山東省臨清三中2011高中數(shù)學(xué)1.4.3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)教學(xué)案必修4

1、1.4.3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)【教材分析】正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)它前承正、余弦函數(shù)，后啟必修五中的直線斜率問題。研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)過程不僅是對正、余弦曲線研討方法的一種再現(xiàn)，更是一種提升，同時 又為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了基石。教材單刀直入，直接進(jìn)入畫圖工作，沒有給出任何提示。正切 函數(shù)與正弦函數(shù)在研究方法上類似，我采用以類比的方式，讓學(xué)生回憶正弦曲線的作圖過程與方法，進(jìn)而啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)作正切曲線的一種方法。教材上直接圈定了區(qū)間（_,三），2 2這樣限制了學(xué)生的思維，我把空間留給學(xué)生，采用讓學(xué)生自己選擇周期，設(shè)計一個得到正切 曲線的方法。這樣，不僅發(fā)揮了學(xué)生的能動性，增強動腦、動手繪圖的能力，

2、而且，在此過 程中，學(xué)生會注意到畫正切曲線的細(xì)節(jié)。在得到圖象后，單調(diào)性是一個難點，我設(shè)計了幾個 判斷題幫助學(xué)生理解該性質(zhì)，并用比大小的題型啟發(fā)學(xué)生從代數(shù)和幾何兩種角度看問題?！窘虒W(xué)目標(biāo)】正切函數(shù)是繼正、余弦之后的又一個三角函數(shù)，三者在研究方法與研究內(nèi)容上類似，但某些性質(zhì)有所不同，這就養(yǎng)成學(xué)生在畫圖時必須全面考慮問題。本著課改理念，養(yǎng)成學(xué)生對知 識的勇于探索精神，學(xué)生親自體會正切曲線的獲得過程，這樣學(xué)生的動手實踐能力有了提高， 又體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，根據(jù)教學(xué)要求及學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，現(xiàn)制定以下教學(xué)目標(biāo)：1 .會用單位圓內(nèi)的正切線畫正切曲線，并根據(jù)正切函數(shù)圖象掌握正切函數(shù)的性質(zhì)，用數(shù) 形結(jié)合的思

3、想理解和處理問題。2 .首先學(xué)生自主繪圖，通過投影儀糾正圖像，投影完整的正確圖象，然后再讓學(xué)生觀察， 類比正弦，探索知識。3 .在得到正切函數(shù)圖像的過程中，學(xué)會一類周期性函數(shù)的研究方式，通過自己動手得到 圖像讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，體驗探索的樂趣，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教教學(xué)重點難點】教學(xué)重點：正切函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)。教學(xué)難點：利用正切線畫出函數(shù)y=tanx的圖象，對直線 x=kn +二，k z是y=tan x2的漸近線的理解，對單調(diào)性這個性質(zhì)的理解?！緦W(xué)情分析】知識結(jié)構(gòu)：在函數(shù)中我們學(xué)習(xí)了如何研究函數(shù)，而對正弦函數(shù)的研究又再一次做了一個 模板，所以學(xué)生已經(jīng)具備了一定的繪圖技能，類比推

4、理畫出圖象，并通過觀察圖象，總結(jié)性 質(zhì)的能力。但在畫正切函數(shù)圖象時，還有許多需要注意的地方，這又提升了學(xué)生分析問題的 能力及嚴(yán)密認(rèn)真的態(tài)度。心理特征：高一學(xué)生已經(jīng)初步形成了是非觀，具備了分辨是非的能力及語言表達(dá)能力。能夠通過討論、合作交流、辯論得到正確的知識。但在處理問題時學(xué)生很容易“想當(dāng)然”用 事，考慮問題不深入，往往會造成錯誤的結(jié)果?！窘虒W(xué)方法】1 .學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見后面的學(xué)案。2 .新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑一情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)一合作探究、精講點撥一反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測一發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)【課前準(zhǔn)備】1 .學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)“正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)”，初步把握作圖的方法與性質(zhì)的推導(dǎo)

