2018年高考理科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案6二次函數(shù)與冪函數(shù)

1、第四節(jié)二次函數(shù)與幕函數(shù)1. 二次函數(shù)掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，會(huì)求二次函數(shù) 的最值(值域)、單調(diào)區(qū)間.2. 幕函數(shù)(1) 了解幕函數(shù)的概念.1 丄結(jié)合函數(shù)y = x, y = x2, y = x3, y= x, y = x2的圖象，了解它 們的變化情況.捌主干知識(shí)點(diǎn)一五種常見(jiàn)幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)五種常見(jiàn)幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y= xy= x2y=x312y= x21y= x圖象護(hù)*Kh定義域RRRx|x 0X|XM 0值域Ry|y0Ry|y0y|y 0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(汽 0 減，(0, +增增(r 0)和(0, +OO )增O )減公共點(diǎn)(1,1)1易誤提醒 形如y=X

2、a R)才是幕函數(shù)，如y= 3x不是幕函數(shù).自測(cè)練習(xí)1. 已知幕函數(shù)f(x) = kxa的圖象過(guò)點(diǎn)扌，則k+ a ()13A. 2B. 1 C.2 D. 2解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x) = kxa是幕函數(shù)，所以k= 1,又函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)舟，所以2 J#解得a舟，則k+ a |.答案：C知識(shí)點(diǎn)二二次函數(shù)1 .二次函數(shù)解析式的三種形式(1) 一般式：f(x) = ax2 + bx+ c(az 0).(2) 頂點(diǎn)式：f(x) = a(x m)2+ n(a 0).(3)零點(diǎn)式：f(x) = a(xx 1)(x x2)(a 0).值域4ac b2 +x4a ，十4ac b2oo 、4a單調(diào)性在2ba上

3、遞減，在2a，+x上遞增在o,尋上遞增，在2a，+o上遞減奇偶性b = 0時(shí)為偶函數(shù)，bz 0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)圖象特點(diǎn)對(duì)稱軸：x= 2a；金估-b 4ac b2頂點(diǎn)：2a，易誤提醒研究函數(shù)f(x)= ax2 + bx+ c的性質(zhì)，易忽視a的取值情況而盲目認(rèn)為f(x)為二次函數(shù).必備方法1.函數(shù)y = f(x)對(duì)稱軸的判斷方法(1)對(duì)于二次函數(shù)y= f(x),如果定義域內(nèi)有不同兩點(diǎn)xi、沁且f(xi)Xi + X?=f(x2),那么函數(shù)y= f(x)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱.(2)二次函數(shù)y= f(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x,都有f(a + x) = f(ax)成立的充要條件是函數(shù)y=f(x)的圖

4、象關(guān)于直線x= a對(duì)稱(a為常數(shù)).2. 與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立兩個(gè)條件a0,(1)ax2 + bx+ c0,0恒成立的充要條件是 2(2) ax2 + bx+ c0,0恒成立的充要條件是自測(cè)練習(xí)2已知二次函數(shù)的圖象如圖所示, 解析式可能是()A . y= x2 + 2x+ 1B . y= x2 2x 1a0, b2 4ac0.C. y= x2 2x+ 1D . y=x2+2x+ 1解析：設(shè)二次函數(shù)的解析式為f(x)= ax2+bx+ c(az0),由題圖得: a0, b0.選 C.答案：C3. 若二次函數(shù)f(x) = ax2 4x+ c的值域?yàn)?,+),貝S a, c滿足的條件是.a0

5、,門a0,解析：由已知得4ac 16?/ 4a = 0, ac 4= 答案：a0, ac= 44. 已知f(x) = 4/ mx+ 5在2,+乂)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù) m的 取值范圍是.解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x) = 4x2 mx+ 5的單調(diào)遞增區(qū)間為m，+* , 所以冒 2, 即卩mcbaB. abcdC. dcabD. abdc1i解析：幕函數(shù)a = 2, b=2，c=-3, d=- 1的圖象，正好和題目所給的形式相符合，在第一象限內(nèi)，x= 1的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，幕指數(shù)增大，所以 abcd故選B.答案：B1 13. (2015安慶三模)若(a+ 1) 3(3 2a) 3,則實(shí)數(shù)a的取值

6、范圍是.1 1解析：不等式(a+1) 33 2a0 或 3 2aa + 10 或 a+ 103 2a.2 3解得a 1或3a0,若在(0,+ |s)上單調(diào)遞減，則a0)，將1 1點(diǎn) D(1,1)代入得，a = 4,即 y= 4(x 3)2,故選 D.答案D(2)函數(shù)f(x) = 4x2 mx+ 5在區(qū)間2,+)上是增函數(shù)，則f(1)的取值范圍是()A . f(1) 25B. f(1) = 25C . f(1)25解析函數(shù)f(x) = 4x2 mx+ 5的增區(qū)間為m，+ ,由已知可得8W 2? mW16，所以 f(1) = 4X 12 mX 1+ 5= 9 m25.答案A解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問(wèn)

