梁?jiǎn)卧猨端產(chǎn)生單

14、位位移 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 (c) 梁?jiǎn)卧猧端產(chǎn)生單位角位移 (d) 梁?jiǎn)卧猨端產(chǎn)生單位角位移 圖3-7 平面剛架單元?jiǎng)偠认禂?shù)的物理意義 3.2.5 單元的剛度矩陣的性質(zhì)單元的剛度矩陣的性質(zhì) a. 單元?jiǎng)偠染仃噧H與單元的幾何特征和材料性質(zhì) 有關(guān)。僅與單元的橫截面積a、慣性矩i、單元長(zhǎng)度l、 單元的彈性模量e有關(guān)。 b. 單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)對(duì)稱陣。在單元?jiǎng)偠染仃?對(duì)角線兩側(cè)對(duì)稱位置上的兩個(gè)元素?cái)?shù)值相等，即，根 據(jù)是反力互等定理。 c. 單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)奇異陣。 d. 單元?jiǎng)偠染仃嚳梢苑謮K矩陣的形式表示。具有 確定的物理意義。 第三章第三章 桿

15、系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3.3 坐標(biāo)變換及單元?jiǎng)偠染仃囎鴺?biāo)變換及單元?jiǎng)偠染仃?3.3.1 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 在整體坐標(biāo)系中單元結(jié)點(diǎn)力向量和結(jié)點(diǎn)位移列向量 可分別表示成 t jjjiii e j e i e vuvu t jjjiii j i e myxmyx f f f (a) 向量轉(zhuǎn)換分析 (b) 向量轉(zhuǎn)換 圖3-8 向量轉(zhuǎn)換示意圖 sincos iii vuu cossin iii vuv ii 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 i i i i i i v u v u 100 0cossin 0

16、sincos 對(duì)于梁?jiǎn)卧鐖D3-8(b)所示，則有 j j j i i i j j j i i i v u v u v u v u 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos 可簡(jiǎn)寫為 e e t 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 同理 e e ftf 式中 平面剛架梁?jiǎn)卧膹木植孔鴺?biāo)系向整體 坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。 t 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos t 3.3.2 整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囌w坐標(biāo)系下

17、的單元?jiǎng)偠染仃?eee e e e e ktkttktf t1 式中 整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?e k ttktk e e 和 一樣， 為對(duì)稱陣、奇異陣。 ek e k 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3.4 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 3.4.1 整體剛度矩陣的建立整體剛度矩陣的建立 整體剛度矩陣也稱之為結(jié)構(gòu)剛度矩陣或總體剛度 矩陣，簡(jiǎn)稱總剛。 整體剛度矩陣的求解是建立在結(jié)構(gòu) 平衡條件的基礎(chǔ)之上， 因此研究對(duì)象以整體坐標(biāo)系為 依據(jù)。 圖3-9 載荷向量示意圖 如右圖所示剛架結(jié)構(gòu)，其結(jié)點(diǎn)載荷列向量分別為 t 111. 1 mppp yx t 2212.

18、2 mppp yx t 3331. 3 mppp yx t 444. 4 mppp yx 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 結(jié)構(gòu)載荷列向量 t 4321 ppppp t 44433322211 1 mppmppmppmppp yxyxyxyx 結(jié)點(diǎn)位移列向量 t 4321 t 444333222111 vuvuvuvu 對(duì)于結(jié)點(diǎn)對(duì)于結(jié)點(diǎn)1 對(duì)于結(jié)點(diǎn)對(duì)于結(jié)點(diǎn)2 對(duì)于結(jié)點(diǎn)對(duì)于結(jié)點(diǎn)3 對(duì)于結(jié)點(diǎn)對(duì)于結(jié)點(diǎn)4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m p p m y x y x 1 1 1 pf 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 m p p m

19、 y x m y x y x 2 2 2 1 2 pff 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 m p p m y x m y x y x 3 3 3 2 3 pff 4 4 4 3 4 3 4 3 4 m p p m y x y x 4 3 4 pf 建立 結(jié)點(diǎn) 平衡 條件 方程 式如 右表。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 用分塊矩陣的形式，建立桿端內(nèi)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。用分塊矩陣的形式，建立桿端內(nèi)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。 對(duì)于單元對(duì)于單元1有有 簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為 其中單元其中單元1的剛度的剛度 矩陣矩陣 關(guān)系式展開(kāi)為關(guān)系式展開(kāi)為

