人教版七年級下冊數(shù)學(xué)：銳角三角函數(shù)（A）

1、“斜而未斜而未 倒倒” 新庵學(xué)校新庵學(xué)校 何浩榮何浩榮 雜志上有過這樣的一篇報(bào)道：始建于雜志上有過這樣的一篇報(bào)道：始建于13501350年的意年的意 大利比薩斜塔落成時(shí)就已經(jīng)傾斜大利比薩斜塔落成時(shí)就已經(jīng)傾斜19721972年比薩發(fā)生地年比薩發(fā)生地 震，這座高震，這座高54.5m54.5m的斜塔大幅度搖擺的斜塔大幅度搖擺2222分鐘之久，仍分鐘之久，仍 巍然屹立可是，塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離巍然屹立可是，塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離 已由落成時(shí)的已由落成時(shí)的2.1m2.1m增加至增加至5.2m5.2m， 而且還以每年傾斜而且還以每年傾斜 1cm1cm的速度繼續(xù)增加，隨時(shí)都有倒塌的危險(xiǎn)為此

2、，的速度繼續(xù)增加，隨時(shí)都有倒塌的危險(xiǎn)為此， 意大利當(dāng)局從意大利當(dāng)局從19901990年起對斜塔進(jìn)行維修糾偏，年起對斜塔進(jìn)行維修糾偏，20012001年年 竣工，使塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離比糾偏前竣工，使塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離比糾偏前 減少了減少了43.8cm43.8cm a b c “斜而未斜而未 倒倒” bc=5.2m ab=54.5m 根據(jù)上面的這根據(jù)上面的這 些數(shù)據(jù)，我們些數(shù)據(jù)，我們 能得出能得出1972年年 時(shí)比薩斜塔傾時(shí)比薩斜塔傾 斜的度數(shù)斜的度數(shù)嗎嗎 ？ 28.128.1銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)(1)(1) 問題問題 為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著為了

3、綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著 山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對坡面的綠地進(jìn)行山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對坡面的綠地進(jìn)行 噴灌現(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是噴灌現(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30，為使出水口，為使出水口 的高度為的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？ 在在rtabc中，中，c90，a30，bc35m， 求求ab 根據(jù)根據(jù)“在直角三角形中，在直角三角形中，30角所對的邊等于斜邊的一半角所對的邊等于斜邊的一半”， 即即 1 2 abc ab 的對邊 斜邊 可得可得ab2bc70m，也就是說，需要準(zhǔn)備，也就是說，需要準(zhǔn)備

4、70m長的水管長的水管 分析：分析： 生生 活活 中中 的的 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) a b c 30 35m ？ 在上面的問題中，如果使出水口的高度為在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要，那么需要 準(zhǔn)備多長的水管？準(zhǔn)備多長的水管？ 結(jié)論：在一個(gè)直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于結(jié)論：在一個(gè)直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么，那么 不管三角形的大小如何，這個(gè)角的對邊與斜邊的比值都等于不管三角形的大小如何，這個(gè)角的對邊與斜邊的比值都等于 2 1 a b c 50m 30m , 2 1 ab cba 斜邊 的對邊 b c ab2b c 250100m 30 出水口的高度為出水口的高度為a米時(shí)

5、，米時(shí)， 需要準(zhǔn)備多長的水管？需要準(zhǔn)備多長的水管？ 在在rtabc中，中，c90，由于，由于a45，所以，所以 rtabc是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，設(shè)設(shè)bc=ac= ，由勾股定理得由勾股定理得 因此因此 即在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角等于即在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角等于45時(shí)，不管這個(gè)時(shí)，不管這個(gè) 直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對邊與斜邊的比都等于直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對邊與斜邊的比都等于 2 2 如圖，任意畫一個(gè)如圖，任意畫一個(gè)rtabc，使，使c 90，a45，計(jì)算，計(jì)算a的對邊與的對邊與 斜邊的比斜邊的比 ，你能得出什么結(jié)論？，你能得出什么結(jié)論？ ab bc 222222

6、 2abacbcaaa 2aba 12 222 bca aba a a a 一般地，當(dāng)一般地，當(dāng)a 取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)，取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)， 它的對邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值？它的對邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值？ ab bc ba cb a b c a b c 證明：由于證明：由于cc90，aa， 所以所以rtabcrtabc bcab b ca b bcb c aba b 即 這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角a的度數(shù)一定時(shí)，不管三角的度數(shù)一定時(shí)，不管三角 形的大小如何，形的大小如何，a的對邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值的對邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值

