山東省臨清三中2011高中數(shù)學(xué)1.4.3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)教學(xué)案必修4

1、1.4.3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)【教材分析】正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)它前承正、余弦函數(shù)，后啟必修五中的直線斜率問(wèn)題。研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)過(guò)程不僅是對(duì)正、余弦曲線研討方法的一種再現(xiàn)，更是一種提升，同時(shí) 又為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了基石。教材單刀直入，直接進(jìn)入畫(huà)圖工作，沒(méi)有給出任何提示。正切 函數(shù)與正弦函數(shù)在研究方法上類似，我采用以類比的方式，讓學(xué)生回憶正弦曲線的作圖過(guò)程與方法，進(jìn)而啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)作正切曲線的一種方法。教材上直接圈定了區(qū)間（_,三），2 2這樣限制了學(xué)生的思維，我把空間留給學(xué)生，采用讓學(xué)生自己選擇周期，設(shè)計(jì)一個(gè)得到正切 曲線的方法。這樣，不僅發(fā)揮了學(xué)生的能動(dòng)性，增強(qiáng)動(dòng)腦、動(dòng)手繪圖的能力，

2、而且，在此過(guò) 程中，學(xué)生會(huì)注意到畫(huà)正切曲線的細(xì)節(jié)。在得到圖象后，單調(diào)性是一個(gè)難點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了幾個(gè) 判斷題幫助學(xué)生理解該性質(zhì)，并用比大小的題型啟發(fā)學(xué)生從代數(shù)和幾何兩種角度看問(wèn)題?！窘虒W(xué)目標(biāo)】正切函數(shù)是繼正、余弦之后的又一個(gè)三角函數(shù)，三者在研究方法與研究?jī)?nèi)容上類似，但某些性質(zhì)有所不同，這就養(yǎng)成學(xué)生在畫(huà)圖時(shí)必須全面考慮問(wèn)題。本著課改理念，養(yǎng)成學(xué)生對(duì)知 識(shí)的勇于探索精神，學(xué)生親自體會(huì)正切曲線的獲得過(guò)程，這樣學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力有了提高， 又體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，根據(jù)教學(xué)要求及學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，現(xiàn)制定以下教學(xué)目標(biāo)：1 .會(huì)用單位圓內(nèi)的正切線畫(huà)正切曲線，并根據(jù)正切函數(shù)圖象掌握正切函數(shù)的性質(zhì)，用數(shù) 形結(jié)合的思

3、想理解和處理問(wèn)題。2 .首先學(xué)生自主繪圖，通過(guò)投影儀糾正圖像，投影完整的正確圖象，然后再讓學(xué)生觀察， 類比正弦，探索知識(shí)。3 .在得到正切函數(shù)圖像的過(guò)程中，學(xué)會(huì)一類周期性函數(shù)的研究方式，通過(guò)自己動(dòng)手得到 圖像讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，體驗(yàn)探索的樂(lè)趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：正切函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：利用正切線畫(huà)出函數(shù)y=tanx的圖象，對(duì)直線 x=kn +二，k z是y=tan x2的漸近線的理解，對(duì)單調(diào)性這個(gè)性質(zhì)的理解。【學(xué)情分析】知識(shí)結(jié)構(gòu)：在函數(shù)中我們學(xué)習(xí)了如何研究函數(shù)，而對(duì)正弦函數(shù)的研究又再一次做了一個(gè) 模板，所以學(xué)生已經(jīng)具備了一定的繪圖技能，類比推

4、理畫(huà)出圖象，并通過(guò)觀察圖象，總結(jié)性 質(zhì)的能力。但在畫(huà)正切函數(shù)圖象時(shí)，還有許多需要注意的地方，這又提升了學(xué)生分析問(wèn)題的 能力及嚴(yán)密認(rèn)真的態(tài)度。心理特征：高一學(xué)生已經(jīng)初步形成了是非觀，具備了分辨是非的能力及語(yǔ)言表達(dá)能力。能夠通過(guò)討論、合作交流、辯論得到正確的知識(shí)。但在處理問(wèn)題時(shí)學(xué)生很容易“想當(dāng)然”用 事，考慮問(wèn)題不深入，往往會(huì)造成錯(cuò)誤的結(jié)果?！窘虒W(xué)方法】1 .學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見(jiàn)后面的學(xué)案。2 .新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑一情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)一合作探究、精講點(diǎn)撥一反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測(cè)一發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)【課前準(zhǔn)備】1 .學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)“正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)”，初步把握作圖的方法與性質(zhì)的推導(dǎo)