20、2 1 1 22 1 21 1 12 1 11 1 2 1 1 kk kk f f 111 kf 1 22 1 21 1 12 1 11 1 kk kk k 2 1 221 1 21 1 2 2 1 121 1 11 1 1 kkf kkf 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 對(duì)于單元對(duì)于單元2有有 簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為 其中單元其中單元2的剛度矩陣的剛度矩陣 關(guān)系式展開(kāi)為關(guān)系式展開(kāi)為 3 2 2 33 2 32 2 23 2 22 2 3 2 2 kk kk f f 222 kf 2 33 2 32 2 23 2 22 2 kk kk k 3 2 332 2 32

21、 2 3 2 2 232 2 22 2 2 kkf kkf 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 對(duì)于單元對(duì)于單元3有有 簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為 其中單元其中單元3的剛度矩的剛度矩 陣陣 關(guān)系式展開(kāi)為關(guān)系式展開(kāi)為 4 3 3 44 3 43 3 34 3 33 3 4 3 3 kk kk f f 333 kf 3 44 3 43 3 34 3 33 3 kk kk k 4 3 443 3 43 3 4 4 3 343 3 33 3 3 kkf kkf 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 單元?jiǎng)偠染仃囉?2的子矩陣組成， 每個(gè)子矩陣 是

22、33的方陣。 的上角標(biāo)表示單元編號(hào)，下角標(biāo)表示 單元j端單位位移所引起的i端相應(yīng)力。 將桿端內(nèi)力與結(jié)點(diǎn)位移關(guān)系式代入結(jié)點(diǎn)的平衡條件 方程式中，經(jīng)整理得： e ij k 4 3 2 1 4 3 2 1 3 44 3 43 3 34 3 33 2 33 2 32 2 23 2 22 1 22 1 21 1 12 1 11 00 0 0 00 p p p p kk kkkk kkkk kk 簡(jiǎn)寫為 pk 稱之為結(jié)構(gòu)原始平衡方程。其中 3 44 3 43 3 34 3 33 2 33 2 32 2 23 2 22 1 22 1 21 1 12 1 11 00 0 0 00 kk kkkk kkkk k

23、k k 為整體剛度矩 陣。 k 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3.4.2 整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣的集成 整體剛度矩陣是由在整體坐標(biāo)系下，矩陣按照結(jié) 點(diǎn)編號(hào)的順序組成的行和列的原則，將全部單元?jiǎng)偠?矩陣擴(kuò)展成nn方陣后對(duì)號(hào)入座疊加得到。 對(duì)于單元1 0000 0000 00 00 1 22 1 21 1 12 1 11 1kk kk k 對(duì)于單元2 0000 00 00 0000 2 33 2 32 2 23 2 22 2 kk kk k 對(duì)于單元3 3 44 3 43 3 34 3 33 3 00 000 0000 0000 kk kk k 單

24、元?jiǎng)偠染仃嚰傻贸稣w剛度矩陣 3 44 3 43 3 34 3 33 2 33 2 32 2 23 2 22 1 22 1 21 1 12 1 11 321 00 0 0 00 4 3 2 1 4321 kk kkkk kkkk kk kkkk 結(jié)點(diǎn)編號(hào) 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3.4.3 整體剛度矩陣的性質(zhì)整體剛度矩陣的性質(zhì) 整體剛度矩陣 中位于主對(duì)角線上的子塊 ，稱 為主子塊，其余 為副子塊。 a. 中主子塊 由結(jié)點(diǎn)i的各相關(guān)單元的主子塊擴(kuò) 展之后疊加求得，即 b. 當(dāng)結(jié)點(diǎn)i、 j為單元e的相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)， 中副子塊 為該單元e相應(yīng)的副子塊，即

