2011高三數(shù)學一輪熱身AB組125空間直角坐標系

1、第五節(jié)空間直角坐標系A組1. (2009年高考安徽卷)在空間直角坐標系中，已知點A(1,0,2), B(1, 3,1),點M在y軸上，且 M到A與到B的距離相等，貝U M的坐標是.解析：設 M 的坐標為(0, y,0)，由 |MA|=|MB|得(0 1)2+ (y 0)2+ (0 2)2= (0 1)2+ (y+ 3)2+ (0 1)2, 整理得 6y+ 6= 0, y= 1,即點 M 的坐標為(0, 1,0).答案：(0, 1,0)2. 在空間直角坐標系中，以點A(4,1,9), B(10 , 1,6), C(x,4,3)為頂點的厶ABC是以BC為底邊的等腰三角形，則實數(shù)x的值為.解析：因為

2、 ABC是以BC為底邊的等腰三角形，則有|AB|= |AC|, (10 4)2 + ( 1 1)2 + (6 9)2 =(x 4)2 + (4 1)2 + (3 9)2，化簡得(x 4)2= 4, x = 2 或 6答案：2 或 63. 已知 x、y、z 滿足方程 C: (x 3)2+ (y 4)2 + (z+ 5)2= 2，貝V x2 + y2 + z2 的最小值是 .解析：x2 + y2 + z2可看成球面上的點到原點距離的平方，其最小值為(32 + 42 + ( 5)2 ,2)2= (4 2)2=32.答案：324. (2010年廣州調研)與A(3,4,5)、B( 2,3,0)兩點距離相

3、等的點 M(x, y, z)滿足的條件是 .解析：由 |MA|=|MB|,即(x 3)2 + (y 4)2 + (z 5)2= (x+ 2)2+ (y 3)2+ z2,化簡得 10x+ 2y+ 10z 37 =0答案：10x+ 2y+ 10z 37= 0B在z軸上的射影為B,B C的中點，求PQ的長.5. (原創(chuàng)題)已知A(3,5 , 7)和點B( 2,4,3),點A在x軸上的射影為 A,點 則線段A B 的長為.解析：可知 A (3,0,0), B (0,0,3) , |A B |= - 32 + 02 + ( 3)2 = 3 2.空間直角B (a, a,6. 如圖所示,正方體ABCD A

4、B C D 的棱長為a , P、Q分別是D B ,解：以D為坐標原點，DA、DC、DD 分別為x軸，y軸，z軸建立a a a坐標系，由題意得,B(a , a,0) , D (0,0 , a) , / PQ 込,?).又 C(0 , a,0) ,1a aa), Q(2, a,刁. |PQ|=a 2 a 2 a a 2 a 2) + (2 a) + (2 2) = 2.1.已知 ABC的三個頂點坐標分別為A(2,3,1)、B(4,1, 2)、C(6,3,7)，則 ABC的重心坐標為 .解析：三角形三個頂點分別為A(X1,y1,Z1),B(x2 ,y2 ,Z2),C(X3,y3,Z3),則其重心為,

5、故所求重心為(4 , 3, 2).3 答案：(4 , 3 , 2)X1 + x2 + X3 y1 + y2+ y3 Z1 + z2 + Z3,2.設點B是點A(2, 3,5)關于xOy面的對稱點，貝U |AB|等于.解析：點 A 關于 xOy 面的對稱點為 B(2 , 3, 5), |AB|= |5 ( 5)|= 10.解析：設棱長為 a，貝U 3a=- .42+ ( 4)2+ 42,，. a= 4,. V= 64.4. (2010年江蘇宜興模擬)已知B是點A(3,7, 4)在xOy平面上的射影，則 OB2等于解析：A 在 xOy 平面上射影為 B(3,0， 4),則 OB = (3,0, 4

