第2章--邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)

1、33 MHz 第二章第二章 邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù) 2.1 基本邏輯運算基本邏輯運算 2.2 邏輯函數(shù)的變換和化簡邏輯函數(shù)的變換和化簡 2.3 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法 本章要求：本章要求： 掌握掌握邏輯代數(shù)的基本公式、運算定邏輯代數(shù)的基本公式、運算定 律、規(guī)則。律、規(guī)則。熟悉熟悉邏輯函數(shù)的表示方法以及邏輯邏輯函數(shù)的表示方法以及邏輯 函數(shù)的公式法化簡。函數(shù)的公式法化簡。掌握掌握卡諾圖及用卡諾圖化卡諾圖及用卡諾圖化 簡邏輯函數(shù)的方法。簡邏輯函數(shù)的方法。 33 MHz 2.1 基本邏輯運算基本邏輯運算 數(shù)字電路研究的是電路的輸入輸出之間的邏數(shù)字電路研究的是電路的輸

2、入輸出之間的邏 輯關(guān)系，邏輯關(guān)系一般用邏輯函數(shù)來描述，所以輯關(guān)系，邏輯關(guān)系一般用邏輯函數(shù)來描述，所以 數(shù)字電路又稱數(shù)字電路又稱邏輯電路邏輯電路，相應的研究工具是，相應的研究工具是邏輯邏輯 代數(shù)（布爾代數(shù)）代數(shù)（布爾代數(shù)）。 在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)是由邏輯變量和基在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)是由邏輯變量和基 本的邏輯運算符構(gòu)成的表達式，其變量只能取兩本的邏輯運算符構(gòu)成的表達式，其變量只能取兩 個值（個值（二值變量二值變量），即），即0和和1，中間值沒有意義。，中間值沒有意義。 0和和1表示兩個對立的邏輯狀態(tài)。表示兩個對立的邏輯狀態(tài)。 例如：電位的低高（例如：電位的低高（0表示低電位，表示低電位，1表示

3、表示 高電位）、開關(guān)的開合等。高電位）、開關(guān)的開合等。 A 為原變量，為原變量， 為反變量為反變量 A 33 MHz 1. 基本運算公式基本運算公式(0-1律，還原律律，還原律) 與（乘）與（乘） 0 AA 00 A AA 1 AAA 或（加）或（加） 1 AA AA 0 11 A AAA 非非 AA 33 MHz 2. 基本運算定律基本運算定律 ABBA CBACBA CABACBA ABBA CBACBA )()(CABACBA 普通代數(shù)普通代數(shù) 不適用不適用! 33 MHz 證明證明: 右邊右邊 =(A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律 =A +A(B+C)+B

4、C ; 結(jié)合律結(jié)合律 , AA=A =A(1+B+C)+BC ; 結(jié)合律結(jié)合律 =A 1+BC ; 1+B+C=1 =A+BC ; A 1=A =左邊左邊 )()(CABACBA 33 MHz 吸收律吸收律: 吸收多余（吸收多余（冗余冗余）項，多余（）項，多余（冗冗 余余）因子被取消、去掉）因子被取消、去掉 被消化了。被消化了。 AABA BABAA （1）原變量的吸收：）原變量的吸收： 證明：證明：A+AB=A(1+B)=A1=A 長中含短，長中含短， 留下短。留下短。 （2）反變量的吸收：）反變量的吸收： 證明：證明： BAABABAA BAAABA)( 長中含反，長中含反， 去掉反。去掉

5、反。 想一想：想一想： ? ABAA)( 33 MHz （3）混合變量的吸收：）混合變量的吸收： CAABBCCAAB 證明：證明： BCAACAAB BCCAAB )( CAAB BCAABCCAAB 1 吸收吸收 正負相對，正負相對， 余全完。余全完。 33 MHz （德（德 摩根摩根 (De Morgan)定理）定理） BABABABA 可以用列真值表的方法證明：可以用列真值表的方法證明： ABAB 0001111 0101101 1001011 1110000 BA ABBA 33 MHz 3. 3. 基本運算規(guī)則基本運算規(guī)則 先括號先括號 再乘法再乘法 后加法。后加法。 CAZ,BA