25、 。 c. 當(dāng)結(jié)點(diǎn)i、 j為非相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)， 中副子塊 為 零子塊，即 。 d. 僅與各單元的幾何特性、材料特性，即a、i、 l、e等因素有關(guān)。 e. 為對(duì)稱方陣， f. 為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因?yàn)榻⒄?體剛度矩陣時(shí)沒(méi)有考慮結(jié)構(gòu)的邊界約束條件。 k ii k ij k k e iiii kk k ij k e ijij kk k ij k 0 ij k k k jiij kk k 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 g. 為稀疏矩陣，整體剛度矩陣中的非零元素分布區(qū) 域的寬度與結(jié)點(diǎn)編號(hào)有關(guān)，非零元素分布在以對(duì)角線為 中心的帶狀區(qū)域內(nèi)，稱為帶狀分布規(guī)律，見(jiàn)

26、圖3-10(a)。 在包括對(duì)角線元素在內(nèi)的區(qū)域中，每行所具有的元素個(gè) 數(shù)叫做把半帶寬，以d表示。 最大半帶寬等于相鄰結(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值加 1 與結(jié)點(diǎn)自由 度數(shù)的乘積，結(jié)點(diǎn)號(hào)差越大半帶寬也就越大。計(jì)算機(jī)以 半帶寬方式存儲(chǔ)，見(jiàn)圖3-10(b)。半帶寬越窄，計(jì)算機(jī)的 存儲(chǔ)量就越少，而且可以大幅度減少求解方程所需的運(yùn) 算次數(shù)。其效果對(duì)大型結(jié)構(gòu)顯得尤為突出。 圖3-10 整體剛度矩陣存儲(chǔ)方法 h. 整體剛度矩陣稀疏陣。 故整體剛度矩陣不能求 逆，必須作約束處理方能正確地將結(jié)點(diǎn)位移求出，進(jìn)而 求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場(chǎng)。 (a) 帶狀分 布規(guī)律 (b) 帶狀存儲(chǔ) 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力

27、分析的有限單元法 3.5 約束處理及求解約束處理及求解 3.5.1 約束處理的必要性約束處理的必要性 建立結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 時(shí)，并未考 慮支承條件（約束），也就是說(shuō)，將原始結(jié)構(gòu)處理成 一個(gè)自由懸空的、存在剛體位移的幾何可變結(jié)構(gòu)。整 體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無(wú)法求解?？梢詤⒄?第 2 章的原則，結(jié)合實(shí)際工程結(jié)構(gòu)引入支承條件，即 對(duì)結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 做約束處理。 約束處理后的方程稱為基本平衡方程。 統(tǒng)一記為 pk pk pk 3.5.2 約束處理方法約束處理方法 約束處理常用方法有填0置1法和乘大數(shù)法。采用 這兩種方法不會(huì)破壞整體剛度矩陣的對(duì)稱性、稀疏性 及帶狀分布等特性。 第三章第三章

28、桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 下面以圖3-11所示剛架結(jié)構(gòu)為例，解釋如何進(jìn)行約 束處理。對(duì)于下圖所示剛架結(jié)構(gòu) 設(shè)結(jié)點(diǎn)位移列向量為 設(shè)結(jié)點(diǎn)載荷列向量為 t 9321 t 321 uuuu t 9321 t 321 pppppppp (a) 固定支座 (b) 支座強(qiáng)迫位移已知 圖3-11 結(jié)構(gòu)約束 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 其原始平衡方程式為 3 2 1 3 2 1 2 33 2 32 2 23 2 22 1 22 1 21 1 12 1 11 0 0 p p p kk kkkk kk 按照每個(gè)結(jié)點(diǎn)

29、的位移分量將上式展開(kāi)為 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 999897969594939291 898887868584838281 797877767574737271 696867666564636261 595857565554535251 494847464544434241 393837363534333231 282726262524232221 191817161514131211 p p p p p p p p p u u u u u u u u u kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkk

30、kkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 對(duì)于如圖3-11(a)所示，結(jié)構(gòu)約束（支座）位移全 部為零，此時(shí)做約束處理時(shí)，采用填0置1法比較適宜。 對(duì)于如圖3-11(b)所示，某約束（支座）位移為給 定的強(qiáng)迫值，此時(shí)做約束處理時(shí)，采用乘大數(shù)法比較 適宜。 (1) 填0置1法 如右圖所示結(jié)點(diǎn)1、3處為固定支座，可知 將整體剛度矩陣中與之相對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元素全部置 換成1， 相應(yīng)行和列上的其它元素均改為0。 同時(shí)，所 在同一行上的載荷分量替換成0，則有 0 987321 uuuuuu