5、。2 .教師的教學(xué)準(zhǔn)備：課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案。【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過(guò)程】一、預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑檢查落實(shí)了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)具有了針對(duì)性。二、復(fù)習(xí)導(dǎo)入、展示目標(biāo)。問(wèn)題1:就我們前面所學(xué)的內(nèi)容中，正切函數(shù)與正余弦函數(shù)的有何區(qū)別?三角函數(shù)y=sin xy=cos xy=tan x定義域rrx #kn +，k ez 2值域-1,1-1,1r周期性及周期2n2n31奇偶性奇偶奇大家怎么知道正切函數(shù)的值域是 r?通過(guò)單位圓中的正切線可以得到。那請(qǐng)同學(xué)們回憶正切線在每一個(gè)象限的畫(huà)法。（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)此問(wèn)題確定本節(jié)課的一個(gè)基調(diào)：類比學(xué)習(xí)；通過(guò)此問(wèn)題來(lái)復(fù)習(xí)我 們

6、已經(jīng)研究過(guò)的正切函數(shù)的性質(zhì)；通過(guò)比較讓學(xué)生了解正切與正弦的區(qū)別，在畫(huà)圖像的時(shí)候 注意區(qū)別；因?yàn)樵谧鲌D時(shí)必須用正切線的知識(shí)，所以在此做一個(gè)相應(yīng)的復(fù)習(xí)和準(zhǔn)備工作，順 應(yīng)學(xué)生的思維在知識(shí)鏈接處提問(wèn)）問(wèn)題2:我們用什么樣的方式得到正余弦函數(shù)的圖像的？利用單位圓內(nèi)的正弦線，得到在一個(gè)周期，即 0,2 內(nèi)的圖象，再利用周期性得到在定 義域內(nèi)的圖象。問(wèn)題3:請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)所學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)一個(gè)研究正切函數(shù)圖像與性質(zhì)的方案。方案：第一步：畫(huà)出正切函數(shù)的在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；第二步：將圖象向左、向右平移拓展到整個(gè)定義域上去；第三步：根據(jù)圖象總結(jié)性質(zhì)。三、合作探究、精講點(diǎn)撥。請(qǐng)同學(xué)們解決方案的第一步，先畫(huà)出y=tanx在一

7、個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖。給學(xué)生充足的時(shí)間與空間，發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，這樣不僅提高了學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，還培 養(yǎng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。注：有的學(xué)生可能會(huì)想到利用函數(shù)的奇偶性來(lái)畫(huà)圖，很多學(xué)生會(huì)畫(huà)出（0.n）的圖象，教師暫時(shí)不予評(píng)價(jià)，等待學(xué)生形成圖象。教師用投影儀展示作圖結(jié)果，學(xué)生之間相互評(píng)價(jià)，指出優(yōu)點(diǎn)和不足之處，并鼓勵(lì)學(xué)生闡述自己的觀點(diǎn)。教師直接在投影儀上糾正學(xué)生錯(cuò)誤的圖像；并將（0, n ）的圖象與 匚工工的,2,2圖像進(jìn)行比較來(lái)說(shuō)明只是周期的選擇不同，拓展到整個(gè)定義域上也是一致的。通過(guò)學(xué)生之間的點(diǎn)評(píng)與總結(jié)，引出漸近線，并請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)出：要畫(huà)出一個(gè)周期內(nèi)的圖象，首先，選擇哪段區(qū)間較好，其次，在畫(huà)圖象的過(guò)程中

8、應(yīng)該注意什么？投影儀展示完整圖像。目的是規(guī)范作圖，理順?biāo)悸返淖饔?，并?huà)出在定義域上的圖象。（設(shè)計(jì)意圖：在做好整體知識(shí)方法的鋪墊后，學(xué)生完全有能力自己得到圖象，并且通過(guò)交 流發(fā)現(xiàn)自己的問(wèn)題，所以整體做了一個(gè)這樣的處理。而根據(jù)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展和獲得結(jié)論這個(gè) 過(guò)程，在最后給學(xué)生展示標(biāo)準(zhǔn)的圖象以留下正確和深刻的印象）總結(jié)正切函數(shù)的性質(zhì)。分小組根據(jù)正切函數(shù)圖象去驗(yàn)證正切函數(shù)已有的性質(zhì)，并找出 其它的性質(zhì)(主要就指單調(diào)性，若學(xué)生提及對(duì)稱性就一起分析，若學(xué)生不提也不加以討論， 因?yàn)楦呖家鬀](méi)有對(duì)對(duì)稱性的涉及)。一組總結(jié)后，其它各小組補(bǔ)充或改正。培養(yǎng)學(xué)生之間 的團(tuán)結(jié)協(xié)作能力及勇于探索的精神。有部分學(xué)生會(huì)得到正切