7、題時(shí)兩個(gè)注意點(diǎn)(1)拋物線的開(kāi)口、對(duì)稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約常見(jiàn)的II題型中這三者有兩定一不定，要注意分類討論；(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上二次函數(shù)最iiii值問(wèn)題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍.:1 I演練沖關(guān)1. 已知函數(shù) f(x) = ax2 2ax + 2+ b(a 0),若 f(x)在區(qū)間2,3上有最大值5,最小值2.(1) 求a, b的值；(2) 若b0,則 f(x)在區(qū)間2,3上是增函數(shù).f 2 = 2 + b= 2,則有f 3 = 3a+2 + b= 5,b= 0,解得a= 1.若a0，則f(x)在區(qū)間2,3上是減函數(shù)，f 2

8、 = 2 + b= 5,b= 3,則有解得f 3 = 3a+ 2 + b= 2,a= 1.綜上可知，a= 1, b= 0 或 a= 1, b = 3.(2)由 b4 或一6或mn2-tx在t -2,2時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值 范圍.解(1)：由知f(x)= ax2 + bx(az 0)的對(duì)稱軸是直線x=- 1,二 b= 2a.函數(shù)f(x)的圖象與直線y = x只有一個(gè)公共點(diǎn)，.方程組y= ax2 + bx,有且只有一個(gè)解，即ax2+ (b- 1)x= 0有兩個(gè)相同的y=x1 1實(shí)根，二= (b-1)2= 0,即 b= 1,a =f(x) = x2 + x.11(2) 1二護(hù)) -2-tx等價(jià)于

9、 f(x)tx-2,即2x2 + xtx-2在 t -jn22,2時(shí)恒成立?函數(shù)g(t) = xt- x2 + x+ 2 0在t - 2,2時(shí)恒成立,g 2 0,_即解得x 3 +g 2 0,5 故實(shí)數(shù)x的取值范圍是(一 = ,3 5) U ( 3+ 5, +乂).|不等式恒成立的求解方法1由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，其依據(jù)是 af(x)? af(x)max, a f(x)? a f(x)min.演練沖關(guān)2. 設(shè)函數(shù)f(x) = ax2 2x+2,對(duì)于滿足1x0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：由 f(x)0,即 ax2 2x+ 20, x (1,4),2 2

10、一得a x2 + x在(1,4)上恒成立.人2 211 2 1思想方法系列IXIANGXIL1&I令 g(x)= x2+x= 2x22+2，思路分析參數(shù)a的值確定f(x)圖象的形狀；aO時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象為拋物線，還要考慮開(kāi)口方向和對(duì)稱軸位置.解(1)當(dāng) a = 0 時(shí)，f(x) = -2x 在0,1上遞減,二 f(x)min = f(1)=- 2.當(dāng)a0時(shí)，f(x) = ax2 2x圖象的開(kāi)口方向向上，且對(duì)稱軸為 x1當(dāng)匸1,即al時(shí),f(x) = ax2- 2x圖象的對(duì)稱軸在0,1內(nèi),1 f(x)在0, a上遞減,a1在a 1上遞增.1 1 2-f(x)min=f a =舌a=1a.1

11、當(dāng)a1,即g*1時(shí),f(x)= ax2 2x圖象的對(duì)稱軸在0,1的右側(cè), f(x)在0,1上遞減.f(x)min = f(1)= a 2.當(dāng) a0 時(shí)，f(x) = ax2 2x的圖象的開(kāi)口方向向下，且對(duì)稱軸 xa1,思想點(diǎn)評(píng)(1)本題在求二次函數(shù)最值時(shí)，用到了分類討論思想，求解中既對(duì)系數(shù)a的符號(hào)進(jìn)行了討論，又對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行討論.在 分類討論時(shí)要遵循分類的原則：一是分類的標(biāo)準(zhǔn)要一致，二是分類時(shí) 要做到不重不漏，三是能不分類的要盡量避免分類，絕不無(wú)原則的分類討論.(2)在有關(guān)二次函數(shù)最值的求解中，若軸定區(qū)間動(dòng)，仍應(yīng)對(duì)區(qū)間 進(jìn)行分類討論.跟蹤練習(xí)設(shè)函數(shù)y= x2 2x, x 2, a,若函數(shù)的最小值

12、為 g(x)，求 g(x).解：T函數(shù) y=x2 2x= (x 1)2 1,二對(duì)稱軸為直線x= 1,：x= 1不一定在區(qū)間2, a內(nèi)，二應(yīng)進(jìn)行討論.當(dāng)一2a1時(shí)，函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減，在1, a上單調(diào)遞增，則 當(dāng)x= 1時(shí)，y取得最小值，即ymin = 1.a2 2a, 2a1.CjfN7O*j HANCEA組考點(diǎn)能力演練1.當(dāng)ab0時(shí)，函數(shù)y= ax2與f(x) = ax+ b在同一坐標(biāo)系中的圖解析：因?yàn)閍b0，所以，當(dāng)a0，b0, b0時(shí)，函數(shù)y= ax2的圖象開(kāi)口向上，函 數(shù)f(x) = ax+ b的圖象在x軸上的截距為負(fù)值，在y軸上的截距為正 值，沒(méi)有符合條件的選項(xiàng)，故選 D.答案：