31、 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 0 0 0 0 0 0 0 10000000 010000000 001000000 000000 000000 000000 000000100 000000010 000000001 6 5 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 92 666564 565554 464544 p p p u u u u u u u u u k kkk kkk kkk 6 5 4 6 5 4 666564 565554 464544 p p p u u u kkk kkk kkk 則 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)

32、構(gòu)靜力分析的有限單元法 也可簡(jiǎn)便地采用劃行劃列的辦法。在整體剛度矩 陣中將與約束位移為 0 的行和列劃掉，包括相關(guān)的所 在行的位移和載荷向量。 處理后得基本平衡方程 (2) 乘大數(shù)法 右圖所示剛架，結(jié)點(diǎn)1為固定支座，結(jié)點(diǎn)3處在方 向的約束為已知強(qiáng)迫位移。即 將整體剛度矩陣中與之相對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元素全部 乘以一個(gè)大數(shù)n，一般取 。同時(shí)，將相 應(yīng)同一行上的載荷分量替換成 n 乘以其主對(duì)角剛度系 數(shù)和給定的強(qiáng)迫位移（包括零位移）。 22 2 22 1 22 pkk 0 97321 uuuuu 088 uu 1510 1010n 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 0

33、 0 0 0 0 888 6 5 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 999897969594939291 898887868584838281 797877767574737271 696867666564636261 595857565554535251 494847464544434241 393837363534333231 282726262524232221 191817161514131211 kn p p p u u u u u u u u u knkkkkkkkk kknkkkkkkk kkknkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kk

34、kkkkknkk kkkkkkkknk kkkkkkkkkn 0 92 1111 jju kukn得到 由于n 足夠大，可以近似認(rèn)為 0 92 1 jju k,則得出 0 1 u 同時(shí)得到0 9732 uuuu 088 uu 求出位移 之后，即可以求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場(chǎng) 。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 用有限單元法計(jì)算空間剛架結(jié)構(gòu)，在原理上及推導(dǎo) 過(guò)程與計(jì)算平面剛架結(jié)構(gòu)相同。在此不再重復(fù)。但應(yīng)注 意到，由于空間的每一結(jié)點(diǎn)一般具有六個(gè)自由度，故計(jì) 算較之復(fù)雜些。 3.6 計(jì)算示例計(jì)算示例

35、 設(shè)兩桿的桿長(zhǎng)和截面尺寸相同， 27 kn/m101 . 2 e 桿件長(zhǎng) m。 10l 圖3-12 剛架受力簡(jiǎn)圖 (1)結(jié)構(gòu)離散化后 將結(jié)構(gòu)劃分為4個(gè)結(jié)點(diǎn)、3個(gè)單元 2 m5 . 0a 4 3 m 24 1 12 15 . 0 i截面積 ，慣性矩 (2) 求結(jié)點(diǎn)載荷 首先須求局部坐標(biāo)系中固定端內(nèi)力 e f0 (a) 單元1作為兩端固定梁反力示意圖 (b) 單元2作為兩端固定梁反力示意圖 圖3-13內(nèi)力示意圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 單元1 mkn80 12 106 . 9 12 kn48 2 106 . 9 2 22 1 2 1 01 1 02

36、1 01 gl mm gl vv o 單元2 mkn200 8 10160 8 1 kn80 2 160 2 01 1 03 1 03 1 02 pl mm p vv 在局部坐標(biāo)系下單元載荷列向量在局部坐標(biāo)系下單元載荷列向量 單元1 80 48 0 80 48 0 1 0 f 單元2 200 80 0 200 80 0 2 0 f 單元3 0 0 0 0 0 0 3 0 f 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 為了求出在整體坐標(biāo)下的載荷列向量，先求單 元得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣 t 單元1、2 0 0 i 100000 010000 001000 000100 000

37、010 000001 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos 1 t 單元3 0 90 100000 001000 010000 000100 000001 000010 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos 3 t 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 求各單元在整體坐標(biāo)下的求各單元在整體坐標(biāo)下的等效結(jié)點(diǎn)載荷等效結(jié)點(diǎn)載荷 e p 0 1 02 01 1 0 1 0 1 1 0 80 48 0 80 48 0