6、), 0B2= 25.5.在z軸上與點A( 4,1,7)和點B(3,5, 2)等距離的點C的坐標為 解析：設z軸上的點為(0,0 , z),則根據(jù)題意有 ( 4 0)2 + (1 0)2+ (7 z)2= (3 0)2 + (5 0)2+ ( 2 z)2,貝 U 17+ 49 14z= 9+ 25 + 4+ 4z,1414z=.故該點是(0,0,).6在空間直線坐標系中，方程x2 4(y 1)2= 0表示的圖形是 .解析：x2 4(y 1)2= 0 化為x 2(y 1)x+ 2(y 1) = 0, / x 2y+ 2 = 0 或 x + 2y 2 = 0，表示兩個平面.答案：兩個平面7在空間直

7、角坐標系中，正方體ABCD A1B1C1D1的頂點A(3, 1,2),其中心 M的坐標為(0,1,2)，則該正方體的棱長為.解析：由A(3 , 1,2),中心 M(0,1,2)所以 6( 3,3,2).正方體的體對角線長為AC1 =-3 ( 3)2 + ( 1 3)2+ (2 2)2 = 2 ,13,所以正方體棱長為 午孑二彳39.答案：39&已知ABCD為平行四邊形，且 A(4,1,3)、B(2, 5,1), C(3,7， 5)，則頂點D的坐標為 解析：由平行四邊形中對角線互相平分的性質知，AC的中點即為BD的中點，AC的中點。(7, 4,7 x+ 2 5+ y1 + z1)，設 D(x,

8、y, z)，貝V2= 2 ， 4 =2， 1 = 2 ，x= 5, y = 13, z= 3，故 D(5,13 , 3).9.如圖所示，在長方體 OABC O1A1B1C1 中，OA= 2, AB = 3, AA1 OB1與BO1的交點，貝U M點的坐標是 .解析：/ OA= 2, AB = 3, AA1 = 2,/ A(2,0,0), A1(2,0,2), B(2,3,0)，故 B1(2,3,2). / M 點的坐標為=2, M 是(2，2，22)，即 M(1,1.5,1).答案：(1,1.5,1)10.如圖所示，直三棱柱 ABC A1B1C1 中,C1C|=|CB|=|CA|= 2,E分別

9、是棱AB、B1C1的中點，F(xiàn)是AC的中點，求 DE、EF的長AC丄CB, D、 度.解：以點C為坐標原點，CA、CB、CC1所在直線為x軸、 如圖所示的空間直角坐標系.T C1C|= |CB|= |CA|= 2,y軸、z軸，建立 C(0,0,0), A(2,0,0), B(0,2,0), Ci(0,0,2), Bi(0,2,2),由中點坐標公式可得，D(1,1,0), E(0,1,2), F(1,0,0), |DE |= - ” (1 - 0)2+ (1 - 1)2+ (0 - 2)2=、5,|EF|=(0 1)2+ (1 0)2+ (2 0)2= .611 .已知 A(1,2, 1), B(

10、2,0,2).(1) 在x軸上求一點 P,使|FA|= |PB；在xOz平面內的點M到A點與到B點等距離，求 M點的軌跡.解：(1)設 P(a,0,0)，則由已知，得- (a 1)2+ ( 2)2 + 12 =(a 2)2+ 22, 即 a2 2a+ 6= a2 4a+ 8.解得 a= 1.所以 P 點坐標為(1,0,0).(2) 設 M(x,0, z),則有-(x 1)2+ ( 2)2+ (z+ 1)2= (x 2)2+ (z 2)2 整理得 2x + 6z 2 = 0,即卩 x+ 3z 1= 0.y面中心OQ點在底在 OC 上,故M點的軌跡是xOz平面內的一條直線.12.在正四棱錐 S ABCD中，底面邊長為 a,側棱長也為a，以底 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，P點在側棱SC上,面ABCD的對角線BD上，試求P、Q兩點間的最小距離.解：由于S ABCD是正四棱錐，所以 P點在底面上的射影 R 又底面邊長為a，所以OC = 22a，而側棱長也為J2a,所以SO= OC,于是PR RC,故可設P點的坐標為（一x, x,2 a . 2x