13、D2. (2015 蕪湖質(zhì)檢)已知函數(shù) f(x) = x2 + x+c.若 f(0)0, f(p)0B. f(p+ 1)0, f(p)o,.f(p + 1)0.答案：A3 .若幕函數(shù)y= (m2 3m+ 3) xm2- m 2的圖象不過(guò)原點(diǎn)，貝S m 的取值是()A . K m2B. m= 1 或 m= 2C. m= 2D. m=1解析：由幕函數(shù)性質(zhì)可知m2 3m+ 3= 1,.m= 2或m= 1.又幕函數(shù)圖象不過(guò)原點(diǎn)，m2 m 20,即1 m2,m= 2或m =1.答案：B254.若函數(shù)y= x2 3x 4的定義域?yàn)?, m,值域?yàn)閼?4 , 則m的取值范圍是(A . 0,4D. 3，3解析

14、：二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為3口3x = 2,且 f 2C. |,+乂254, f(3) = f(0) = 4,由圖得 m答案：D5. (2015滄州質(zhì)檢)如果函數(shù)f(x) = x2+bx+ c對(duì)任意的x都有f(x+ 1)= f( x),那么()f( 2)f(0)f(2) f(0)f( 2)f(2) f(2)f(0)f( 2) f(0)f(2)f( 2)解析：由f(1+ x) = f( x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，又拋物線 f(x)開(kāi)口向上，f(0)vf(2)vf( 2).答案：D6. 二次函數(shù)f(x) = x2+ (2 log2m)x + m是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) m =解析：禾U用偶函數(shù)

15、性質(zhì)求解.因?yàn)榕己瘮?shù)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱,所以一2犁二0,解得4.答案：417. 已知幕函數(shù)f(x) = x 2,若f(a+ 1)0),易知x (0,+ 乂)時(shí)為減函數(shù),又 f(a + 1)0,a 1,10 2a0,解得a10 2a,a3,3va5.答案：(3,5)8. (2015濟(jì)南二模)已知函數(shù)f(x) = x2 2x, x a, b的值域?yàn)?,3,則b a的取值范圍是.解析：由題意知，f(x) = x2 2x= (x 1)2 1，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在a,b上的值域?yàn)?,3，所以當(dāng)a=- 1時(shí)，1 b3;當(dāng)b= 3時(shí)，一 1 a2或一廠6 或k1).(1) 若f(x)的定義域和值域均是1,

16、a,求實(shí)數(shù)a的值；(2) 若f(x)在區(qū)間(X, 2上是減函數(shù)，且對(duì)任意的X1, X2 1, a + 1,總有|f(X1) f(X2)|w4,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. + bx+ 1(a, b 為實(shí)數(shù),a0, x R).(1)若函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(一2,1)，且方程f(x) = 0有且只有一個(gè) 根，求f(x)的表達(dá)式；在(1)的條件下，當(dāng)x 1,2時(shí)，g(x) = f(x) kx是單調(diào)函數(shù), 求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：(1)因?yàn)?f( 2)= 1,即 4a2b+ 1 = 1,所以 b= 2a.因?yàn)榉匠蘤(x) = 0有且只有一個(gè)根，所以 = b2 4a= 0.所以4a2 4a = 0,所以a=

17、1,所以b= 2.所以 f(x) = (x+ 1)2.(2)g(x) = f(x) kx= x2 +2x+ 1 kx = x2 (k 2)x + 1 =k 2x 2解：(1)Tf(x)= (x a)2 + 5-a2(a1),f(x)在1 , a上是減函數(shù).又定義域和值域均為1, a.f 1 = a,1 2a + 5= a,即解得a = 2.f a = 1,a2 2a2 + 5= 1,(2) vf(x)在區(qū)間(一=,2上是減函數(shù)，/.a 2.又 x= a 1, a+ 1,且(a+ 1) aw a 1,f(x)max= f(1) = 6 2a, f(x)min = f(a) = 5 a2.T對(duì)任意

18、的 X1 , X2 1 , a+1,總有 |f(X1) f(X2)|W 4,.f(x)max f(x)min w4,得1 waw3又 a2,2waw 3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,3.B組高考題型專練1. (2014高考浙江卷)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x) = xa(x0),g(x) = logaX的圖象可能是()解析：函數(shù)y= xa(x 0)與y = logax(x0),選項(xiàng)A中沒(méi)有幕函數(shù) 圖象，不符合；對(duì)于選項(xiàng) B ,y=xa(x 0)中 a1,y= logax(x0)中 0a0)中,0a0)中 a1, 不符合，對(duì)于選項(xiàng) D, y=xa(x 0)中 0a0)中,0a0, q0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a, b, 2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則 p+ q的值等于.解析：依題意有a, b是方程x2 px+ q = 0的兩根，則a+ b= p, a