38、 p p fftp t 2 03 02 2 0 2 0 2 2 0 200 80 0 200 80 0 p p fftp t 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3 02 04 3 0 3t 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100000 001000 010000 000100 000001 000010 p p ftp t 求剛架的等效結(jié)點(diǎn)載荷 0 p 3 0 2 0 1 00 pppp 0 0 0 200 80 0 120 128 0 80 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 200 80 0 2

39、00 80 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80 48 0 80 48 0 0 p 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 因?yàn)闊o(wú)結(jié)點(diǎn)載荷作用，總結(jié)點(diǎn)載荷即為等效結(jié)點(diǎn)載荷。 t 0 000200800120128080480 pp (3) 求單元?jiǎng)偠染仃?由于單元1、2、3的尺寸相同，材料彈性模量相同，故 ek 3 21 kkk 梁?jiǎn)卧木植孔鴺?biāo)下的剛度矩陣表達(dá)式梁?jiǎn)卧木植孔鴺?biāo)下的剛度矩陣表達(dá)式 l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ei l ea l ea l ei l ei l ei l ei l ei l ei

40、 l ei l ei l ea l ea k e 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 2 321 10 3500525017505250 52510505251050 00105000010500 1750525035005250 52510505251050 00105000010500 kkk 則 （4）求整體坐標(biāo)系中的 e k 單元1 11 11 11t 1 2221 1211 kk kk kikik 單元2 22

41、 22 22 2 3332 2322 kk kk kkk 單元3 3 3t3 3 tktk 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 33 3 43 3 2 3 2224 44 10 3500052517500525 01050000105000 52501055250105 1750052535000525 01050000105000 52501055250105 kk kk k （5）求結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣 k 利用剛度集成法利用剛度集成法 3 44 3 42 22 3 24 23211 11 00 00 00 2332 2322222221 1211 kk k

42、k kkkkkk kk k （6）建立原始平衡方程式 4 3 2 1 4 3 2 1 3 44 3 42 22 3 24 23211 11 00 00 00 2332 2322222221 1211 p p p p kk kk kkkkkk kk 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 （7）引入約束條件解方程組 由于1、3、4為固定端， 修改整體剛度矩陣中的13，612行與列， 以及載荷列 向量中的相應(yīng)的行，既約束處理。 0 444333111 vuvuvu 建立基本平衡方程建立基本平衡方程 22 22 22 22 pkkk 即 6 2 2 2 10 428.

43、114 5145.119 8465. 2 v u 得到 （8）求各桿的桿端力 e f 單元3結(jié)點(diǎn)位移列向量 3 33 6 6 6 6 01000000 10000000 00100000 10 0000102.8465 10119.5145 000100119.5145 102.8465 000001114.428 10114.428 t 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 單元1桿端內(nèi)力計(jì)算 1 0 111 fkf 7753.113 7526.52 9888. 2 2496.66 2474.43 9888. 2 單元2桿端內(nèi)力計(jì)算 2 0 222 fkf

44、2994.226 2624.87 9888. 2 6757.153 7376.72 9888. 2 單元3桿端力計(jì)算 3 0 333 fkf 9004.39 9776. 5 4902.125 8755.19 9776. 5 4902.125 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 （9）作內(nèi)力圖 （a） 剛架軸力圖（b） 剛架剪力圖 （c） 剛架軸彎矩圖 圖3-14 剛架內(nèi)力圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3.7 ansys桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例 101 l=1m; 910 l=1m; 材料為q235; （1

45、）選擇單元類型選擇單元類型 運(yùn)行preprocessorelement typeadd/edit/delete 在結(jié)點(diǎn)8上施加豎直向下的集中載荷f 60000n， 約束為結(jié)點(diǎn)1處約束x,y方向自 由度，結(jié)點(diǎn)5處約束y方向自由度。 圖3-15 桁架結(jié)構(gòu)示意圖 圖3-16 桁架各單元橫截面圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 圖3-17 單元類型對(duì)話框 圖3-18 單元類型庫(kù)對(duì)話框 （2）設(shè)置材料屬性設(shè)置材料屬性 運(yùn)行preprocessormaterial propsmaterial models 圖3-19選擇材料屬性對(duì)話框 圖3-20設(shè)置材料1屬性對(duì)話