9、函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)的結(jié)論，所以為了突破這個(gè)難點(diǎn)， 另外又設(shè)計(jì)了三道判斷題讓學(xué)生小組討論形成結(jié)果。判斷下列語(yǔ)句是否正確：(1) y=tan x在定義域上是單調(diào)增函數(shù)；(2) y=tan x在第一象限是單調(diào)增函數(shù)；(3) ,而 y=tanx 是單調(diào)增函數(shù)，. tan工 tan7l168-168在整體形成應(yīng)該如何理解正切函數(shù)的單調(diào)性的基礎(chǔ)上，再完成兩個(gè)比大小的問(wèn)題。不求值，判斷下列各式的大小tan138 0 tan1430,tan ( ) tan (變)4 5引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)角度來(lái)完成，可以直接看圖象，可以轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，也 可以利用三角函數(shù)線來(lái)比大小。(設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)原來(lái)的教學(xué)經(jīng)

10、驗(yàn)，學(xué)生在后續(xù)使用這個(gè)性質(zhì)的時(shí)候經(jīng)常會(huì)認(rèn)為正切在定義域上是單調(diào)增函數(shù)，或者對(duì)第一象限的認(rèn)識(shí)就認(rèn)為是0-,所以準(zhǔn)備這些辨析題就是讓學(xué)2生縮短這個(gè)反復(fù)講解的過(guò)程，留下正確的印象，而比較大小是檢驗(yàn)?zāi)芊裾J(rèn)識(shí)三角單調(diào)性的一個(gè)很好的工具，誘導(dǎo)公式的使用又將前后內(nèi)容聯(lián)系起來(lái))四、例題分析例1.討論函數(shù)y = tan x + 的性質(zhì)*值域：r 奇偶性：非奇非偶函數(shù)單調(diào)性：在 kn 水冗+上是增函數(shù).、44)點(diǎn)評(píng)：本題考察了圖像的平移變換，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力與通過(guò)圖像觀察性質(zhì)的能力變式訓(xùn)練1.求函數(shù)y= tan2 x的定義域、值域和周期解：要使函數(shù)y = tan2x有意義，必須且只須 2x* + k tt ,

11、kcz即 x w 二 十 旦，k z /.函數(shù) y= tan2 x 的定義域?yàn)閤cr| ,xw =十應(yīng)，kcz4242(2)設(shè) t=2x,由 xwz+”， kcz知 twm + kn, kcz422 .y= tan t 的值域?yàn)?一, +oo)即y= tan2 x 的值域?yàn)?一, +oo)(3)由 tan2 (x+ ) = tan (2x+兀)=tan2x，y = tan2 x 的周期為 2l .例2.求函數(shù)y=2的定義域tanx 1解析：通過(guò)圖像解三角不等式解：tanxwl 且 xwkjt + 衛(wèi)，kc z,得 xw kn 十 匹且 xwkjt + 衛(wèi)，ke z則定義域?yàn)閤| xc r且 x

12、wktt + e且 xwktt + z , kc z點(diǎn)評(píng)：通過(guò)本題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力變式訓(xùn)練2. y= jtanx+1解：tan x+ 1 0,即 tan x 1,得 k 兀一2l w xv k 兀 + 2l, kc z則定義域?yàn)閤| ku 3wxvk兀+ w, kc z例3.比較tan 且與tan 1021的大小解析：通過(guò)誘導(dǎo)公式把角度化為同一單調(diào)區(qū)間，利用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小解：tan 1021 = tan / 0 - - 又,y = tanx 在(0 ,)上單調(diào)遞增tan 空 v tan ,則 tan 空 tan 10點(diǎn)評(píng)：注意誘導(dǎo)公式的準(zhǔn)確應(yīng)用變式訓(xùn)練 3. tan 6z 與 t

13、an ( 13；t)解：tan = tan , tan ( 13)=tan 13 = tan 55555.1 0 7t v3tan ( 13)由學(xué)生分析，得到結(jié)論，其他學(xué)生幫助補(bǔ)充、糾正完成。五、反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)。教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)。課堂小結(jié)：1、數(shù)學(xué)知識(shí)：正切函數(shù)的定義與圖像，定義域、值域和周期性、奇偶性、單調(diào)性。2、數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合。達(dá)標(biāo)檢測(cè)：()兀(d)一6()n1 .函數(shù)y =2tan(3x+)的周期是(a)(b)(c)-3232 .函數(shù)y =tan(- -x)的定義域?yàn)?(a) x|x = ,x r(b)4(c) x | x - kr: ,

14、x 二 r, k 二 z 43.下列函數(shù)中，同時(shí)滿足(1)在(0,()x | x = - , x 三 r 4一.3二_ .(d) x | x - k二,x - r, k 二 z 4-)上遞增，(2)以2 n為周期,(3)是奇函數(shù)的是2(a) y = tan x (b)y = cosx (c) y = tang x(d) y 二 一tan x4 .tan1,tan2,tan3的大/j、關(guān)系是 .5 .給出下列命題：(1)函數(shù)y=sin| x|不是周期函數(shù)；(2) 函數(shù)y=|cos2 x+1/2|的周期是兀(3)函數(shù)y=tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)；(4) 函數(shù)y=sin(5兀/2+x)是偶函數(shù)；