5、。2 .教師的教學(xué)準(zhǔn)備：課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案?！菊n時安排】1課時【教學(xué)過程】一、預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑檢查落實了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)具有了針對性。二、復(fù)習(xí)導(dǎo)入、展示目標(biāo)。問題1:就我們前面所學(xué)的內(nèi)容中，正切函數(shù)與正余弦函數(shù)的有何區(qū)別?三角函數(shù)y=sin xy=cos xy=tan x定義域rrx #kn +，k ez 2值域-1,1-1,1r周期性及周期2n2n31奇偶性奇偶奇大家怎么知道正切函數(shù)的值域是 r?通過單位圓中的正切線可以得到。那請同學(xué)們回憶正切線在每一個象限的畫法。（設(shè)計意圖：通過此問題確定本節(jié)課的一個基調(diào)：類比學(xué)習(xí)；通過此問題來復(fù)習(xí)我 們

6、已經(jīng)研究過的正切函數(shù)的性質(zhì)；通過比較讓學(xué)生了解正切與正弦的區(qū)別，在畫圖像的時候 注意區(qū)別；因為在作圖時必須用正切線的知識，所以在此做一個相應(yīng)的復(fù)習(xí)和準(zhǔn)備工作，順 應(yīng)學(xué)生的思維在知識鏈接處提問）問題2:我們用什么樣的方式得到正余弦函數(shù)的圖像的？利用單位圓內(nèi)的正弦線，得到在一個周期，即 0,2 內(nèi)的圖象，再利用周期性得到在定 義域內(nèi)的圖象。問題3:請同學(xué)們根據(jù)所學(xué)知識設(shè)計一個研究正切函數(shù)圖像與性質(zhì)的方案。方案：第一步：畫出正切函數(shù)的在一個周期內(nèi)的圖象；第二步：將圖象向左、向右平移拓展到整個定義域上去；第三步：根據(jù)圖象總結(jié)性質(zhì)。三、合作探究、精講點撥。請同學(xué)們解決方案的第一步，先畫出y=tanx在一

7、個周期內(nèi)的簡圖。給學(xué)生充足的時間與空間，發(fā)揮學(xué)生的主動性，這樣不僅提高了學(xué)生的動手實踐能力，還培 養(yǎng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。注：有的學(xué)生可能會想到利用函數(shù)的奇偶性來畫圖，很多學(xué)生會畫出（0.n）的圖象，教師暫時不予評價，等待學(xué)生形成圖象。教師用投影儀展示作圖結(jié)果，學(xué)生之間相互評價，指出優(yōu)點和不足之處，并鼓勵學(xué)生闡述自己的觀點。教師直接在投影儀上糾正學(xué)生錯誤的圖像；并將（0, n ）的圖象與 匚工工的,2,2圖像進(jìn)行比較來說明只是周期的選擇不同，拓展到整個定義域上也是一致的。通過學(xué)生之間的點評與總結(jié)，引出漸近線，并請同學(xué)們總結(jié)出：要畫出一個周期內(nèi)的圖象，首先，選擇哪段區(qū)間較好，其次，在畫圖象的過程中

8、應(yīng)該注意什么？投影儀展示完整圖像。目的是規(guī)范作圖，理順?biāo)悸返淖饔?，并畫出在定義域上的圖象。（設(shè)計意圖：在做好整體知識方法的鋪墊后，學(xué)生完全有能力自己得到圖象，并且通過交 流發(fā)現(xiàn)自己的問題，所以整體做了一個這樣的處理。而根據(jù)知識的發(fā)生發(fā)展和獲得結(jié)論這個 過程，在最后給學(xué)生展示標(biāo)準(zhǔn)的圖象以留下正確和深刻的印象）總結(jié)正切函數(shù)的性質(zhì)。分小組根據(jù)正切函數(shù)圖象去驗證正切函數(shù)已有的性質(zhì)，并找出 其它的性質(zhì)(主要就指單調(diào)性，若學(xué)生提及對稱性就一起分析，若學(xué)生不提也不加以討論， 因為高考要求沒有對對稱性的涉及)。一組總結(jié)后，其它各小組補充或改正。培養(yǎng)學(xué)生之間 的團結(jié)協(xié)作能力及勇于探索的精神。有部分學(xué)生會得到正切

9、函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)的結(jié)論，所以為了突破這個難點， 另外又設(shè)計了三道判斷題讓學(xué)生小組討論形成結(jié)果。判斷下列語句是否正確：(1) y=tan x在定義域上是單調(diào)增函數(shù)；(2) y=tan x在第一象限是單調(diào)增函數(shù)；(3) ,而 y=tanx 是單調(diào)增函數(shù)，. tan工 tan7l168-168在整體形成應(yīng)該如何理解正切函數(shù)的單調(diào)性的基礎(chǔ)上，再完成兩個比大小的問題。不求值，判斷下列各式的大小tan138 0 tan1430,tan ( ) tan (變)4 5引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩個角度來完成，可以直接看圖象，可以轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間，也 可以利用三角函數(shù)線來比大小。(設(shè)計意圖：根據(jù)原來的教學(xué)經(jīng)