46、（3）設(shè)置單元截面形式設(shè)置單元截面形式 選擇菜單preprocessorsections beamcommon sections 圖3-21梁截面設(shè)置對(duì)話框 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 （4）定義實(shí)常數(shù)定義實(shí)常數(shù) 運(yùn)行real constantsadd/edit/delete 圖3-22 設(shè)置link1單元的實(shí)常數(shù) （5）建立模型建立模型 首先生成結(jié)點(diǎn)，運(yùn)行主 菜單preprocessormodeling create nodes in active cs; 再生成單元，運(yùn)行主菜 單 preprocessormodeling createelemen

47、tsauto num beredthru nodes穿越結(jié)點(diǎn) 命令。 圖3-23 創(chuàng)建結(jié)點(diǎn)對(duì)話框 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 圖3-24通過(guò)結(jié)點(diǎn)建立單元 圖3-25 桁架的有限元模型 （6）施加約束施加約束 運(yùn)行主菜單solution define loads apply structuraldisplacement on nodes 圖3-26 結(jié)點(diǎn)施加約束對(duì)話框 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 （7）施加載荷施加載荷 運(yùn)行主菜單solutiondef ine loadsapplystructural for

48、ce/momenton nodes。 圖3-27 結(jié)點(diǎn)施加載荷對(duì)話框 （8）求解求解 運(yùn)行主菜單 solution solvecurrent ls，分析當(dāng)前 的負(fù)載步驟命令， 彈出如圖3 -28所示對(duì)話框，單擊ok，開(kāi) 始運(yùn)行分析。分析完畢后， 在信息窗口中提示計(jì)算完成， 單 擊 c l o s e 將 其 關(guān) 閉 。 （9）后處理后處理 運(yùn)行主菜單 ge ne r a l postprocplot results contour plotnodal solu命令， 運(yùn) 行 d o f s o l u t i o n displacement vector sum，出 現(xiàn) 桁 架 軸 向 應(yīng)

49、力 云 圖 。 圖3-29 云圖顯示對(duì)話框 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 圖3-28 求解對(duì)話框 圖3-30 位移云圖 選擇stressvon mises stress， 則出現(xiàn)桁架位移云圖 圖3-31 云圖顯示對(duì)話框 圖3-32 軸向應(yīng)力云圖 桁架的位移云圖可 知，最大位移發(fā)生在桁 架的中部，最大位移為 m。 桁架的軸向應(yīng)力云 圖可知，最大應(yīng)力發(fā)生 在2單元。最大應(yīng)力 45.9mpa。 3 103 . 1 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 3.8 ansys剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例 圖3-33 剛架示意圖

50、 約束形式為：a、f點(diǎn)施 加全約束。在ce梁中點(diǎn)處受 到豎直向下集中載荷的作用 f1=20000n， ac柱的中點(diǎn)處 受 水 平 向 右 的 集 中 載 荷 f2=10000n；ac2m， ce 2m，材料為鋼材，彈性模量 e=2.11011pa，泊松比=0.3。 （1）選擇分析范疇選擇分析范疇 圖3-34選擇分析范疇對(duì)話框 在主菜單中單擊preferences 菜單， 彈出preferences for gui filtering窗口， 選擇 structural， 然后單擊ok按 鈕。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 （2）選擇單元類型選擇單元類型

51、運(yùn)行preprocessorelement typeadd/edit/delete， 彈出element types對(duì)話框，選擇beam188單元。 圖3-35 單元類型對(duì)話框 圖3-36 單元類型庫(kù)對(duì)話框 （3）設(shè)置單元截面形式設(shè)置單元截面形式 運(yùn)行preprocessorsectionbeam common sections，彈出 beam tool 對(duì) 話框，w1選項(xiàng)欄中填寫0.1，w2選項(xiàng) 欄中填寫0.2，t1t4中填寫0.008。 設(shè) 置完畢單擊ok按鈕。 圖3-37 梁截面設(shè)置對(duì)話框 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 （4）設(shè)置材料屬性設(shè)置材料屬性 運(yùn)行preprocessormaterial props material models， 彈出define material model behavior對(duì)話框。雙擊 isotrop