15、(5)函數(shù)y=tan(2 x+兀/6)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(兀/6,0)其中正確命題的序號(hào)是 (注:把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)全填上)6 .求函數(shù)y=lg(1-tanx) 的定義域參考答案：1.c2.d3.c4. tan2tan3tan15.(1)(4)(5)冗冗6. wx - + kn x 一 + kn,kwz 1 24j設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)并對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的反饋糾正。六、發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。(1) y=|sinx|的周期變成了 2兀，那y二|tanx|變成了什么？(2)在書(shū)本p34有正切、余切的由來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)閱讀，并想想為什么直陰影是余切, 反陰影是正切？七、板書(shū)設(shè)計(jì)正切函數(shù)

16、的圖象及性質(zhì)一、正切函數(shù)圖像例11 .畫(huà)出正切函數(shù)的在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；例22 .將圖象向左、向右平移拓展到整個(gè)定義域上去；例3二、正切函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)圖象總結(jié)性質(zhì)八、教學(xué)反思(1)根據(jù)知識(shí)的前后聯(lián)系在本節(jié)課設(shè)計(jì)時(shí)主要采取類比學(xué)習(xí)，學(xué)生自己動(dòng)手繪圖、自己研 究性質(zhì)、自己完成辨析、判斷和例題的過(guò)程。在學(xué)生能夠自己獨(dú)立完成的地方，教師退到幕 后起到一個(gè)推波助瀾的作用和匯總學(xué)生意見(jiàn)，形成正確知識(shí)和方法的作用。(2)根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展成熟過(guò)程，在生成圖象的過(guò)程中讓學(xué)生自己先獨(dú)立畫(huà)， 然后小組交流，再用投影儀來(lái)糾正學(xué)生錯(cuò)誤圖象，比較不同周期的圖象，最后用投影儀展現(xiàn) 定義域內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)圖象，充分體現(xiàn)了學(xué)

17、生的主體性，讓學(xué)生活起來(lái)。九、學(xué)案設(shè)計(jì)(見(jiàn)下頁(yè)) 1.4.3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)利用單位圓內(nèi)的正切線畫(huà)正切曲線，并根據(jù)正切函數(shù)圖象掌握正切函數(shù)的性質(zhì)二、預(yù)習(xí)內(nèi)容1.畫(huà)出下列各角的正切線：2.類比正弦函數(shù)我們用幾何法做出正切函數(shù)y = tan x圖象:用心愛(ài)心專心-10 -3 .把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù) y = tan x x w r ,且x 十kn(k w z)的圖象，稱“正切曲線4 .觀察正切曲線，回答正切函數(shù)的性質(zhì):值域：漸近線： 奇偶性 圖像特征:定義域： 最值： 周期性： 單調(diào)性： 三、提出疑惑同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面

18、的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：會(huì)用單位圓內(nèi)的正切線畫(huà)正切曲線，并根據(jù)正切函數(shù)圖象掌握正切函數(shù) 的性質(zhì)，用數(shù)形結(jié)合的思想理解和處理問(wèn)題。學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：正切函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)。二、學(xué)習(xí)過(guò)程例1.討論函數(shù)y =tan x + 的性質(zhì)* 4 j變式訓(xùn)練1.求函數(shù)y=tan2x的定義域、值域和周期例2.求函數(shù)y=2的定義域tan x 1變式訓(xùn)練2. y= jtanx+1例3.比較tan紅與tan 也的大小變式訓(xùn)練 3. tan 6e與 tan ( 137t)三、反思總結(jié)1、數(shù)學(xué)知識(shí)：2、數(shù)學(xué)思想方法:四、當(dāng)堂檢測(cè)一、選擇題1 .函數(shù)y =2tan(3x+工)的周期是4(a)(b)ji

19、2(c)(d)2.函數(shù)y =tan( x)的定義域?yàn)?(a) x| x - -,x r(b)4(c) xx 一，x r, k z4()x | x - -一 ,x r4,3 二(d) x|x = k二,x r,k z43.下列函數(shù)中，同時(shí)滿足(1)在(0,)-)上遞增,(2)以2兀為周期,(3)是奇函數(shù)的是2(a) y = tan x (b) y = cosx (c) y = tan 2 x (d) y = - tan x二、填空題4 .tan1,tan2,tan3的大/j、關(guān)系是 .5 .給出下列命題：(1)函數(shù)y=sin| x|不是周期函數(shù)；(2) 函數(shù)y=|cos2 x+1/2|的周期是兀/2;(3)函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)；(4)函數(shù)y=sin