10、驗，學(xué)生在后續(xù)使用這個性質(zhì)的時候經(jīng)常會認(rèn)為正切在定義域上是單調(diào)增函數(shù)，或者對第一象限的認(rèn)識就認(rèn)為是0-,所以準(zhǔn)備這些辨析題就是讓學(xué)2生縮短這個反復(fù)講解的過程，留下正確的印象，而比較大小是檢驗?zāi)芊裾J(rèn)識三角單調(diào)性的一個很好的工具，誘導(dǎo)公式的使用又將前后內(nèi)容聯(lián)系起來)四、例題分析例1.討論函數(shù)y = tan x + 的性質(zhì)*值域：r 奇偶性：非奇非偶函數(shù)單調(diào)性：在 kn 水冗+上是增函數(shù).、44)點評：本題考察了圖像的平移變換，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力與通過圖像觀察性質(zhì)的能力變式訓(xùn)練1.求函數(shù)y= tan2 x的定義域、值域和周期解：要使函數(shù)y = tan2x有意義，必須且只須 2x* + k tt ,

11、kcz即 x w 二 十 旦，k z /.函數(shù) y= tan2 x 的定義域為xcr| ,xw =十應(yīng)，kcz4242(2)設(shè) t=2x,由 xwz+”， kcz知 twm + kn, kcz422 .y= tan t 的值域為(一, +oo)即y= tan2 x 的值域為(一, +oo)(3)由 tan2 (x+ ) = tan (2x+兀)=tan2x，y = tan2 x 的周期為 2l .例2.求函數(shù)y=2的定義域tanx 1解析：通過圖像解三角不等式解：tanxwl 且 xwkjt + 衛(wèi)，kc z,得 xw kn 十 匹且 xwkjt + 衛(wèi)，ke z則定義域為x| xc r且 x

12、wktt + e且 xwktt + z , kc z點評：通過本題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力變式訓(xùn)練2. y= jtanx+1解：tan x+ 1 0,即 tan x 1,得 k 兀一2l w xv k 兀 + 2l, kc z則定義域為x| ku 3wxvk兀+ w, kc z例3.比較tan 且與tan 1021的大小解析：通過誘導(dǎo)公式把角度化為同一單調(diào)區(qū)間，利用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小解：tan 1021 = tan / 0 - - 又,y = tanx 在(0 ,)上單調(diào)遞增tan 空 v tan ,則 tan 空 tan 10點評：注意誘導(dǎo)公式的準(zhǔn)確應(yīng)用變式訓(xùn)練 3. tan 6z 與 t

13、an ( 13；t)解：tan = tan , tan ( 13)=tan 13 = tan 55555.1 0 7t v3tan ( 13)由學(xué)生分析，得到結(jié)論，其他學(xué)生幫助補充、糾正完成。五、反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測。教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進(jìn)行當(dāng)堂檢測。課堂小結(jié)：1、數(shù)學(xué)知識：正切函數(shù)的定義與圖像，定義域、值域和周期性、奇偶性、單調(diào)性。2、數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合。達(dá)標(biāo)檢測：()兀(d)一6()n1 .函數(shù)y =2tan(3x+)的周期是(a)(b)(c)-3232 .函數(shù)y =tan(- -x)的定義域為4(a) x|x = ,x r(b)4(c) x | x - kr: ,

14、x 二 r, k 二 z 43.下列函數(shù)中，同時滿足(1)在(0,()x | x = - , x 三 r 4一.3二_ .(d) x | x - k二,x - r, k 二 z 4-)上遞增，(2)以2 n為周期,(3)是奇函數(shù)的是2(a) y = tan x (b)y = cosx (c) y = tang x(d) y 二 一tan x4 .tan1,tan2,tan3的大/j、關(guān)系是 .5 .給出下列命題：(1)函數(shù)y=sin| x|不是周期函數(shù)；(2) 函數(shù)y=|cos2 x+1/2|的周期是兀(3)函數(shù)y=tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)；(4) 函數(shù)y=sin(5兀/2+x)是偶函數(shù)；