6、BA 則得到則得到 CBABCACBA 33 MHz 將函數(shù)式將函數(shù)式 F 中所有的中所有的 + + 變量與常數(shù)均取反變量與常數(shù)均取反 （求反運算）（求反運算）互補運算互補運算 2.不是一個變量上的反號不動。不是一個變量上的反號不動。 注意注意: 用處：用處：實現(xiàn)互補運算（求反運算）。實現(xiàn)互補運算（求反運算）。 新表達式：新表達式：F 顯然：顯然： FF 1. 變換時，原函數(shù)運算的先后順序不變變換時，原函數(shù)運算的先后順序不變 33 MHz 例例1： 1)()( 1 DCBAF 0 1 DCBAF 與或式與或式 注意括號注意括號 注意注意 括號括號 0 1 DCBAF DBDACBCAF 1 3

7、3 MHz )(EDCBA 例例2： EDCBAF 2 EDCBAF 2 與或式與或式 反號不動反號不動 反號不動反號不動 EDCBAF 2 EDACABAF 2 33 MHz 對偶式對偶式 AABA CDABY ABAA)( )(DCBAY 33 MHz 2.2 邏輯函數(shù)的變換和化簡邏輯函數(shù)的變換和化簡 四種表示方法四種表示方法 邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式 (邏輯表示式邏輯表示式, 邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式) 1 1 & & 1 A B Y 邏輯電路圖邏輯電路圖: 卡諾圖卡諾圖 n 2 n個輸入變量個輸入變量 種組合種組合。 真值表：真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同

8、組合 與所對應的輸出變量值用列表的方式與所對應的輸出變量值用列表的方式 一一對應列出的表格。一一對應列出的表格。 BABAF 2.2.1 邏輯函數(shù)表示方法：四種，并可相互轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)表示方法：四種，并可相互轉(zhuǎn)換 33 MHz 不同表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換：不同表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換： 33 MHz A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBA CBA CBA BCA CBA CBA CAB ABC 例如：例如：由左圖所示三由左圖所示三 變量邏輯函數(shù)的真值變量邏輯函數(shù)的真值 表，可寫出其邏輯函

9、表，可寫出其邏輯函 數(shù)式：數(shù)式： ABCCABCBAF 驗證：驗證：將八種輸入狀態(tài)將八種輸入狀態(tài) 代入該表示式，均滿代入該表示式，均滿 足真值表中所列出的足真值表中所列出的 對應的輸出狀態(tài)。對應的輸出狀態(tài)。 33 MHz A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 方法：方法：一般按二進制的一般按二進制的 順序，輸出與輸入狀順序，輸出與輸入狀 態(tài)一一對應，列出所態(tài)一一對應，列出所 有可能的狀態(tài)。有可能的狀態(tài)。 例如：例如： ABCCABCBAF 33 MHz 方法：圖形符號代替式中的運算符號即可

10、方法：圖形符號代替式中的運算符號即可 BCACBABY AB CB BCA & C 1 A 11 1 B & & 11 Y CBAB 33 MHz 邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式是把是把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān) 系寫成與、或、非等邏輯運算的組合系寫成與、或、非等邏輯運算的組合 式。也稱為邏輯函數(shù)式，式。也稱為邏輯函數(shù)式，通常采用通常采用 “與或與或”的形式。的形式。 例：例：ABCCBACBACBACBAF 一個邏輯函數(shù)可以表示為不同的表達式。一個邏輯函數(shù)可以表示為不同的表達式。 對應的邏輯圖也不同。實際應用中，電路越簡對應的邏輯圖也不同。實際應用中，電路越簡 單，可靠性越高，成本越

11、低，故常需對函數(shù)式單，可靠性越高，成本越低，故常需對函數(shù)式 進行進行變換和化簡。變換和化簡。 33 MHz 2.2.2 2.2.2 邏輯函數(shù)的變換和化簡邏輯函數(shù)的變換和化簡 33 MHz 2.2.2 邏輯函數(shù)的變換和化簡（公式法）邏輯函數(shù)的變換和化簡（公式法） 例例1： CAAB BCCAAB BCDBCCAAB BCDCAAB (1)(1)吸收法吸收法: :利用利用BABAAAABA, 33 MHz 例例2： ABAC BCA BCBA ABCBA CCABCBA ABCCABCBAF )( )( )( 反變量吸收反變量吸收 提出提出AB =1，并項，并項 提出提出A (2) 并項法并項法:

12、 33 MHz 例例3 3： 化簡化簡 CABCBACBAABCY )()(BBCABBAC CAAC A 3）配項法）配項法 )(AACBCAAB CBACACABAB CAAB 化簡化簡 CBCAABY例例4 4： 33 MHz 化簡化簡 CBACBAABCY （4）加項法）加項法 ABCCBACBAABC ACBC 例例5 5： 再看一例題再看一例題 33 MHz 例例6 6： 化簡化簡 DBCDCBADABABCY DBABCDCBAABC DBCDCBAAB DBCDCBAB )(DCBCDAB CDBCDAB )(DADBCDCBAABC BCDABCDB 33 MHz 例例6 6

13、： 化簡化簡 DBCDCBADABABCY CDDCAADACB CDDACAACB CDDACB CDDCBAB CDCDBAB CDBAB CDB 33 MHz 利用公式法進行化簡的問題：利用公式法進行化簡的問題： 復雜復雜 技巧性強技巧性強 是否最簡尚不得而知是否最簡尚不得而知 33 MHz 2.3 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法 2.3.1. 2.3.1. 最小項和最大項最小項和最大項 33 MHz 33 MHz 以三變量的邏輯函數(shù)為例分析最小項表示及特點以三變量的邏輯函數(shù)為例分析最小項表示及特點 CBA CBA CBA BCA CBA CBA CAB ABC 變量變量

14、賦值賦值 為為1 1時時 用該用該 變量變量 表示表示 賦賦0 0時時 用該用該 變量變量 的反的反 來表來表 示。示。 可見可見 輸入輸入 變量變量 的八的八 種狀種狀 態(tài)分態(tài)分 別唯別唯 一地一地 對應對應 著八著八 個最個最 小項。小項。 33 MHz 當輸入變量的賦值當輸入變量的賦值 使某一個最小項等使某一個最小項等 于于1時，其他的最時，其他的最 小項均等于小項均等于0。 返回返回 CBA CBA CBA BCA CBA CBA CAB ABC A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 比如當三變量取值比如當三變量取值

15、 分別為分別為1、0、1時，時， 只有最小項只有最小項 為為1CBA 33 MHz 之所以稱之為最小項，是因為該項已包含了所之所以稱之為最小項，是因為該項已包含了所 有的輸入變量，不可能再分解。有的輸入變量，不可能再分解。 例如：例如：對于三變量的對于三變量的 邏輯函數(shù)，如果某邏輯函數(shù)，如果某 一項的變量數(shù)少于一項的變量數(shù)少于3 個，則該項可繼續(xù)個，則該項可繼續(xù) 分解；若變量數(shù)等分解；若變量數(shù)等 于于3個，則該項不能個，則該項不能 繼續(xù)分解。繼續(xù)分解。 不能分解不能分解CBA CBACABCBAABCCCBBAA )( CBA CBA CBA BCA CBA CBA CAB ABC A B C

16、 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 33 MHz 邏邏輯輯相相鄰鄰；與與例例：BCACBA A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBA CBA CBA BCA CBA CBA CAB ABC 不不是是邏邏輯輯相相鄰鄰。與與CBACBA 33 MHz ABCCBACBACBACBAF 邏輯相鄰邏輯相鄰CBCBACBA 邏輯相鄰的項可以邏輯相鄰的項可以 合并，消去一個因子合并，消去一個因子 33 MHz 33 MHz 33 MHz

17、 CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA CBA 33 MHz ii mM CBAm 2 22 MCBACBAm 33 MHz 2.3.2 邏輯函數(shù)的兩種標準形式邏輯函數(shù)的兩種標準形式 1 AA 33 MHz CAABY CBBACCABY)()( CBABCACABABC 7631 mmmm )7 , 6 , 3 , 1( im i i 33 MHz ACDBAY CBBADCCBAY)()( 151411109 mmmmm )15,14,11,10, 9( im i i CBAABCDCBACDBA )(DDABCDCBACDBA )(DDCBA DCBADABCABCDD