7、已知已知rtabc和和rtabc中，中，cc90，a a， 求證：求證： = 1 1、 sina sina不是不是sinsin與與a a的乘積，而是一個(gè)整體；的乘積，而是一個(gè)整體； 2 2、正弦的三種表示方式：、正弦的三種表示方式：sinasina、sin56sin56、sinbacsinbac； 3 3、sinasina是線段之間的一個(gè)比值，沒有單位。是線段之間的一個(gè)比值，沒有單位。 4 4、相同或相等的銳角，它們的正弦值也相等。、相同或相等的銳角，它們的正弦值也相等。 如圖，在如圖，在rtabc中，中，c90，我們把銳角，我們把銳角a的對邊的對邊 與斜邊的比叫做與斜邊的比叫做a的正弦的正弦

8、（sine），記作），記作sina 即即 c aa a 斜邊 的對邊 sin 例如，當(dāng)例如，當(dāng)a30時(shí)，我們有時(shí)，我們有 2 1 30sinsin a 當(dāng)當(dāng)a45時(shí)，我們有時(shí)，我們有 2 2 45sinsin a a b c c a b a的的對邊對邊 斜邊斜邊 在圖中在圖中 a的對邊記作的對邊記作a b的對邊記作的對邊記作b c的對邊記作的對邊記作c 正正 弦弦 函函 數(shù)數(shù) 定義解析定義解析 1.判斷對錯(cuò)判斷對錯(cuò): a 10m 6m b c 1) 如圖如圖 (1) sina= （ ） (2)sinb= （ ） (3)sina= 0.6m （ ） (4)sinb= 0.8 （ ） ab bc

9、bc ab sinasina是一個(gè)比值（注意比的順序），無單位；是一個(gè)比值（注意比的順序），無單位； 2)如圖，如圖，sina= （ ） bc ab 練習(xí) 例例1 如圖，在如圖，在rtabc中，中，c90，求，求sina和和sinb的值的值 解：解： （1）在）在rtabc中，中， 534 2222 bcacab 因此因此 5 3 sin ab bc a 5 4 sin ab ac b （2）在）在rtabc中，中， 13 5 sin ab bc a 12513 2222 bcabac 13 12 sin ab ac b a a b c 3 4 求求sina就就 是要確定是要確定a 的 對 邊

10、 與 斜的 對 邊 與 斜 邊 的 比 ；邊 的 比 ； 求求 sinb就是要確就是要確 定定b的對邊的對邊 與斜邊的比與斜邊的比 例例 題題 示示 范范 b c 13 5 2、根據(jù)下圖，求、根據(jù)下圖，求sina和和sinb的值的值 a b c 3 5 練習(xí) 求求sina就是就是 要確定要確定a的對的對 邊與斜邊的比邊與斜邊的比； 求求sinb就是要確就是要確 定定b的對邊與的對邊與 斜邊的比斜邊的比. 解：解： （1）在）在rtabc中，中， 2222 5334abacbc 因此因此 33 34 sin 3434 bc a ab 55 34 sin 1734 ac b ab 求一個(gè)角的正弦值

11、，除了用定義直接求外，還可以求一個(gè)角的正弦值，除了用定義直接求外，還可以 轉(zhuǎn)化為求和它相等角的正弦值。轉(zhuǎn)化為求和它相等角的正弦值。 3、如圖、如圖, acb=90，cdab. 若若c=5，cd=3，則，則sinb= . bsin分析： bc cd ab ac ac ad d c b a 練習(xí) 5 3 故只需求出故只需求出cd 而由勾股地定理可得而由勾股地定理可得ad=4 sinb= 4 5 或者或者b=acd sinb=sinacd 3、sina的大小只與的大小只與a的大小的大小有關(guān)，而與有關(guān)，而與直角三角直角三角 形的邊長形的邊長無關(guān)無關(guān)。 a b c 歸納小結(jié) 1、sina是在是在直角三角形直角三角形中定義的，中定義的，a是是銳角銳角(注意注意數(shù)形數(shù)形 結(jié)合結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形)。 sin a a 的對邊 斜邊 sin b b 的對邊 斜邊 2、sina是一個(gè)是