15、(5)函數(shù)y=tan(2 x+兀/6)圖象的一個對稱中心為(兀/6,0)其中正確命題的序號是 (注:把你認(rèn)為正確命題的序號全填上)6 .求函數(shù)y=lg(1-tanx) 的定義域參考答案：1.c2.d3.c4. tan2tan3tan15.(1)(4)(5)冗冗6. wx - + kn x 一 + kn,kwz 1 24j設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)并對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行簡單的反饋糾正。六、發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。(1) y=|sinx|的周期變成了 2兀，那y二|tanx|變成了什么？(2)在書本p34有正切、余切的由來，請同學(xué)們仔細(xì)閱讀，并想想為什么直陰影是余切, 反陰影是正切？七、板書設(shè)計正切函數(shù)

16、的圖象及性質(zhì)一、正切函數(shù)圖像例11 .畫出正切函數(shù)的在一個周期內(nèi)的圖象；例22 .將圖象向左、向右平移拓展到整個定義域上去；例3二、正切函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)圖象總結(jié)性質(zhì)八、教學(xué)反思(1)根據(jù)知識的前后聯(lián)系在本節(jié)課設(shè)計時主要采取類比學(xué)習(xí)，學(xué)生自己動手繪圖、自己研 究性質(zhì)、自己完成辨析、判斷和例題的過程。在學(xué)生能夠自己獨立完成的地方，教師退到幕 后起到一個推波助瀾的作用和匯總學(xué)生意見，形成正確知識和方法的作用。(2)根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)知識的發(fā)生發(fā)展成熟過程，在生成圖象的過程中讓學(xué)生自己先獨立畫， 然后小組交流，再用投影儀來糾正學(xué)生錯誤圖象，比較不同周期的圖象，最后用投影儀展現(xiàn) 定義域內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)圖象，充分體現(xiàn)了學(xué)

17、生的主體性，讓學(xué)生活起來。九、學(xué)案設(shè)計(見下頁) 1.4.3正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)利用單位圓內(nèi)的正切線畫正切曲線，并根據(jù)正切函數(shù)圖象掌握正切函數(shù)的性質(zhì)二、預(yù)習(xí)內(nèi)容1.畫出下列各角的正切線：2.類比正弦函數(shù)我們用幾何法做出正切函數(shù)y = tan x圖象:用心愛心專心-10 -3 .把上述圖象向左、右擴展，得到正切函數(shù) y = tan x x w r ,且x 十kn(k w z)的圖象，稱“正切曲線4 .觀察正切曲線，回答正切函數(shù)的性質(zhì):值域：漸近線： 奇偶性 圖像特征:定義域： 最值： 周期性： 單調(diào)性： 三、提出疑惑同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面

18、的表格中疑惑點疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：會用單位圓內(nèi)的正切線畫正切曲線，并根據(jù)正切函數(shù)圖象掌握正切函數(shù) 的性質(zhì)，用數(shù)形結(jié)合的思想理解和處理問題。學(xué)習(xí)重難點：正切函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)。二、學(xué)習(xí)過程例1.討論函數(shù)y =tan x + 的性質(zhì)* 4 j變式訓(xùn)練1.求函數(shù)y=tan2x的定義域、值域和周期例2.求函數(shù)y=2的定義域tan x 1變式訓(xùn)練2. y= jtanx+1例3.比較tan紅與tan 也的大小變式訓(xùn)練 3. tan 6e與 tan ( 137t)三、反思總結(jié)1、數(shù)學(xué)知識：2、數(shù)學(xué)思想方法:四、當(dāng)堂檢測一、選擇題1 .函數(shù)y =2tan(3x+工)的周期是4(a)(b)ji

19、2(c)(d)2.函數(shù)y =tan( x)的定義域為4(a) x| x - -,x r(b)4(c) xx 一，x r, k z4()x | x - -一 ,x r4,3 二(d) x|x = k二,x r,k z43.下列函數(shù)中，同時滿足(1)在(0,)-)上遞增,(2)以2兀為周期,(3)是奇函數(shù)的是2(a) y = tan x (b) y = cosx (c) y = tan 2 x (d) y = - tan x二、填空題4 .tan1,tan2,tan3的大/j、關(guān)系是 .5 .給出下列命題：(1)函數(shù)y=sin| x|不是周期函數(shù)；(2) 函數(shù)y=|cos2 x+1/2|的周期是兀/2;(3)函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)；(4)函數(shù)y=sin