18、CBACDBA 33 MHz i mY ik k mY ik k ik k ik k MmmY 33 MHz CAABY )7 , 6 , 3 , 1( imY i i 5420 MMMMMY ik k )()()(CBACBACBACBA 33 MHz 2.3.3 卡諾圖卡諾圖 卡諾圖：卡諾圖：將將n個輸入變量的全部最小項用小方塊個輸入變量的全部最小項用小方塊 陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項放在陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項放在 相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就是相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就是n變變 量的卡諾圖。量的卡諾圖。 33 MHz 說明：說明： 一格一個最小項一格一個

19、最小項 相鄰兩格相鄰兩格必須必須為為 邏輯相鄰項邏輯相鄰項 33 MHz 說明：說明： 上下兩行相鄰上下兩行相鄰 左右兩列相鄰左右兩列相鄰 33 MHz 有時為了方便，用二進制對應的十進制表示單有時為了方便，用二進制對應的十進制表示單 元格的編號。單元格的值用函數(shù)式表示。元格的編號。單元格的值用函數(shù)式表示。 A BC 00011110 0 1 0 1 3 2 4 5 7 7 6 F( A , B , C )= ( 1 , 2 , 4 , 7 ) 1,2,4,7單單 元取元取1， 其它取其它取0 A B C 編號編號 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4

20、 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7 A BC 00011110 0 1 33 MHz 0 1 3 2 4 5 7 7 6 12 1 13 3 1 15 5 14 8 9 1 11 1 10 AB CD 00011110 00 01 11 10 四變量卡諾圖單元格的編號四變量卡諾圖單元格的編號: 33 MHz 從真值表到卡諾圖：從真值表到卡諾圖：對應填寫對應填寫 2.3.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B 0 1 01 0 1 1 1 輸出變量輸出變量Y的值的值 輸入變量輸入變量 例例1：二輸入變量卡諾圖

21、二輸入變量卡諾圖 33 MHz 邏輯相鄰：邏輯相鄰：相鄰單相鄰單 元輸入變量的取值元輸入變量的取值 只能有一位不同。只能有一位不同。 0 1 00011110 A BC 0000 0111 輸入變量輸入變量 輸出變量輸出變量Y Y的值的值 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 例例2：三輸入變量卡諾圖三輸入變量卡諾圖 注意：注意：00與與10邏輯相鄰。邏輯相鄰。 33 MHz AB CD 00011110 00 01 1101 101 00 01 110 01 11 10 四變量卡諾圖四變

22、量卡諾圖 編號為編號為0010單單 元對應于最元對應于最 小項：小項：DCBA ABCD= 0100時函時函 數(shù)取值數(shù)取值 函數(shù)取函數(shù)取0、1 均可，稱為均可，稱為 無關(guān)項無關(guān)項。 例例3：四輸入變量卡諾圖四輸入變量卡諾圖 33 MHz 2.3.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 從函數(shù)式到卡諾圖：從函數(shù)式到卡諾圖： 33 MHz ACDDBADCBAY CDBBADCCBADCBAY)()( CDBAABCDDCBADCBADCBA 15111085 mmmmm 33 MHz 15111085 mmmmmY 實際上我們一般不用把函數(shù)化為最小項填入卡諾圖，而是實際上我們一般不用把函數(shù)

23、化為最小項填入卡諾圖，而是 把所有包含非最小項的的方格都填把所有包含非最小項的的方格都填1。 33 MHz ACDDBADCBAY ABCD ABD ACD 33 MHz DCBADABCCDBADCBAY 33 MHz 2.3.5 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡 n=1=1，合并一對因子，合并一對因子 n=2=2，合并兩對因子，合并兩對因子 n 2 33 MHz AC ABC 33 MHz DB BD 33 MHz 33 MHz 合并圈的選?。汉喜⑷Φ倪x取：圈兒寧大勿?。蝗簩幋笪鹦。?圈數(shù)寧少勿多；圈數(shù)寧少勿多； 圈圈含新圈圈含新 33 MHz 例例1：化簡化簡F(A,B,C,D)= (0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15) AB CD 0001 11 10 00 01 1011 010 01 11 11 11 111 11 11 10 A DC CB DB DCB DCBDBCBDCAF 33 MHz ),(),( 765210 mmmmmmCBAY AB CB CA CBCAABY 例例2：化簡化簡 33 MHz 例例3：化簡化簡 DCBADCBADCBA DCBADCBADCBAF ),( DCBAD